Resistenze in parallelo

Un collegamento di resistenze in parallelo in un circuito elettrico è un sistema in cui due o più resistori lavorano allo stesso livello. Due o più resistori ohmici in parallelo attraversati da una corrente continua possono essere sostituiti da un solo resistore, e il reciproco della resistenza equivalente è la somma dei reciproci delle singole resistenze.

Nella precedente lezione abbiamo studiato i collegamenti di resistenze in serie. Ora vediamo come funzionano le resistenze collegate in parallelo, descrivendone le caratteristiche (con riferimento alle grandezze tipiche dei circuiti elettrici) e mostrando come si calcola la resistenza equivalente.

Completeremo il quadro con un confronto rispetto ai condensatori in parallelo e metteremo in evidenza le analogie e le differenze pratiche, soprattutto per quel che riguarda la risoluzione dei circuiti. ;)

Funzionamento delle resistenze in parallelo

In modo del tutto simile rispetto ai condensatori, due o più resistenze oltre che in serie possono essere collegate in parallelo. Ricordiamo che in generale il termine resistenza può riferirsi sia ai resistori in quanto conduttori, per antonomasia, sia alla loro proprietà di opporsi al passaggio di corrente elettrica.

Nella seguente figura abbiamo un semplice esempio di circuito elettrico con un generatore di tensione che permette la circolazione della corrente e due resistenze in parallelo:

Resistenze in parallelo

Circuito con due resistenze in parallelo.

In accordo con la convenzione secondo cui il verso della corrente è dato dal moto delle cariche positive, la corrente lascia il polo positivo del generatore e si dirige verso il punto , in cui il filo si dirama e prende due diverse strade: una che porta alla resistenza , l'altra che porta a .

Il punto , alla stregua di , viene detto nodo del circuito. Successivamente la corrente si raccorda nel nodo e raggiunge il polo negativo del generatore, da cui le cariche vengono spostate forzatamente al polo + e ripetono il percorso.

Siccome non è assolutamente detto che la corrente si divida a metà, si capisce che due resistenze in parallelo non sono generalmente attraversate dalla stessa intensità di corrente , come invece accade per le resistenze in serie. La corrente infatti fluisce più intensamente laddove incontra una minore resistenza:

$R_1<R_2\ \ \to\ \ \ i_1>i_2$

Ciò che accomuna le resistenze in parallelo è la differenza di potenziale $\Delta V$ :

$\Delta V_1=\Delta V_2=\Delta V$

Per desumere tale proprietà basta osservare che le resistenze sono agganciata agli stessi punti, i nodi e , e che tra i due nodi c'è un particolare e unico valore di $\Delta V$ . Tale differenza di potenziale deve essere quindi la stessa ai capi di entrambe le resistenze. Il principio è valido anche nel caso in cui le resistenze in parallelo sono in maggior numero.

Resistenza equivalente delle resistenze in parallelo

Analogamente ai collegamenti di resistenze in serie è possibile calcolare un particolare valore di resistenza, detta resistenza equivalente, che è in grado di sostituire tutte le resistenze collegate in parallelo. Anche in questo caso supponiamo di lavorare con resistori ohmici che vengono attraversati da una corrente continua.

La resistenza equivalente si calcola per mezzo della formula delle resistenze in parallelo

$\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + ... + \frac{1}{R_n}$

che può essere riscritta in forma compatta mediante il simbolo di sommatoria:

$\frac{1}{R_{eq}}=\sum_{i=1}^n \frac{1}{R_i}$

Il reciproco della resistenza equivalente è dunque dato dalla somma dei reciproci delle singole resistenze collegate in parallelo. La formula non prevede limitazioni sul numero di resistenze coinvolte nel collegamento.

Attenzione però, perché la precedente formula ci permette di calcolare il reciproco di $R_{eq}$ ; per determinare la resistenza equivalente è quindi necessario un ulteriore passaggio. Nel caso più semplice e più ricorrente di un collegamento in parallelo con due sole resistenze, si può procedere ricavando la formula inversa:

$\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}=\frac{R_1 + R_2}{R_1R_2}$

da cui

$R_{eq}=\frac{R_1R_2}{R_1 + R_2}$

Dunque con due resistenze in parallelo possiamo usare direttamente questa formula; in tutti gli altri casi si potrebbe ricavare una formula diretta ma avrebbe un'espressione lunga ed elaborata, per cui è molto più comodo procedere in due passaggi (formula generale e passaggio al reciproco).

Ricapitolando, le caratteristiche di un collegamento di resistenze in parallelo sono le seguenti:

1) l'intensità di corrente in ingresso nel nodo e in uscita dal nodo è la stessa, e in particolare è data dalla somma delle correnti che attraversano le singole resistenze

Nel prosieguo del corso vedremo che l'equivalenza tra la corrente entrante e uscente dai nodi è dovuta a un'importante legge dell'Elettrodinamica, detta legge dei nodi di Kirchhoff.

