Conducibilità elettrica

La conducibilità elettrica (o conduttività elettrica) è una grandezza che misura la proprensione di un materiale a farsi attraversare da corrente, ed è l'inverso della resistività. In particolare la conducibilità elettrica consente di ricavare un'unica formula che condensa entrambe le leggi di Ohm, e che coinvolge la densità di corrente e il campo elettrico.

 

Stiamo per aggiungere un importante tassello alla teoria dell'Elettrodinamica. In precedenza abbiamo studiato la corrente elettrica, la densità di corrente, i circuiti, la resistività e le leggi di Ohm. Ora riprendiamo tutte queste nozioni e facciamo il punto della situazione analizzando il cosiddetto modello classico della conduzione elettrica.

 

Questa strada ci porterà a definire una nuova grandezza, per l'appunto la conducibilità elettrica, e a una formula che renderà il quadro ancoro più chiaro: la legge di Ohm in forma generale. E se da un lato, trattando alcuni fenomeni elettrodinamici, è sorto un parallelismo spontaneo con la Fluidodinamica, ora lo sviluppo della teoria verrà arricchito da un'analogia limpida e cristallina con la Termodinamica... ;)

 

Modello classico di conduzione elettrica e conducibilità elettrica

 

Nello studio della corrente elettrica è interessante mettere in relazione alcune grandezze macroscopiche, come ad esempio la densità di corrente elettrica o la resistività, con le grandezze microscopiche relative al moto delle cariche all'interno dei conduttori.

 

Ciò che ci interessa è definire un modello che ci permetta di raggiungere questo obiettivo, un po' come abbiamo fatto con la teoria cinetica dei gas, in cui siamo partiti dall'analisi del moto delle singole particelle per arrivare alle grandezze che riguardano i gas nel loro complesso.

 

Tutto il ragionamento che seguirà è basato sul moto degli elettroni attraverso il reticolo cristallino dei conduttori elettrici. Dobbiamo distinguere al solito tra due casi: condizione di equilibrio e presenza di una differenza di potenziale.

 

E.E.) In condizione di equilibrio elettrostatico il moto degli elettroni è disordinato e caratterizzato da continui urti contro gli ioni del reticolo cristallino, considerati fermi. A ogni urto la direzione e il modulo della velocità di un elettrone cambiano, ma tra un urto e il successivo si immagina che la velocità rimanga costante e che l'elettrone si muova di moto rettilineo uniforme.

 

La velocità media totale degli elettroni è nulla, e questo perché nel loro complesso di fatto non si stanno muovendo.

 

Il tempo che intercorre tra due urti successivi si chiama tempo medio (\tau) e lo spazio percorribile liberamente tra un urto e quello successivo è detto libero cammino medio (l), in perfetta analogia rispetto alla teoria cinetica dei gas (anche in quel contesto avevamo parlato di libero cammino medio).

 

d.d.p.) Applichiamo alle estremità del conduttore una differenza di potenziale in modo da creare un campo elettrico al suo interno.

 

Indichiamo con e il valore assoluto della carica dell'elettrone, ossia la carica elementare. Invece di considerare il moto dei portatori di carica negativa, ossia degli elettroni (-e), ci atteniamo alla convenzione sulla corrente elettrica secondo cui il verso è dato dal moto dei portatori di carica positiva (e). Si tratta semplicemente di ragionare all'opposto.

 

Da qui in poi dobbiamo prestare molta attenzione ai segni: scriveremo le formule con riferimento ai portatori di carica positiva ma analizzeremo ciò che accade fisicamente agli elettroni.

 

Poiché il campo interagisce con gli elettroni, esercita su di essi una forza elettrica data da

 

\vec{F}=q\vec{E}

 

Sostituendo q=-e vediamo che \vec{F},\vec{E} sono paralleli e discordi, come previsto: le cariche negative vengono attratte nel verso opposto a quello del campo elettrico. Al contrario i portatori di carica positivi si muovono concordemente al campo elettrico.

 

L'accelerazione impressa ai portatori di carica è data da

 

\vec{a}=\frac{\vec{F}}{m}

 

Mettendo assieme le due relazioni, considerando i portatori di carica positivi q=e e indicando con m_e la massa dell'elettrone, possiamo scrivere

 

\vec{a}=\frac{e\vec{E}}{m_e}

 

Come previsto l'accelerazione \vec{a} dei portatori di carica positivi (e) è concorde al campo elettrico \vec{E}; di contro gli elettroni di conduzione (-e) subiscono un'accelerazione nel verso opposto.

 

A fronte dell'accelerazione i portatori di carica positivi (e) assumono una componente di velocità lungo la direzione delle linee del campo elettrico \vec{E}, concorde ad esso e corrispondente alla velocità di deriva. Tale componente è data dal prodotto dell'accelerazione \vec{a} per il tempo medio \tau, in accordo con le leggi del moto rettilineo uniformemente accelerato, per cui possiamo scrivere la seguente formula:

 

\vec{v}_d=\frac{e\vec{E}}{m_e}\tau

 

Gli elettroni di conduzione (-e) in realtà si muovono con una velocità di pari intensità e direzione, ma con verso opposto a \vec{E}. In ogni caso a un campo elettrico più intenso corrisponde una maggiore velocità di spostamento.

 

I portatori di carica hanno così acquisito un moto ordinato in una direzione precisa dettata dal campo elettrico. A ogni urto contro gli ioni del reticolo ciascun elettrone perde la direzione "generale" di movimento, che ritrova però in un arco di tempo pari a \tau prima dell'urto successivo.

