Dielettrici

Con il termine dielettrico ci si riferisce a un qualsiasi isolante elettrico. I principali utilizzi dei dielettrici riguardano l'isolamento dei corpi dalla conduzione di cariche elettriche e la modifica delle caratteristiche dei condensatori; si parla, a tal proposito, di condensatori con dielettrico.

 

Sin dagli esordi del corso sull'elettricità abbiamo menzionato a più riprese i dielettrici, riferendoci con tale termine ai materiali isolanti. Ora vogliamo scendere nel dettaglio e occuparci delle applicazioni che li riguardano.

 

Nel contesto dei condensatori i dielettrici vengono utilizzati per riempire interamente lo spazio tra le due armature, con l'effetto di alterarne le caratteristiche rispetto al caso in cui l'intercapedine è vuota. Vedremo in particolare quali sono le grandezze caratteristiche di un condensatore con dielettrico e quali sono le relative formule, facendo riferimento al più semplice e diffuso caso dei condensatori piani.

 

Cosa sono i dielettrici e a cosa servono

 

In Elettrostatica si parla molto spesso dei dielettrici e in effetti, fino a qui, ci è capitato di menzionarli più volte, anche se non ne abbiamo mai parlato nello specifico. Ora che abbiamo sufficienti basi di teoria è opportuno soffermarci sull'argomento: cerchiamo allora di capire cosa sono i dielettrici, come si comportano e a cosa servono.

 

Innanzitutto il termine dielettrico si riferisce semplicemente a un isolante elettrico. Questo significa che un conduttore non è un dielettrico, e viceversa.

 

Oltre all'ovvio utilizzo dei dielettrici per isolare i corpi dalla conduzione elettrica, e dunque per inibire il trasferimento di cariche elettriche, l'applicazione più diffusa riguarda i condensatori. Si tratta nella fattispecie di inserire un dielettrico nell'intercapedine di un condensatore, tra le due armature, così da alterarne le caratteristiche.

 

Condensatori con dielettrico

 

Come cambia il campo elettrico nello spazio compreso tra due conduttori elettrizzati se tale spazio viene riempito interamente con un materiale isolante? Per scoprirlo facciamo riferimento esclusivamente ai condensatori piani, dal momento che sono quelli più ricorrenti nelle applicazioni e negli esercizi.

 

Consideriamo allora un condensatore piano, dunque formato da due lastre piane e parallele su cui è presente una carica elettrica. Sulle armature la carica è la stessa in modulo ma con segni opposti (ossia +Q,-Q, considerando per semplicità Q>0).

 

Se la distanza tra le due armature è molto minore rispetto alle loro dimensioni allora il campo elettrico che si genera all'interno del condensatore è in buona approssimazione uniforme, ossia con la medesima intensità in ogni punto dello spazio presente tra le due armature, con linee di campo perpendicolari alle armature e parallele tra di loro, e verso uscente dall'armatura positiva ed entrante in quella negativa.

 

Ora immaginiamo di inserire un conduttore tra le armature del condensatore, ad esempio una lastra metallica collocata in modo che le sue pareti non entrino in contatto con le armature del condensatore.

 

Per via del fenomeno dell'induzione elettrostatica sulla faccia del conduttore vicina all'armatura positiva compare un'uguale carica negativa, e viceversa sull'altra faccia del conduttore compare una carica positiva. In questo modo la lastra diventa a sua volta una sorta di condensatore che produce al proprio interno un campo elettrico uguale e contrario a quello generato dal condensatore "principale". Il risultato complessivo è che dentro al conduttore il campo elettrico è nullo. Tra la lastra e le armature del condensatore invece il campo rimane invariato.

 

Supponiamo al contrario di inserire un dielettrico tra le armature del condensatore. Nel dielettrico la cariche non sono libere di muoversi come nei conduttori, infatti gli elettroni non abbandonano i nuclei atomi cui appartengono. Al più, in presenza di un campo elettrico esterno, gli atomi del dielettrico vengono polarizzati e subiscono uno sbilanciamento delle proprie cariche, trasformandosi in dipoli elettrici. In altre parole in ciascun atomo la carica negativa tende a muoversi verso l'armatura positiva del condensatore mentre la carica positiva tende a orientarsi verso l'armatura negativa. In questo fenomeno, detto di polarizzazione elettrica, vengono coinvolti tutti i costituenti del dielettrico.

