Potenza elettrica

La potenza elettrica media di un conduttore collegato a un circuito percorso da corrente è definita come rapporto tra l'energia dissipata dal conduttore e l'intervallo di tempo. Nel caso dei circuiti a corrente continua la potenza elettrica media equivale a quella istantanea, e per i conduttori ohmici si calcola come prodotto tra la resistenza e il quadrato dell'intensità di corrente.

 

In questa lezione presentiamo una nuova grandezza, o meglio diamo una caratterizzazione di una grandezza a noi già nota contestualizzandola ai fenomeni elettrodinamici. Parliamo di potenza elettrica di un conduttore collegato a un circuito.

 

Dopo un breve preambolo sull'energia nei circuiti elettrici daremo una definizione generale di potenza elettrica media. Fatto ciò torneremo nel nostro ambito di competenza - i circuiti a corrente continua - e vedremo che in questo frangente le nozioni di potenza elettrica media e istantanea coincidono. Scriveremo quindi le formule che permettono di calcolare la potenza elettrica di un conduttore standard, o se preferite ohmico, e mostreremo come ricavarle.

 

Acquisizione e dissipazione di energia nei circuiti elettrici

 

In un circuito elettrico avvengono continue trasformazioni di energia. I conduttori si riscaldano quando vengono attraversati da corrente elettrica, in certi casi fino a diventare incandescenti. È ciò che accade ad esempio nelle vecchie lampadine a incandescenza, dove il sottile filamento di tungsteno all'interno della bulbo di vetro emette luce perché raggiunge temperature di qualche migliaio di gradi centigradi.

 

Sappiamo che il calore è una forma di energia e sappiamo anche che l'energia non si crea e non si distrugge, in accordo con il principio di conservazione.

 

Se un conduttore irradia attorno a sé energia termica, significa necessariamente che deve averla acquisita in qualche modo. In effetti ciò che immette energia nel circuito è il generatore di tensione, che genera ai suoi capi una differenza di potenziale permettendo alle cariche di muoversi lungo il circuito. In altri termini il generatore conferisce alle cariche un'energia potenziale elettrica.

 

Se seguiamo il percorso delle cariche positive, esse abbandonano il polo + del generatore, circolano spontaneamente nel circuito e raggiungono il polo -. Qui vengono raccolte dal generatore che le riporta forzatamente al polo + in modo che possano continuare a circolare. Durante questa fase di trasporto forzato il generatore fa acquisire alle cariche un'energia potenziale. Il processo è analogo a quello compiuto da una pompa idrica: risucchiando l'acqua dal fondo, la pompa la riporta verso l'alto conferendole energia potenziale, che poi l'acqua trasforma in energia cinetica quando viene lasciata libera di ricadere verso il basso. Nel nostro caso l'energia che il generatore fornisce alle cariche va a discapito di qualche altra forma di energia interna al generatore stesso; ad esempio, per una pila si tratta dell'energia chimica delle sostanze contenute al suo interno.

 

In sintesi le cariche in un circuito elettrico percorso da corrente acquisiscono energia dal generatore e ne dissipano una parte in qualche altra forma (calore o luce) quando attraversano un conduttore.

 

Definizione di potenza elettrica (media)

 

Ricordiamo che in generale la potenza è definita come lavoro compiuto nell'unità di tempo o, in altri termini, come il rapporto tra l'energia spesa e l'intervallo di tempo in cui è stata spesa quell'energia. Più precisamente tale grandezza prende il nome di potenza media nell'intervallo di tempo; si può parlare inoltre di potenza istantanea ragionando con le derivate.

 

Definiamo allora la potenza elettrica media di un conduttore (utilizzatore) collegato a un circuito come la quantità di energia elettrica che il conduttore dissipa nell'unità di tempo.

 

Quella che abbiamo scritto è a tutti gli effetti una definizione generale della potenza elettrica media, che quindi vale per qualsiasi tipo di circuito. Come sappiamo le due principali tipologie di circuiti sono quelle caratterizzate da corrente continua (CC) e corrente alternata (AC), ed è certamente possibile fornire una definizione generale di potenza elettrica istantanea ma non è semplice da un punto di vista matematico; oltre a questo, non abbiamo ancora trattato il secondo tipo di circuiti perché c'è ancora molto lavoro da fare sul fronte dei prerequisiti.

 

Per il momento dobbiamo limitarci al caso della corrente continua. La buona notizia è che, per costruzione, in un circuito CC la potenza elettrica istantanea e quella media si equivalgono, e si parla semplicemente di potenza elettrica.

