Regime di corrente stazionaria ed equazione di continuità

In un regime di corrente stazionaria, per definizione, la carica interna a una qualsiasi superficie chiusa di un conduttore attraversato da corrente è costante nel tempo. In tale ipotesi vale l'equazione di continuità della corrente, secondo cui l'intensità di corrente è sempre la stessa al variare delle sezioni trasversali del conduttore.

 

Vi ricordate quando abbiamo studiato la Fluidodinamica? All'epoca abbiamo definito la nozione di portata e abbiamo detto che i fluidi in regime stazionario sono tali se in ogni singolo punto, considerato a sé, la velocità resta costante. Da lì siamo passati all'equazione di continuità di Leonardo, secondo la quale in regime stazionario la portata è sempre la stessa al variare delle sezioni trasversali del condotto.

 

Nel caso della corrente elettrica vale un discorso del tutto analogo. In questa lezione riprenderemo ciò che abbiamo visto sulla densità di corrente, e ripartiremo dalla formula dell'intensità di corrente come flusso della densità di corrente attraverso una superficie del conduttore.

 

Qui però ragioneremo nel caso di superfici chiuse in un conduttore e metteremo in relazione l'intensità di corrente, il flusso della densità di corrente e la derivata della carica interna rispetto al tempo. Con queste premesse definiremo la condizione di stazionarietà della corrente elettrica e scriveremo infine l'equazione di continuità della corrente elettrica.

 

Flusso della densità di corrente attraverso superfici chiuse

 

L'intensità di corrente è legata alla densità di corrente elettrica da un'equazione integrale. Sappiamo infatti che l'intensità di corrente i equivale al flusso del vettore densità di corrente \vec{J} attraverso una superficie aperta \mathcal{S} del conduttore:

 

i=\Phi_{\mathcal{S}}(\vec{J})=\int_{\mathcal{S}}{\vec{J} \cdot \vec{u}dS}\ \ \ (\mathcal{S}\mbox{ aperta})

 

Con \vec{u} indichiamo il versore (vettore di norma unitaria) perpendicolare alla superficie in ogni suo punto.

 

Consideriamo una superficie chiusa. Immaginiamo che il vettore \vec{u} sia sempre perpendicolare alla superficie in ogni suo punto (indipendentemente dalla forma che la superficie assume) e che sia sempre diretto verso l'esterno della superficie, come in figura:

 

 

Regime di corrente stazionaria

Intensità di corrente come flusso della densità di corrente
attraverso una superficie chiusa del conduttore.

 

 

Il flusso è da intendersi positivo quando il vettore \vec{J} punta verso l'esterno della superficie come il vettore \vec{u}, anche se questi due vettori non sono necessariamente paralleli.

 

Ricordando che il verso di \vec{J} è legato al moto delle cariche positive, poiché tale è la convenzione relativa al verso della corrente elettrica e dunque alla velocità di deriva, si ha:

 

- un flusso positivo quando le cariche positive escono dalla superficie, o equivalentemente quando le cariche negative entrano nella superficie;

 

- un flusso negativo quando le cariche positive entrano nella superficie, o equivalentemente quando le cariche negative escono dalla superficie.

 

Come si vede, le cariche possono entrare o uscire dalla superficie chiusa e quindi la quantità di carica Q_{int} presente al suo interno può variare nel tempo.

 

La variazione nel tempo della carica elettrica all'interno della superficie chiusa equivale al flusso della densità di corrente attraverso la superficie chiusa considerata:

 

\Phi_{\mathcal{S}}(\vec{J})=-\frac{dQ_{int}}{dt}\ \ \ (\mathcal{S}\mbox{ chiusa})\ \ \ (\bullet)

 

In altri termini il flusso della densità di corrente attraverso una superficie chiusa è uguale alla derivata della carica interna alla superficie rispetto al tempo, cambiata di segno. Questo è di fatto il principio di conservazione della carica elettrica, secondo cui la carica in uscita o ingresso dalla superficie chiusa deve corrispondere a una variazione nel tempo della carica contenuta al suo interno.

 

Per comprendere il motivo del segno meno è sufficiente considerare il percorso delle cariche positive: se le cariche positive si muovono verso l'esterno della superficie chiusa allora il flusso è positivo, ma la quantità di carica presente all'interno diminuisce; la derivata della carica rispetto al tempo è quindi negativa. In mancanza di quel segno meno avremmo a che fare con un'uguaglianza tra una quantità positiva e una negativa. Se si considera il movimento delle cariche negative vale un ragionamento del tutto analogo.

 

Regime di corrente elettrica stazionario

 

Esiste un caso particolare in cui la variazione di carica interna è sempre nulla nonostante la superficie chiusa sia attraversata continuamente da cariche elettriche. In tale eventualità la quantità di carica presente dentro a una qualsiasi superficie chiusa del conduttore rimane costante col passare del tempo.