 

Il risultato finale è che sulla faccia del dielettrico in prossimità dell'armatura positiva del condensatore comparirà una carica negativa e, di contro, sulla faccia opposta comparirà una carica positiva. Le cariche che sono comparse sulle facce del dielettrico non hanno lo stesso valore di quella presente sulle armature, come accadeva con la lastra conduttrice.

 

Notiamo inoltre che nel caso della lastra conduttrice è essenziale che essa non entri a contatto con le armature del condensatore, onde evitare che esse si scarichino; al contrario il dielettrico può estendersi fino a toccarle. Il dielettrico quindi può occupare tutto il volume disponibile all'interno del condensatore in quanto, trattandosi di un materiale isolante, non vi è alcuna possibilità che parte della carica presente sulle armature possa scaricarsi su di esso.

 

Formule dei dielettrici nei condensatori piani

 

Quando si considera una grandezza elettrica in presenza di un dielettrico l'obiettivo è capire come si modifica rispetto al valore che assume in presenza del vuoto. Nel primo caso ci si riferisce alla grandezza definendola polarizzata, nel secondo caso si specifica il valore di riferimento nel vuoto con un pedice "con zero".

 

In presenza del dielettrico la differenza di potenziale tra le armature del condensatore diminuisce. Il rapporto tra la differenza di potenziale \Delta V_0 con il vuoto e quella con il dielettrico \Delta V è sempre maggiore di 1. Tale rapporto, detto costante dielettrica relativa del mezzo e indicato con \varepsilon_{r,m}, dipende dal materiale dielettrico (ed è peraltro è una grandezza che conosciamo fin dalla lezione sulla legge di Coulomb)

 

\varepsilon_{r,m}=\frac{\Delta V_0}{\Delta V}

 

Da qui si ricava che la differenza di potenziale del condensatore con un dielettrico è uguale a quella che si avrebbe con il vuoto, diminuita di un fattore pari al reciproco della costante dielettrica relativa del mezzo

 

\Delta V=\frac{\Delta V_0}{\varepsilon_{r,m}}

 

Per il campo elettrico polarizzato \vec{E} vale una formula del tutto analoga. L'intensità del campo elettrico del condensatore con un dielettrico si riduce di un fattore pari al reciproco di \varepsilon_{r,m} rispetto a quello che si avrebbe con il vuoto

 

E=\frac{E_0}{\varepsilon_{r,m}}

 

Consideriamo la variazione di intensità \Delta E che subisce il campo elettrico del condensatore senza dielettrico (E_0) e con dielettrico (E). Se indichiamo con E_m il modulo del campo elettrico del dielettrico polarizzato, ossia il campo elettrico che si genera al suo interno, e se osserviamo che \vec{E}_m è parallelo e opposto a \vec{E}_0, possiamo affermare che E_m è il responsabile della diminuzione dell'intensità del campo elettrico da E_0 a E

 

\Delta E=E_m=E_0 - E

 

La presenza del dielettrico non altera la carica Q presente sulle armature del condensatore, di conseguenza non altera nemmeno la loro densità superficiale di carica \sigma. Ricordandoci che il campo elettrico in un condensatore piano è dato dal rapporto tra il modulo della densità superficiale di carica |\sigma| e la costante dielettrica assoluta del mezzo \varepsilon_m, possiamo scrivere:

 

E_m=E_0 - E=\\ \\ \\ =E_0-\frac{E_0}{\varepsilon_{r,m}}=\\ \\ \\ =\frac{|\sigma|}{\varepsilon_0}-\frac{|\sigma|}{\varepsilon_0\varepsilon_{r,m}}=\\ \\ \\ =\frac{\varepsilon_{r,m} - 1}{\varepsilon_{r,m}} \cdot \frac{|\sigma|}{\varepsilon_0}

