Prima e seconda legge di Ohm

Le leggi di Ohm descrivono il comportamento di un resistore in un circuito elettrico attraversato da corrente. La prima legge di Ohm stabilisce che la resistenza elettrica è data dal rapporto tra la differenza di potenziale ai capi del conduttore e l'intensità di corrente; la seconda legge di Ohm mette in relazione la resistenza elettrica di un conduttore con la resistività.

 

Nella precedente lezione, dedicata a resistori, resistenza elettrica e resistività, abbiamo introdotto diversi nuovi concetti e fornito un'anticipazione sulle due leggi che ci accingiamo a studiare. Casomai non l'aveste fatto vi raccomandiamo di leggerla e di tornare qui.

 

Nel corso della spiegazione richiameremo brevemente i prerequisiti e studieremo separatamente la prima legge di Ohm e la seconda legge di Ohm, proponendo un paio di semplici esercizi svolti e soffermandoci sulle grandezze coinvolte nelle due leggi. ;)

 

Legge di Ohm

 

Quando si ha a che fare con i circuiti elettrici esistono poche e semplici regole che ci permettono di capirne il funzionamento e di calcolare i valori delle grandezze che li caratterizzano. La legge che più di tutte è alla base dei fenomeni relativi al passaggio di corrente elettrica è la legge di Ohm (in onore di Georg Simon Alfred Ohm, fisico e matematico tedesco vissuto tra il 1789 e il 1854).

 

Partiamo con una disambiguazione. La maggior parte dei testi e delle fonti fa riferimento a due leggi: la prima legge di Ohm e la seconda legge di Ohm. In determinati contesti invece può capitare che se ne faccia menzione al singolare, e dunque che si parli di legge di Ohm.

 

Chiariamo subito questo punto. Quando ci si riferisce in generale alla legge di Ohm, si può intendere a seconda dei casi:

 

- la prima legge di Ohm, perché è quella che trova maggiore applicazione negli esercizi sulla risoluzione dei circuiti elettrici;

 

- a un livello di studi più avanzato, una terza formula che coinvolge la nozione di conducibilità elettrica e che condensa entrambe le leggi, prima e seconda.

 

Noi presenteremo le due leggi e le rispettive formule separatamente, secondo l'approccio "standard", e ricaveremo la formula generale nella lezione successiva.

 

Attenzione inoltre a non far confusione con i nomi resistoreresistenza e resistività:

 

- i resistori sono oggetti fatti di materiale conduttore che oppongono resistenza al passaggio di corrente;

 

- la resistenza è la caratteristica che ha un conduttore di opporsi al passaggio di corrente, anche se per antonomasia con resistenza ci si può riferire anche al resistore;

 

- la resistività è una grandezza da cui dipende la resistenza e che dipende dal materiale e dalla temperatura.

 

Prima legge di Ohm

 

Se colleghiamo un generatore di tensione a un circuito sappiamo che si manifesta un flusso di corrente elettrica. L'intensità di corrente i è la prima delle tre grandezze che compare nella prima legge di Ohm.

 

Se poi colleghiamo un conduttore al circuito, esso viene attraversato dalla corrente e ai capi del conduttore è presente una differenza di potenziale (o tensione) che indichiamo con \Delta V. Questa è la seconda delle tre grandezze che compaiono nella prima legge di Ohm.

 

Gli elettroni che si muovono in un conduttore, costretti da una differenza di potenziale applicata ai suoi estremi, non seguono una strada libera e lineare e vanno incontro a un percorso "accidentato" che rende il loro cammino "più difficoltoso", prevalentemente a causa degli urti con i nuclei atomici. I materiali conduttori oppongono quindi una certa resistenza al passaggio di corrente elettrica, e si dice che essi si comportano spontaneamente come resistori.

 

Tale caratteristica dipende dallo specifico conduttore (forma, dimensioni, materiale) e da alcuni fattori esterni (temperatura su tutti); viene misurata per mezzo di una nuova grandezza, detta resistenza elettrica e indicata con il simbolo R.