 

Potenza elettrica di un conduttore ohmico in corrente continua

 

La formula della potenza elettrica di un conduttore standard, ossia ohmico, collegato a un circuito in corrente continua è la seguente:

 

P=Ri^2\ \ \ (1)

 

La potenza elettrica P è dunque il prodotto tra la resistenza R dell'utilizzatore e il quadrato dell'intensità di corrente i che lo attraversa. Da qui si vede che P è una quantità positiva e che l'unità di misura della potenza elettrica è il watt (W), definito come rapporto tra joule e secondo.

 

P\ \to\ \mbox{W}=\frac{J}{s}

 

Dalla formula si desume che la potenza elettrica di un conduttore attraversato da corrente continua è direttamente proporzionale alla resistenza e in proporzionalità quadratica con la corrente che attraversa il conduttore.

 

Le formule inverse sono date da

 

R=\frac{P}{i^2}\ \ \ ;\ \ \ i=\sqrt{\frac{P}{R}}


Poiché stiamo considerando un conduttore standard, e dunque in particolare ohmico, possiamo servirci della prima legge di Ohm 

 

\Delta V=Ri\ \to\ R=\frac{\Delta V}{i}\ \ ;\ \ i=\frac{\Delta V}{R}

 

per ricavare altre versioni della formula della potenza elettrica:

 

- se sostituiamo la resistenza R, vediamo che la potenza elettrica è il prodotto tra la differenza di potenziale ai capi del conduttore e l'intensità della corrente che lo attraversa

 

P=i\Delta V\ \ \ (2)

 

- se invece sostituiamo la corrente, otteniamo che la potenza elettrica è il rapporto tra il quadrato della differenza di potenziale ai capi del conduttore e la sua resistenza elettrica

 

P=\frac{ \left( \Delta V \right)^2}{R}\ \ \ (3)

 

Esempio di calcolo della potenza elettrica

 

A seconda degli esercizi che dovremo risolvere sceglieremo la formula più conveniente. Ecco un semplice esempio numerico: una lampadina ha una resistenza di 500 Ω ed è collegata a una differenza di potenziale di 12 V. Quanto vale la potenza dissipata dalla lampadina?

 

Svolgimento: scegliamo di applicare la formula che coinvolge la differenza di potenziale \Delta V e la resistenza R

 

P=\frac{ \left( \Delta V \right)^2}{R}=\\ \\ \\ =\frac{ \left( 12 \mbox{ V} \right)^2}{500 \ \Omega}\simeq 0,29 \mbox{ W}

 

Dimostrazione della formula della potenza elettrica

 

Vediamo come ricavare la formula della potenza elettrica, ad esempio la versione (2). Consideriamo una carica Q>0 che si muove da un punto a potenziale maggiore V_A a un altro con potenziale minore V_B.

 

Nella nostra ipotesi V_A>V_B. Dalla lezione sulla differenza di potenziale sappiamo che vale la seguente relazione

 

V_B-V_A=-\frac{L_{AB}}{Q}

 

ossia la differenza di potenziale calcolata dal punto finale al punto iniziale, V_B-V_A, è l'opposto del rapporto tra il lavoro compiuto per spostare la carica da A a B e il valore della carica Q.

 

In accordo con la convenzione sul verso della corrente nei circuiti, con \Delta V si indica la differenza di potenziale dall'estremo a potenziale maggiore all'estremo a potenziale minore, dunque la d.d.p. è da intendersi positiva

 

\Delta V=V_A-V_B>0\\ \\ V_B-V_A=-(V_A-V_B)=-\Delta V

 

e dunque

 

\Delta V=\frac{L_{AB}}{Q}

 

Riscriviamo tale relazione in favore del lavoro

 

L_{AB}=Q\Delta V

 

e osserviamo che il lavoro è positivo, come previsto. Se il conduttore è percorso da una corrente continua i, la carica che attraversa la sua sezione trasversale in un tempo \Delta t è data dalla formula inversa dell'intensità di corrente

 

Q=i \Delta t

 

Sostituiamo tale formula in quella del lavoro:

 

L=i \Delta t \Delta V

 

La potenza, definita come rapporto tra il lavoro compiuto e l'intervallo di tempo \Delta t, diventa:

 

P=\frac{L}{\Delta t}=\\ \\ \\ =\frac{i \Delta t \Delta V }{\Delta t}=i \Delta V

 

ossia l'espressione della formula (2).

 

 


 

Per imparare a calcolare la potenza nei circuiti a corrente alternata, come vi abbiamo anticipato, dovremo attendere il corso sull'Elettromagnetismo. C'è tanta strada da percorrere prima di arrivarci... ;)

 

Il prossimo passo riguarda lo studio dell'effetto Joule, un fenomeno di dispersione dell'energia sotto forma di calore che abbiamo menzionato più volte. Vi aspettiamo nella prossima lezione! E se per caso voleste cimentarvi con esercizi già risolti o risolvere dubbi vari ed eventuali, vi raccomandiamo come sempre di usare la barra di ricerca interna. :)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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