2) La differenza di potenziale complessiva $\Delta V$ è la stessa per tutte le resistenze

$\Delta V_1=\Delta V_2=...=\Delta V_n=\Delta V$

3) Anche se non si desume a colpo d'occhio dalla formula generale, la resistenza equivalente è minore di ciascuna delle singole resistenze

$R_{eq}<R_i\ \ \forall i=1...n$

Dimostrazione della formula per la resistenza equivalente di resistori in parallelo

Dimostriamo la formula della resistenza equivalente nel caso di due resistori in serie; per un collegamento di tre o più resistori sarà sufficiente reiterare il procedimento ragionando a coppie. Partiamo dalla prima legge di Ohm, secondo cui la differenza di potenziale è il prodotto tra la resistenza e l'intensità di corrente

$\Delta V=R_{eq}i$

Riscriviamo l'equazione in favore di $R_{eq}$

$R_{eq}=\frac{\Delta V}{i}$

La corrente è la somma delle correnti che attraversano i singoli resistori, quindi

$R_{eq}=\frac{\Delta V}{i_1+i_2}$

Passiamo al reciproco in entrambi i membri

$\frac{1}{R_{eq}}=\frac{i_1+i_2}{\Delta V}$

e dividiamo termine a termine al secondo membro

$\frac{1}{R_{eq}}=\frac{i_1}{\Delta V}+\frac{i_2}{\Delta V}$

Osservando che la differenza di potenziale è la stessa ai capi di entrambe le resistenze, ricaviamo la formula

$\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$

Esempio - Calcolo della resistenza equivalente di resistenze in parallelo

Vediamo un esempio. Consideriamo il circuito in figura, in cui le resistenze valgono:

$R_1=30\ \Omega,\ R_2=20\ \Omega,\ R_3=40\ \Omega$

Resistenza equivalente di resistenze in parallelo

Calcolo della resistenza equivalente
di tre resistenze in parallelo.

Poiché sono tutte e tre collegate in parallelo possiamo applicare direttamente la formula:

$\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}=\\ \\ \\ =\frac{1}{30 \ \Omega} + \frac{1}{20 \ \Omega} + \frac{1}{40 \ \Omega}\simeq 0,11\ \frac{1}{\Omega}$

Per ricavare la resistenza equivalente $R_{eq}$ è necessario passare al reciproco

$R_{eq}=\frac{1}{0,11\ \frac{1}{\Omega}}\simeq 9,2 \ \Omega$

Come si vede, la resistenza equivalente di più resistenze collegate in parallelo è minore dei valori delle singole resistenze di partenza.

Ora che abbiamo individuato $R_{eq}$ passiamo a considerare il seguente circuito, in cui abbiamo solo il generatore di tensione e la resistenza equivalente

Resistenza equivalente collegamento di resistenze in parallelo

Resistenza equivalente.

La riduzione delle resistenze in parallelo a una sola resistenza è utile in quanto agevola la risoluzione del circuito. Nel "nuovo" circuito infatti scorre esattamente la stessa corrente che circolava in quello iniziale: se ad esempio la tensione del generatore è di 12 volt, possiamo calcolare la corrente che il generatore eroga grazie alla prima legge di Ohm:

$\Delta V=R_{eq}i$

da cui

$i=\frac{\Delta V}{R_{eq}}\simeq \frac{12 \mbox{ V}}{9,2 \ \Omega}\simeq 1,3\mbox{ A}$

Poiché nel circuito iniziale il parallelo è collegato direttamente al generatore, la differenza di potenziale presente tra i nodi e (e quindi ai capi di ciascuna resistenza) è la stessa ed è pari alla tensione di 12 volt del generatore. Con questa informazione, e ricorrendo di nuovo alla legge di Ohm, possiamo calcolare l'intensità della corrente che attraversa ogni resistenza

$i_1=\frac{\Delta V}{R_1}=\frac{12 \mbox{ V}}{30 \ \Omega}=0,4\mbox{ A}\\ \\ \\ i_2=\frac{\Delta V}{R_2}=\frac{12 \mbox{ V}}{20 \ \Omega}=0,6\mbox{ A}\\ \\ \\ i_3=\frac{\Delta V}{R_3}=\frac{12 \mbox{ V}}{40 \ \Omega}=0,3\mbox{ A}$

Notiamo in particolare che la somma delle tre correnti uscenti dal nodo è uguale alla corrente totale entrante, pari a 1,3 ampère.

Circuiti ed elettrodomestici: resistenze in parallelo

Un tipico circuito elettrico casalingo è costituito da dispositivi collegati in parallelo, che in quanto utilizzatori svolgono anche il ruolo di resistori. Questo tipo di configurazione permette di interrompere il passaggio di corrente in determinate parti del circuito per mezzo degli interruttori di corrente, lasciandola libera di fluire in altre zone.

Resistenze in parallelo circuito domestico

Resistenze in parallelo in un circuito domestico.

L'interruttore aperto nel ramo del circuito che porta alla lavatrice fa sì che non vi passi corrente; la lavatrice è spenta, ma ciò non impedisce alla corrente di arrivare al frigorifero e alla lampadina. Per spegnere la lampadina ci basta aprire l'interruttore che si trova al fondo, cosicché la corrente arriverà soltanto al frigo. In questo modo ogni singolo utilizzatore è indipendente dagli altri. Se fossero tutti collegati in serie, spegnerne uno significherebbe spegnerli tutti! :(

Analogia tra resistenze in parallelo e condensatori in serie

Da notare che la regola per il calcolo della resistenza equivalente per resistenze in parallelo

$\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + ... + \frac{1}{R_n}$

è simile a quella per la capacità equivalente di condensatori in serie

$\frac{1}{C_{eq}}=\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + ... + \frac{1}{C_n}\ \ \ C\ \mbox{in serie}$

e che la situazione è invertita rispetto ai condensatori in parallelo, infatti

$C_{eq}=C_1+C_2+...+C_n\ \ \ C\ \mbox{ in parallelo}$

Qui abbiamo finito, ma non scappate! Nella prossima lezione ci eserciteremo analizzando in un colpo solo i circuiti con resistenze in serie e in parallelo. Nel frattempo non dimenticate che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

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