 

Con queste premesse siamo pronti per scrivere la formula della prima legge di Ohm:

 

\Delta V=Ri

 

da cui seguono le formule inverse

 

R=\frac{\Delta V}{i}\ \ \ ;\ \ \ i=\frac{\Delta V}{R}

 

La prima legge di Ohm stabilisce quindi che la differenza di potenziale ai capi di un resistore è uguale al prodotto della resistenza per l'intensità della corrente che lo attraversa. Essa inoltre è la legge da cui discende la definizione dell'unità di misura della resistenza elettrica, detta per l'appunto ohm e indicata con il simbolo Ω.

 

Dalla formula e dalle sue inverse si desume che:

 

- 1 ohm equivale al rapporto tra 1 volt e 1 ampère

 

1\ \Omega=\frac{1\ \mbox{V}}{1\ \mbox{A}}

 

- la differenza di potenziale \Delta V è direttamente proporzionale sia alla corrente i, sia alla resistenza R;

 

- la resistenza R e la corrente i sono inversamente proporzionali tra di loro.

 

La prima legge di Ohm descrive una semplice relazione tra le tre grandezze fondamentali che riguardano un resistore. Si tratta di una legge empirica, individuata cioè mediante esperimenti e non dimostrata per via teorica.

 

Se si prova a misurare in laboratorio la differenza di potenziale per diversi valori di corrente che attraversano il medesimo conduttore, si scopre che \Delta V e i sono legate da una relazione lineare. Se tracciamo un grafico della differenza di potenziale (sull'asse y) in funzione della corrente (sull'asse x) otteniamo una retta passante per l'origine:

 

 

Prima legge di Ohm

Grafico della prima legge di Ohm:
relazione tra intensità di corrente e differenza di potenziale.

 

 

In particolare il passaggio della retta per l'origine implica che a una corrente nulla corrisponde una differenza di potenziale nulla. La resistenza R è invece il coefficiente di proporzionalità tra \Delta V e i, dunque corrisponde al coefficiente angolare della retta ed esprime la pendenza della retta rispetto all'asse orizzontale.

 

È importante precisare che non tutti i conduttori rispettano la prima legge di Ohm, e che quelli che la soddisfano vengono detti conduttori ohmici. Per alcuni conduttori non vale infatti la dipendenza lineare tra la differenza di potenziale e l'intensità di corrente, e tra tali grandezze sussiste un altro tipo di dipendenza (come accade ad esempio per le luci LED). Normalmente però, quando si ha a che fare con dei normali circuiti, i conduttori considerati soddisfano sempre la prima legge di Ohm: per questo motivo nelle lezioni dedicate all'Elettrodinamica supporremo sempre implicitamente di lavorare con conduttori ohmici, a meno che sia diversamente specificato.

 

 

Esempio sulla prima legge di Ohm

 

Vediamo un semplice esercizio. Ai capi di un conduttore è presente una differenza di potenziale di 15 V e l'intensità di corrente che lo attraversa è pari a 3 A. Vogliamo calcolare la resistenza del conduttore.

 

Svolgimento: usiamo la formula inversa della legge di Ohm per la resistenza e sostituiamo i dati

 

R=\frac{\Delta V}{i}=\frac{15 \mbox{ V}}{3 \mbox{ A}}=5 \ \Omega

 

Seconda legge di Ohm

 

La prima legge ci dice come la resistenza è legata alla differenza di potenziale e all'intensità di corrente, ma non ci dice da quali fattori essa dipende. Più precisamente abbiamo visto che la resistenza elettrica dipende dal conduttore (dunque dal materiale che lo costituisce, dalle sue dimensioni e dalla sua forma) e da alcune condizioni esterne (come la temperatura).

 

A questo proposito si definisce un'ulteriore grandezza, la resistività elettrica, che si indica con la lettera greca ρ e che esprime la tendenza del materiale ad opporsi al passaggio di corrente. In questo modo si elimina la dipendenza dalle altre caratteristiche del conduttore, pur preservando la dipendenza dai fattori esterni.

