Energia immagazzinata in un condensatore

L'energia immagazzinata in un condensatore è una forma di energia potenziale elettrostatica che equivale al lavoro speso per caricare il condensatore, e si calcola come semiprodotto tra la carica del condensatore e la differenza di potenziale tra le due armature.

 

In questa semplice lezione ci occupiamo degli aspetti energetici relativi ai condensatori.

 

Innanzitutto spiegheremo da dove nasce e in cosa consiste l'energia elettrica che si accumula in un condensatore, dopodiché elencheremo le varie formule che permettono di calcolarla e mostreremo come ricavarle.

 

Definizione di energia immagazzinata in un condensatore

 

Se prendiamo un conduttore neutro e lo vogliamo caricare elettricamente, non possiamo farlo senza spendere dell'energia. Le cariche che vogliamo spostare sul conduttore infatti vanno mosse forzatamente e tale operazione richiede lavoro.

 

La stessa cosa è valida anche per un condensatore. Portare delle cariche elettriche sulle sue armature richiede un dispendio di energia. Consideriamo una faccia del condensatore e supponiamo che sia quella che si carica positivamente. Quando il processo di carica comincia, le cariche positive iniziano a depositarsi sull'armatura; nel contempo tali cariche tenderanno a respingere quelle che si accumulano successivamente, avendo tutte lo stesso segno

 

Per continuare a elettrizzare l'armatura bisogna quindi spendere energia per contrastare le forze repulsive tra cariche dello stesso segno, che tendono a respingersi allontanandosi le une dalle altre. La stessa cosa vale anche per l'armatura con carica negativa. È anche possibile immaginare il processo di carica del condensatore come uno spostamento di carica da un'armatura all'altra, dato che alla fine le due armature dovranno avere la stessa carica, seppur con segni opposti.

 

In forza del principio di conservazione dell'energia, tutta l'energia spesa per caricare il condensatore deve essersi convertita e non può essersi dispersa nel nulla; nello specifico essa si converte in energia potenziale elettrica che in questo contesto prende il nome di energia immagazzinata dal condensatore.

 

Possiamo dunque dire che l'energia immagazzinata in un condensatore è uguale al lavoro speso per caricarlo.

 

Tale energia può essere successivamente usata dal condensatore e rilasciata nel circuito, come vedremo quando analizzeremo il processo di scarica in una delle lezioni successive.

 

Come calcolare l'energia immagazzinata in un condensatore

 

Un condensatore con una carica elettrica Q e una differenza di potenziale \Delta V immagazzina un'energia pari alla metà del prodotto tra la carica e la differenza di potenziale.

 

La formula per l'energia immagazzinata in un condensatore è dunque

 

E_{imm}=\frac{1}{2} Q \Delta V

 

Le formule inverse si ricavano piuttosto facilmente:

 

Q=\frac{2E_{imm}}{ \Delta V}\ \ \ ;\ \ \ \Delta V=\frac{2E_{imm}}{Q}

 

L'energia immagazzinata in un condensatore è quindi direttamente proporzionale alla carica depositata sulle armature e alla differenza di potenziale tra le due armature. Così, a una carica maggiore o a un più alto valore di differenza di potenziale corrisponde una maggiore quantità di energia che il condensatore è in grado di immagazzinare. Al contrario, a parità di energia immagazzinata E_{imm} risulta che Q e \Delta V sono inversamente proporzionali, come si evince dalle formule inverse

 

È possibile anche ricavare delle formule alternative per l'energia immagazzinata in un condensatore, così da individuare nuovi modi per calcolare l'energia mediante grandezze diverse. Partiamo dalla definizione di capacità di un condensatore e ricaviamo la carica Q

 

C=\frac{Q}{\Delta V}\ \ \to\ \ Q=C \Delta V

 

Se ora sostituiamo questa relazione nella formula dell'energia, ricaviamo:

 

E_{imm}=\frac{1}{2} \left( C \Delta V \right) \Delta V=\frac{1}{2} C (\Delta V)^2

 

Se invece ricaviamo la differenza di potenziale dalla definizione di capacità

 

C=\frac{Q}{\Delta V}\ \ \to\ \ \Delta V=\frac{Q}{C}

 

e la sostituiamo nella formula dell'energia, otteniamo:

 

E_{imm}=\frac{1}{2} Q \frac{Q}{C}=\frac{Q^2}{2C}

 

Nelle ultime due formule abbiamo così fatto intervenire la capacità, che non compariva nell'equazione originaria. In conclusione le varie formule per calcolare l'energia immagazzinata in un condensatore sono le seguenti:

 

E_{imm}=\frac{1}{2} Q \Delta V\\ \\ \\ E_{imm}=\frac{1}{2} C (\Delta V)^2\\ \\ \\ E_{imm}=\frac{Q^2}{2C}

 

Tutte le equazioni sono equivalenti e portano allo stesso risultato; ovviamente sceglieremo la formula più adatta a seconda dei casi e in base ai dati forniti dal problema.

 

Come ricavare la formula dell'energia immagazzinata in un condensatore

 

Per concludere vediamo come ricavare l'energia immagazzinata in un condensatore. Consideriamo un istante del processo di carica in cui sul condensatore vi è una carica q, ossia una frazione della carica totale Q che il condensatore avrà alla fine del processo. In tale istante il potenziale è (\Delta V)_{l}.

 

Se vogliamo spostare sul condensatore un'ulteriore carica dq, dobbiamo compiere un lavoro della forza elettrica dW pari all'energia potenziale elettrica tra le armature. A questo proposito possiamo servirci di una vecchia relazione che abbiamo introdotto nella lezione sul potenziale elettrico:

 

dW=(\Delta V)_{l} dq

 

La differenza di potenziale si può scrivere come rapporto tra la carica e la capacità, per cui si ottiene:

 

dW=\frac{q}{C} dq

 

L'intero processo di carica del condensatore deve portare la carica elettrica dal valore iniziale, che è nullo, fino alla carica finale Q, per cui non ci resta che integrare tra tali estremi

 

W=\int_0^Q\frac{q}{C} dq=\frac{Q^2}{2C}

 

e abbiamo ottenuto una delle tre possibili espressioni dell'energia che abbiamo scritto in precedenza.

 

 


 

Nella prossima puntata del corso ci dedicheremo a una nozione che abbiamo già richiamato più volte nelle precedenti lezioni. Studieremo in dettaglio i dielettrici, analizzandone le caratteristiche e gli utilizzi (anche con riferimento ai condensatori).

 

Concludiamo ricordandovi che qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti e altrettanti approfondimenti, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;) 

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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