Resistenze in serie

Un collegamento di resistenze in serie in un circuito elettrico è un sistema in cui più resistori lavorano in sequenza. In un circuito a corrente continua due o più resistori ohmici collegati in serie possono essere sostituiti da un unico resistore la cui resistenza equivalente è uguale alla somma delle singole resistenze.

 

All'esordio della seconda parte del corso sull'elettricità abbiamo iniziato a studiare i circuiti, e tra le prime cose abbiamo analizzato il funzionamento dei condensatori in serie. Abbiamo visto in particolare come ridurre un collegamento di condensatori in serie a un unico condensatore, con una capacità complessiva equivalente tale da sortire il medesimo effetto sul circuito.

 

Ora vogliamo analizzare le resistenze collegate in serie e capire come calcolare la resistenza equivalente di un sistema di resistori collegati in serie. A questo proposito vi anticipiamo che in questa lezione useremo indistintamente il termine resistenza per riferirci sia alla proprietà dei resistori sia, per antonomasia, ai resistori intesi come conduttori.

 

Funzionamento delle resistenze in serie

 

In un circuito elettrico possono esserci due o più resistenze collegate tra loro e collegate a un generatore di tensione che fornisce corrente elettrica.

 

Le resistenze, o meglio i resistori, possono essere collegate tra loro in due modi diversi: in serie e in parallelo. Vediamo qui le caratteristiche di un collegamento di resistenze in serie.

 

Due resistenze si dicono collegate in serie se sono attraversate dalla stessa corrente. In termini meno rigorosi, ma forse più intuitivi, due resistenze in serie sono collegate allo stesso filo l'una in sequenza rispetto all'altra.

 

 

Resistenze in serie

Circuito con due resistenze in serie.

 

 

Nel circuito rappresentato in figura abbiamo un generatore di tensione collegato a due resistenze in serie.

 

Se seguiamo il percorso della corrente nel interno del circuito, che come sappiamo è individuato per convenzione dal verso del moto delle cariche positive, vediamo che la corrente parte dal polo positivo del generatore, attraversa la resistenza R_1, prosegue il proprio percorso attraversando la resistenza R_2 e raggiunge il polo negativo. A questo punto il generatore trasferisce le cariche positive forzatamente dal polo - al polo +, così che possano continuare a scorrere lungo in circuito.

 

Nel circuito dell'esempio abbiamo soltanto due resistenze, ma se anche ne avessimo più di due e fossero attraversate dalla stessa corrente parleremmo comunque di resistenze in serie.

 

Resistenza equivalente delle resistenze in serie

 

Facciamo riferimento al caso di resistori ohmici collegati a un circuito in cui scorre una corrente continua, come d'altronde abbiamo sempre fatto nelle lezioni di Elettrodinamica.

 

Come già accadeva per i condensatori anche in questo caso è possibile determinare un'unica resistenza, detta resistenza equivalente, che è in grado di sostituire tutte le resistenze in serie presenti nel circuito e tale da avere il medesimo effetto complessivo sul circuito.

 

La resistenza equivalente si calcola mediante la formula delle resistenze in serie, data da:

 

R_{eq}=R_1+R_2+...+R_n

 

Se preferite una forma più compatta possiamo servirci del simbolo di sommatoria:

 

R_{eq}=\sum_{i=1}^n R_i

 

La resistenza equivalente è quindi data dalla somma di tutte le resistenze del collegamento in serie. La formula e il calcolo saranno tanto più lunghi quanto maggiore sarà il numero n di resistenze coinvolte.

 

Le caratteristiche di un collegamento di resistenze in serie sono le seguenti:

 

1) l'intensità di corrente i è la stessa per tutte le resistenze

 

i_1=i_2=...=i_n=i

 

2) La differenza di potenziale complessiva \Delta V è data dalla somma delle singole d.d.p.

 

\Delta V=\Delta V_1+\Delta V_2+...+\Delta V_n

 

3) Dalla formula scritta in precedenza si evince che la resistenza equivalente è maggiore di tutte le singole resistenze

 

R_{eq}>R_i\ \ \forall i=1...n

 

 

Dimostrazione della formula per la resistenza equivalente di resistori in serie

 

Sulla base di queste informazioni vediamo come dimostrare la formula per la resistenza equivalente. Chiamiamo \Delta V la tensione erogata dal generatore, che poi è la differenza di potenziale agli estremi del resistore equivalente, e con i l'intensità della corrente che lo attraversa.