 

Visto che si è creata una corrente elettrica possiamo considerare la densità di corrente elettrica \vec{J}, data da:

 

\vec{J}=\eta e \vec{v}_d

 

A tal proposito ricordiamo che \vec{E},\vec{J} sono sempre paralleli e concordi. Ricordiamo inoltre che \eta è il numero di portatori di carica per unità di volume.

 

Sostituendo alla velocità di deriva l'espressione ricavata in precedenza, si ottiene:

 

\vec{J}=\eta e \left(\frac{e \vec{E}}{m_e} \tau \right)=\frac{\eta \tau e^2}{m_e} \vec{E}\ \ \ (\bullet)

 

Qual è il punto? A cosa servono tutte queste considerazioni e i relativi calcoli?...

 

Conducibilità elettrica, legge di Ohm e resistività

 

Se rinominiamo il rapporto presente nell'ultimo membro della catena (\bullet) e lo indichiamo con \sigma, otteniamo un'importantissima formula:

 

\vec{J}=\sigma \vec{E}\\ \\ \mbox{dove }\sigma=\frac{\eta \tau e^2}{m_e}

 

Definiamo \sigma conducibilità elettrica (o conduttività elettrica). Tale grandezza, caratteristica dei materiali, misura la "facilità" con cui le cariche riescono ad attraversare un conduttore, o più rigorosamente la propensione del materiale a lasciarsi attraversare da corrente. Tanto maggiore è il valore di conduttività, tanto più facilmente gli elettroni (o se preferite, i portatori di carica) possono muoversi attraverso il conduttore che li ospita.

 

Dal modello di conduzione che abbiamo delineato emergono parecchi spunti interessanti. Innanzitutto si può dimostrare (anche se non lo facciamo in questa sede) che la conducibilità elettrica è l'inverso della resistività

 

\sigma=\frac{1}{\rho}

 

In secondo luogo, la formula finale che coinvolge la densità di corrente è una sintesi delle leggi di Ohm:

 

J=\sigma E

 

Per capirlo consideriamo un conduttore di lunghezza l e sezione trasversale S in cui scorre corrente elettrica costante nel tempo. In altri termini abbiamo una corrente continua e siamo in regime stazionario. La configurazione geometrica ci permette di usare la versione più semplice della formula per la densità di corrente elettrica:

 

J=\frac{i}{S}

 

Dal confronto tra le due espressioni possiamo ricavare il campo elettrico:

 

\sigma E=\frac{i}{S}\ \ \to\ \ E=\frac{i}{\sigma S}

 

Nelle nostre ipotesi possiamo ricorrere alla formula per la differenza di potenziale in un campo elettrico uniforme (ricordiamoci che la tensione si calcola come differenza tra il potenziale maggiore e quello minore)

 

\Delta V=E l

 

Sostituiamo la precedente espressione per il campo elettrico

 

\Delta V=\frac{l}{\sigma S} i=\rho \frac{l}{S} i

 

A questo punto, se chiamiamo resistenza elettrica e indichiamo con R la grandezza

 

R=\rho \frac{l}{S}

 

otteniamo

 

\Delta V=R i

 

Ed è così abbiamo ricavato in un colpo solo entrambe le leggi di Ohm. In questo senso la formula della densità di corrente che coinvolge la conducibilità elettrica e il campo elettrico viene chiamata in svariati contesti legge di Ohm.

 

Tabella dei valori di conducibilità elettrica

 

Nella seguente tabella riportiamo i valori di conducibilità elettrica dei materiali più diffusi nelle applicazioni e negli esercizi, da intendersi al temperatura ambiente (20 °C). Da notare che la tabella include anche alcuni isolanti elettrici, caratterizzati da bassissimi valori di conduttività rispetto ai conduttori.

 

Analogamente alla resistività, la conducibilità elettrica dipende dal materiale e da fattori esterni (prevalentemente la temperatura).

 

 

Materiale

Conduttività elettrica

Acciaio al carbonio (1010)

6,99 · 106

Acciaio inox

1,45 · 106

Acqua (deionizzata)

4,2 · 10-5

Acqua (di mare)

4,8

Acqua (di piscina)

0,25 - 0,30

Acqua (potabile)

5 · 10-4 - 5 · 10-2

Alluminio

3,77 · 107

Argento

6,30 · 107

Aria

10-15 - 10-9

Calcio

2,98 · 107

Carbon (grafite) perpendicolarmente al piano di base

3,3 · 102

Carbonio (amorfo)

1,25 · 103 - 2.00 · 103

Carbonio (diamante)

≈10-13

Carbonio (grafite) parallelamente al piano di base

2 · 105 - 3 · 105

Cobalt

1,60 · 107

Constantana

2,04 · 106

Ferro

≈107

Gallio

7,10 · 106

Germanio

2,17

Gomma dura

≈10-14

Legno asciutto

10-16 - 10-14

Legno umido

10-4 - 10-3

Litio

1,08 · 107

Manganese

6,94 · 105

Mercurio

1,02 · 106

Nichel

1,43 · 107

Oro

4,11 · 107

Platino

9,43 · 106

Quarzo fuso

1,3 · 10-18

Rame

5,96 · 107

Silicio

4,35 · 10-4

Teflon

10-25 - 10-23

Titanio

2,38 · 106

Tungsteno

1,79 · 107

Vetro

10-15 - 10-11

Zinco

1,69 · 107

Zolfo

≈10-16

 

 


 

Ci fermiamo qui. La prossima lezione riguarderà i superconduttori, di cui abbiamo dato qualche anticipazione nella lezione su resistori e resistenza. Se nel frattempo voleste cimentarvi con esercizi risolti, o se foste in cerca di ulteriori approfondimenti, vi raccomandiamo di usare la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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