Densità di corrente elettrica

La densità di corrente elettrica è una grandezza vettoriale parallela e concorde alla velocità di deriva e al campo elettrico all'interno del conduttore, ed esprime l'intensità di corrente al netto della sezione attraversata dalle cariche. Il flusso della densità di corrente attraverso una superficie del conduttore, non necessariamente trasversa, equivale all'intensità di corrente.

La terza grandezza caratteristica della corrente elettrica, di cui tratteremo nel dettaglio in questa lezione, è la densità di corrente.

Partiremo da una serie di considerazioni relative al moto delle cariche in un conduttore e mostreremo quali sono le esigenze che portano a definirla. Dopo averne scritto la formula vedremo come essa consente di calcolare l'intensità di corrente come flusso della densità di corrente attraverso una qualsiasi superficie del conduttore

Definizione e formule della densità di corrente elettrica

Consideriamo un filo conduttore e supponiamo che tra i suoi capi sia presente una differenza di potenziale $\Delta V$ , condizione indispensabile affinché possa esserci un flusso di cariche.

Nel conduttore si crea di conseguenza un campo elettrico $\vec{E}$ e si genera un flusso di corrente elettrica di intensità .

All'interno del conduttore vi sono $\eta$ portatori di carica per unità di volume, che si muovono complessivamente con una velocità pari alla velocità di deriva $\vec{v}_d$ lungo la direzione del campo elettrico. In accordo con le convenzioni sulla corrente, se facciamo riferimento ai portatori di carica positivi allora il moto è concorde al verso del campo elettrico.

Consideriamo un volume infinitesimo di conduttore individuato da una lunghezza e da una sezione , non necessariamente perpendicolare alla direzione del moto delle cariche.

Densità di corrente

Volume infinitesimo del conduttore e moto delle cariche positive.

In accordo con la definizione di intensità di corrente, è data dal rapporto tra la quantità di carica che attraversa la sezione nell'intervallo di tempo e l'intervallo di tempo , quindi possiamo esprimere l'intensità di corrente che interessa il volume infinitesimo nella forma

$di=\frac{dQ}{dt}$

In riferimento alla precedente figura il versore $\vec{u}$ perpendicolare alla superficie forma un angolo $\alpha$ con il vettore campo elettrico. Per calcolare il volume possiamo allora moltiplicare l'altezza per il prodotto tra la superficie di base e il coseno dell'angolo $\alpha$ , così da ricondurci al volume del cilindro con base perpendicolare all'altezza

$dV=h \cos(\alpha) dS$

Il prodotto $\cos(\alpha)dS$ equivale infatti all'area sezione trasversale. L'altezza può essere scritta come prodotto tra la velocità di deriva e l'intervallo di tempo , secondo la legge del moto rettilineo uniforme per cui lo spostamento è uguale al prodotto della velocità per il tempo.

Sostituiamo tale espressione nella formula per il volume infinitesimo

$dV=v_d dt \cos(\alpha) dS$

Per sapere quanta carica è contenuta nel volume dobbiamo moltiplicare il numero di cariche per unità di volume $\eta$ per il valore di una singola carica (il modulo della carica dell'elettrone, ossia la carica elementare ) per il volume. Ricordiamoci che stiamo considerando le cariche positive:

$dQ=\eta e dV$

Mettendo assieme le ultime due relazioni, otteniamo

$dQ=\eta e v_d dt \cos(\alpha) dS$

Da qui riscriviamo l'intensità di corrente che fluisce attraverso il volumetto nell'intervallo di tempo come:

$di=\frac{n e v_d dt \cos(\alpha) dS}{dt}$

ossia

$di=\eta e v_d \cos(\alpha) dS$

Siamo così riusciti a trovare un'equazione che mette in relazione l'intensità di corrente con le grandezze che si riferiscono al moto delle cariche nel conduttore, nonché alle cariche stesse.

A questo punto definiamo la densità di corrente elettrica mediante la formula

$\vec{J}=\eta e \vec{v}_d\ \ \ (e>0)$

da cui si evince che la densità di corrente è una grandezza vettoriale, e che è direttamente proporzionale al numero di portatori di carica per unità di volume $\eta$ . Se consideriamo i portatori di carica positiva, come da convenzione, $\vec{J}$ è un vettore parallelo e concorde alla velocità di deriva $\vec{v}_d$ ; di conseguenza, è parallelo e concorde anche al campo elettrico $\vec{E}$ .

Riguardo al significato della densità di corrente è sufficiente osservare la formula della definizione e la precedente espressione per l'intensità di corrente infinitesima: in termini grezzi essa esprime l'intensità di corrente (che è la quantità di carica attraverso una sezione trasversa nell'unità di tempo) al netto della sezione attraversata dalle cariche.

A che scopo definire questa nuova grandezza? Per comprenderne la necessità partiamo dal legame tra intensità di corrente e densità di corrente:

$di=\vec{J} \cdot \vec{u} dS$

L'intensità di corrente può essere espressa come prodotto scalare tra il vettore densità di corrente elettrica $\vec{J}$ e il versore $\vec{u}$ perpendicolare alla superficie , il tutto moltiplicato per l'area della sezione.

Se vogliamo il valore di corrente che attraversa l'intero conduttore non ci resta che integrare su tutta la superficie $\mathcal{S}$ :

$i=\int_{\mathcal{S}}{\vec{J} \cdot \vec{u} dS}$

Ma l'integrale che abbiamo appena scritto equivale alla definizione di flusso di $\vec{J}$ attraverso la superficie $\mathcal{S}$ (cfr: flusso del campo elettrico). In definitiva l'intensità di corrente è uguale al flusso della densità di corrente attraverso la superficie considerata

$i= \Phi_{\mathcal{S}} (\vec{J})\ \ \ (\mathcal{S}\mbox{ aperta})$

Nel caso più semplice in cui il vettore $\vec{J}$ è parallelo e concorde al versore $\vec{u}$ , allora l'intensità di corrente è data dal prodotto di per l'area della superficie; ricavando la formula inversa, la norma della densità di corrente è data dal rapporto tra l'intensità di corrente e l'area della superficie

$i=JS \ ; \ J=\frac{i}{S}\ \ \ (\mathcal{S}\mbox{ aperta e trasversale})$

Nella nostra trattazione abbiamo sempre considerato i portatori di carica positiva, ma se avessimo considerato quelli di carica negativa di fatto non sarebbe cambiato nulla.

La densità di corrente infatti dipende sia dalla carica elettrica (e quindi dal suo segno), sia dalla velocità di deriva (e quindi dal suo verso). Se consideriamo le cariche negative cambia il segno della carica ma bisogna anche considerare il verso opposto a quello della velocità di deriva, visto che i portatori di carica negativa si muovono nel verso opposto rispetto a quelli di carica positiva. Nella formula di $\vec{J}$ introduciamo così due segni meno che danno come risultato un segno positivo, il che significa che il verso del vettore $\vec{J}$ non cambia.

Da qui si evince che la densità di corrente è sempre un vettore parallelo e concorde al campo elettrico, indipendentemente dal segno dei portatori di carica considerati

$\vec{J}\ //\ \vec{E}\mbox{ e concordi}$

Nella prossima lezione spiegheremo in cosa consiste un regime di corrente elettrica stazionario. Come di consueto invitiamo chiunque sia in cerca di esercizi risolti o di approfondimenti a fare buon uso della barra di ricerca interna; qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti e commentati nel dettaglio. ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

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