 

Dalla prima legge di Ohm sappiamo che la differenza di potenziale è uguale al prodotto della resistenza per l'intensità di corrente che la attraversa

 

\Delta V=R_{eq}i

 

Dunque

 

R_{eq}=\frac{\Delta V}{i}=

 

A questo punto osserviamo che la differenza di potenziale totale è la somma delle d.d.p. ai capi dei singoli resistori

 

=\frac{\Delta V_1+\Delta V_2+...+\Delta V_n}{i}=

 

Dividiamo termine a termine

 

=\frac{\Delta V_1}{i}+\frac{\Delta V_2}{i}+...+\frac{\Delta V_n}{i}=

 

e infine ricordiamo che la corrente che attraversa i singoli resistori ha intensità i. Abbiamo così dimostrato la formula

 

=R_1+R_2+...+R_n

 

 

Esempio - Calcolo della resistenza equivalente di resistenze in serie

 

Consideriamo il circuito in figura:

 

 

Resistenza equivalente di resistenze in serie

Calcolo della resistenza equivalente di tre resistenze in serie.

 

 

Abbiamo tre resistenze in serie, infatti R_1,R_2,R_3 sono attraversate dalla stessa corrente. Supponiamo che valgano

 

R_1=50\ \Omega,\ R_2=20\ \Omega,\ R_3=70\ \Omega

 

Per calcolare la resistenza equivalente del circuito ci basta sommare i valori delle tre resistenze:

 

R_{eq}=R_1 + R_2 + R_3=\\ \\ =50\ \Omega +20\ \Omega + 70\ \Omega=140\ \Omega

 

Da qui si vede che la resistenza equivalente è maggiore delle singole resistenze, come previsto. In questo modo abbiamo ridotto il circuito di partenza al seguente:

 

 

Resistenza equivalente collegamento di resistenze in serie

Resistenza equivalente.

 

 

in cui compare una sola resistenza pari a R_{eq}. Ciò significa che la corrente che circola nel circuito di partenza è uguale a quella che circola nel circuito in cui compare la sola resistenza equivalente.

 

Il calcolo della resistenza equivalente di più resistenze in serie è estremamente utile perché semplifica la risoluzione del circuito. Ad esempio se conosciamo la differenza di potenziale ai capi del generatore, che supponiamo sia di 100 V, possiamo calcolare la corrente grazie alla prima legge di Ohm

 

\Delta V=R_{eq}i

 

Usando l'opportuna formula inversa

 

i=\frac{\Delta V}{R_{eq}}=\frac{100\mbox{ V}}{140 \ \Omega}\simeq 0,71\mbox{ A}

 

ricaviamo che la corrente deve avere un'intensità pari a 0,71 ampère.

 

Analogia tra resistenze in serie e condensatori in parallelo

 

Attenzione a non confondere la regola per il calcolo della resistenza equivalente con quella per la capacità equivalente:

 

- la resistenza equivalente di più resistenze in serie è la somma delle singole resistenze

 

R_{eq}=R_1+R_2+...+R_n\ \ \ R\mbox{ in serie}

 

- la capacità equivalente di più condensatori in serie è la somma dei reciproci delle singole capacità

 

\frac{1}{C_{eq}}=\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + ... + \frac{1}{C_n}\ \ \ C\mbox{ in serie}

 

Da notare che c'è una sorta di "inversione" delle regole tra resistenze e condensatori: la formula per le resistenze in serie, di fatto, è del tutto analoga a quella per i condensatori in parallelo

 

C_{eq}=C_1+C_2+...+C_n\ \ \ C\mbox{ in parallelo}

 

 


 

Chissà che aspetto avrà la formula per le resistenze in parallelo... ;) Se volete scoprirlo vi basta leggere la lezione successiva! Nel frattempo potete consultare tantissimi esercizi svolti e spiegati nel dettaglio: qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e altrettanti approfondimenti. :)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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