 

È naturale domandarsi quale sia la relazione tra resistenza elettrica e resistività ed è qui interviene la formula della seconda legge di Ohm

 

R=\rho \frac{l}{S}

 

dove con l denotiamo la lunghezza del resistore e con S l'area della sezione trasversale. L'unità di misura della resistività è data dal prodotto tra ohm e metro (\Omega\mbox{m}), come si evince dalla precedente equazione.

 

Scriviamo le formule inverse:

 

\rho=\frac{RS}{l}\\ \\ \\ l=\frac{RS}{\rho}\\ \\ \\ S=\frac{\rho l}{R}

 

La seconda legge di Ohm stabilisce quindi che la resistenza di un conduttore è direttamente proporzionale alla sua lunghezza e inversamente proporzionale all'area della sezione trasversale, e inoltre che dipende dal materiale di cui è costituito il conduttore.

 

Con sezione trasversale intendiamo al solito la sezione del conduttore perpendicolare al moto delle cariche elettriche. Consideriamo ad esempio un prisma a base quadrata e immaginiamolo disposto verticalmente; immaginiamo poi di posizionarlo in orizzontale e di fare in modo che venga attraversato da una corrente anch'essa in orizzontale: in tal caso la sezione trasversale sarà il quadrato di base del prisma (figura a sinistra). In questa situazione la lunghezza è data dall'altezza del prisma.

 

Se invece la corrente dovesse attraversare il prisma dall'alto verso il basso (figura a destra), la lunghezza l sarebbe quella del lato del quadrato di base e la sezione trasversale sarebbe il rettangolo della superficie laterale.

 

 

Seconda legge di Ohm

Sezione trasversale nella seconda legge di Ohm.

 

 

Passiamo alle dovute osservazioni sulla seconda legge di Ohm e sulla resistività, anche se ce ne siamo già occupati nella precedente lezione, per cui ci limitiamo a un rapido ripasso. ;)

 

1) La resistività \rho è una grandezza che dipende dal materiale da cui è costituito il conduttore, e in caso di necessità si può far riferimento ad apposite tabelle in cui vengono elencati i valori di resistività per i materiali più ricorrenti negli esercizi. Ad esempio per il ferro si ha 9,68\cdot 10^{-8}\ \Omega\mbox{m} e per l'alluminio 2,75\cdot 10^{-8}\ \Omega\mbox{m}.

 

2) La resistività dipende inoltre dalle condizioni esterne in cui si trovano il circuito e il conduttore, e in particolare dalla temperatura, secondo la formula che abbiamo visto nella precedente lezione. I valori di riferimento delle resistività dei materiali vengono determinati a temperatura ambiente (20 °C) e si indicano con il simbolo \rho_0.

 

 

Esempio sulla seconda legge di Ohm

 

Ora che abbiamo chiarito il significato di tutte le grandezze della seconda legge di Ohm, vediamo un piccolo esempio numerico. Calcoliamo la resistenza di un filo di rame (\rho_0\simeq 1,7\cdot 10^{-8}\ \Omega\mbox{m}) lungo 2 metri e con un diametro di 1 millimetro.

 

Svolgimento: prima di applicare la seconda legge di Ohm dobbiamo capire come calcolare l'area della sezione trasversale. Visto che la traccia parla di diametro, significa che il filo è cilindrico e che la sezione traversale è data dal cerchio di base:

 

S=\pi r^2=\pi \left( \frac{d}{2} \right)^2=\frac{\pi}{4} d^2

 

Ora siamo pronti per applicare la seconda legge di Ohm:

 

R=\rho \frac{l}{S}=\\ \\ \\ =\rho_0 \frac{l}{\frac{\pi}{4} d^2}=\frac{4 \rho_0 l}{\pi d^2}=\\ \\ \\ =\frac{4 \cdot (1,7 \cdot 10^{-8} \ \Omega \mbox{m}) \cdot (2 \mbox{ m})}{\pi \left( 10^{-3} \mbox{ m} \right)^2}\simeq 0,14 \ \Omega 

 

 


 

La prossima lezione è dedicata al modello classico della conduzione elettrica e in particolare alla conducibilità elettrica. Nel mentre potete esercitarvi o trovare le risposte a eventuali dubbi usando la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e altrettante lezioni. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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