 

dove \varepsilon_0 è la costante dielettrica del vuoto. In definitiva il campo elettrico del dielettrico polarizzato è dato da

 

E_m=\frac{\varepsilon_{r,m} - 1}{\varepsilon_{r,m}} \cdot \frac{|\sigma|}{\varepsilon_0}

 

Definiamo una nuova grandezza, detta suscettibilità elettrica del mezzo e indicata con \chi_m, come differenza tra la costante dielettrica relativa del mezzo e 1. Poiché per definizione \varepsilon_{r,m}>1 per qualsiasi materiale diverso dal vuoto, è chiaro che \chi_m>0

 

\chi_{m}=\varepsilon_{r,m} - 1

 

Da qui possiamo esprimere il campo elettrico del dielettrico polarizzato nel modo seguente

 

E_m=\frac{\chi_{m}}{\chi_{m} +1}\cdot \frac{|\sigma|}{\varepsilon_0}

 

e possiamo ricavare un'ulteriore formula per il valore del campo elettrico del condensatore con un dielettrico:

 

E=E_0 - E_m=\frac{|\sigma|}{\varepsilon_0} - \frac{\varepsilon_{r,m} - 1}{\varepsilon_{r,m}}\cdot  \frac{|\sigma|}{\varepsilon_0}

 

Se a questo punto definiamo la densità superficiale di carica del dielettrico \sigma_m come

 

\sigma_m=\frac{\varepsilon_{r,m} - 1}{\varepsilon_{r,m}} \sigma

 

possiamo esprimere il campo elettrico del dielettrico polarizzato come

 

E_m=\frac{|\sigma_m|}{\varepsilon_0}

 

e arriviamo alla formula per il campo elettrico del condensatore con un dielettrico

 

E=\frac{|\sigma|}{\varepsilon_0} - \frac{|\sigma_m|}{\varepsilon_0}

 

All'atto pratico abbiamo trattato il dielettrico come un condensatore nel condensatore, esprimendo il campo elettrico \vec{E}_m generato al suo interno in funzione di una certa densità di carica |\sigma_m| sulle sue superfici opposte. Abbiamo cioè ricavato una legge che ci permette di calcolare la carica sulle facce del dielettrico inserito tra le armature del condensatore.

 

Da osservare che la densità di carica del dielettrico \sigma_m dipende dalla costante dielettrica relativa del mezzo, che a sua volta dipende dal particolare tipo di dielettrico impiegato, ed è direttamente proporzionale alla densità di carica \sigma presente sul condensatore: tanto maggiore è \sigma, tanto maggiore è anche \sigma_m.

 

Che dire riguardo alla capacità? Se la carica Q sulle armature del condensatore rimane la stessa ma la differenza di potenziale \Delta V diminuisce, significa che la capacità di un condensatore con dielettrico aumenta:

 

C=\frac{Q}{\Delta V}=\dfrac{Q}{\tfrac{\Delta V_0}{\varepsilon_{r,m}}}=\varepsilon_{r,m} C_0

 

da cui la formula

 

C=\varepsilon_{r,m} C_0

 

Per concludere vi anticipiamo che c'è un'altra grandezza che caratterizza i dielettrici: la rigidità dielettrica, che individua il massimo valore di campo elettrico che il dielettrico è in grado di sopportare prima di rompersi, trasformandosi in un conduttore e lasciandosi attraversare da cariche elettriche. Ne parleremo in una delle lezioni successive, dedicata al fenomeno di rottura del dielettrico.

 

 


 

La prossima lezione (polarizzazione del dielettrico) riprenderà un tema che abbiamo già affrontato all'inizio del corso. Abbiamo già trattato il fenomeno di polarizzazione elettrica, ma ora vogliamo passare a uno studio più approfondito nel contesto dei condensatori. Non perdetevela! E se nel frattempo voleste consultare esercizi risolti e/o approfondimenti, vi raccomandiamo di usare la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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