 

Questa condizione viene chiamata regime di corrente stazionario e si caratterizza per il fatto che la derivata della carica interna rispetto al tempo è uguale a zero

 

\frac{dQ_{int}}{dt}=0\ \ \to\ \ Q_{int}\mbox{ costante}\ \ \ (\mathcal{S}\mbox{ chiusa})\ \ \ (\bullet\bullet)

 

Di conseguenza anche il flusso del vettore densità di carica attraverso la superficie chiusa è uguale a zero

 

\Phi_{\mathcal{S}}(\vec{J})=0\ \ \ (\mathcal{S}\mbox{ chiusa})\ \ \ (\bullet\bullet)

 

Attenzione: quest'ultima equazione non implica che le cariche non attraversino la superficie considerata, piuttosto che in un regime di corrente stazionaria il flusso totale è nullo. Ciò significa che a una carica elettrica positiva in uscita dalla superficie, dunque tale da dare un contributo positivo al flusso, ne corrisponde un'altra in entrata che dà un contributo negativo al flusso e uguale in valore assoluto, cosicché la somma totale di tutti i contributi è zero.

 

Equazione di continuità per la corrente elettrica

 

A questo punto possiamo passare alle versioni differenziali delle equazioni (\bullet) e (\bullet\bullet). Premettiamo che le formule risulteranno comprensibili solamente a chi ha dimestichezza con Analisi 2 ma raccomandiamo comunque a tutti di proseguire con la lettura, perché le implicazioni fisiche sono importanti!

 

In generale il principio di conservazione della carica in forma differenziale può essere scritto nel modo seguente:

 

\vec{\nabla} \cdot \vec{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t}=0\ \ \ (\mathcal{S}\mbox{ chiusa})\ \ \ (\bullet)

 

In altri termini la somma tra la divergenza della densità di corrente e la derivata temporale della densità volumica di carica \rho è uguale a zero.

 

Nell'ipotesi di regime di corrente stazionaria la derivata di \rho rispetto al tempo è uguale a zero, per cui si ha:

 

\vec{\nabla} \cdot \vec{J}=0\ \ \ (\mathcal{S}\mbox{ chiusa})\ \ \ (\bullet\bullet)

 

Quest'ultima equazione prende il nome di equazione di continuità della corrente elettrica. Se la corrente elettrica attraversa un conduttore a sezione variabile in condizione di stazionarietà, l'intensità di corrente è sempre uguale indipendentemente dall'area della sezione trasversale. Ciò implica che in corrispondenza della sezione di area minore la velocità di deriva delle cariche elettriche è maggiore; viceversa, in corrispondenza della sezione di area maggiore il valore di velocità di deriva è minore.

 

Confronto tra Fluidodinamica ed Elettrodinamica

 

Tiriamo le somme facendo riferimento al parallelismo con la Fluidodinamica.

 

[F] Da una parte abbiamo un volume di liquido in un tubo e la portata, che è il rapporto tra il volume di liquido che attraversa una sezione trasversale del condotto e l'intervallo di tempo.

 

[E] Dall'altra abbiamo una carica elettrica interna a una superficie chiusa e l'intensità di corrente, che è il rapporto tra la carica che attraversa una sezione trasversale del conduttore e l'intervallo di tempo.

 

[F] Avevamo definito il regime stazionario dei fluidi come la condizione per cui, dato un qualsiasi punto del condotto, la velocità resta costante (non necessariamente con lo stesso valore da un punto all'altro, bensì con lo stesso valore in ogni singolo punto). Ciò equivale al fatto che il volume di liquido interno a una qualsiasi superficie chiusa del condotto è costante nel tempo.

 

[E] Qui abbiamo definito il regime stazionario di corrente come la condizione per cui la carica interna a una qualsiasi superficie chiusa del conduttore è costante nel tempo. In modo equivalente, seppur meno intuitivo, la velocità di deriva deve rimanere costante in ogni singolo punto (non necessariamente con lo stesso valore da un punto all'altro, bensì con lo stesso valore in ogni singolo punto).

 

[E] L'equazione di continuità di Leonardo mostra che in condizione di stazionarietà la portata è costante al variare della sezione trasversale del condotto, di conseguenza un liquido fluisce con maggiore velocità laddove la sezione del tubo si restringe, viceversa scorre con velocità minore ove la sezione del tubo si allarga.

 

[F] L'equazione di continuità per la corrente elettrica conduce a una conclusione analoga. In condizione di stazionarietà l'intensità di corrente è costante al variare della sezione trasversale del conduttore, quindi in presenza di un conduttore a sezione variabile avremo una velocità di deriva maggiore in corrispondenza delle sezioni con area minore, e viceversa una velocità minore in concomitanza delle sezioni con area maggiore.

 

 


 

Nella prossima lezione vedremo quali sono le implicazioni pratiche del regime di corrente stazionario nei circuiti elettrici... O meglio, come realizzarlo. :) Studieremo nel dettaglio un componente fondamentale dei circuiti elettrici - il generatore di tensione - vale a dire il dispositivo che consente di realizzare un flusso di corrente continua.

 

Nel frattempo se siete in cerca di esercizi svolti, o se avete qualche dubbio, vi raccomandiamo di servirvi della barra di ricerca interna. ;) 

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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