Risoluzione di un circuito capacitivo

Un circuito capacitivo è un circuito in cui oltre a un generatore di tensione sono presenti solamente condensatori. La risoluzione di un circuito capacitivo prevede di determinare tutte le grandezze caratteristiche dei condensatori presenti nel circuito, ossia carica elettrica, differenza di potenziale e capacità.

Aggiungiamo un ulteriore tassello alla teoria dei circuiti elettrici. Dopo aver studiato i condensatori in serie, i condensatori in parallelo e aver visto come calcolare la capacità equivalente nei singoli casi e in circuiti con configurazioni miste, facciamo un passo in avanti e presentiamo il metodo per la risoluzione completa dei circuiti capacitivi.

In questa lezione mostreremo come analizzare integralmente un circuito costituito da soli condensatori; descriveremo il metodo ed elencheremo tutte le regole necessarie per determinare le grandezze caratteristiche di ciascun condensatore presente nei circuiti capacitivi.

Come analizzare un circuito capacitivo

Quando abbiamo tanti condensatori collegati assieme in un circuito elettrico alla stessa batteria, in serie o in parallelo, la domanda alla quale normalmente dobbiamo rispondere è: quanto vale la capacità equivalente?

Per rispondere dobbiamo servirci delle regole e del metodo di calcolo che abbiamo visto nella precedente lezione, e procedere per iterazioni successive: considerare separatamente i condensatori in serie e i condensatori in parallelo, ridurli di volta in volta a un solo condensatore equivalente e reiterare il procedimento.

Per quel che riguarda la capacità equivalente sappiamo come comportarci, ma non basta. La risoluzione dei circuiti capacitivi (ossia dei circuiti costituiti solamente da condensatori) non si riduce solamente al calcolo della capacità, infatti ci sono altri dati necessari per descriverne esaustivamente le caratteristiche.

Ad esempio potremmo essere interessati al calcolo della carica elettrica presente su due condensatori collegati in parallelo, o alla differenza di potenziale ai capi di due condensatori collegati in serie. In sintesi vogliamo capire come risolvere un circuito capacitivo.

Per descrivere il metodo consideriamo un circuito in cui sono presenti più condensatori collegati in modi diversi, ad esempio quello rappresentato in figura:

Risoluzione circuito capacitivo

Circuito capacitivo con tre condensatori: uno in serie a due in parallelo.

Conosciamo i valori delle capacità di tutti e tre i condensatori:

$C_1=40\mbox{ nF},\ C_2=20\mbox{ nF},\ C_3=10\mbox{ nF}$

Conosciamo inoltre il valore della differenza di potenziale (o tensione) erogata dalla batteria, che è ΔV=100 V. Risolvere questo circuito significa determinare tutte le caratteristiche utili per descriverlo, ossia i valori di carica presenti su ciascun condensatore e la differenza di potenziale di ciascuno di essi.

Il punto di partenza è il calcolo della capacità equivalente, in quanto successivamente ci permetterà di determinare gli altri dati. Cominciamo con la capacità equivalente dei condensatori in parallelo :

$C_{23}=C_2 + C_3=\\ \\ =20 \mbox{ nF} + 10 \mbox{ nF}=30 \mbox{ nF}$

Da qui passiamo al circuito equivalente

Risoluzione circuito capacitivo - Figura 2

Circuito equivalente: riduzione dei condensatori in parallelo.

Passiamo alla capacità equivalente dei condensatori in serie $C_1,C_{23}$ :

$C_{eq}=\frac{C_1C_{23}}{C_1 + C_{23}}=\\ \\ \\ =\frac{\left( 40 \mbox{ nF} \right) \cdot \left( 30 \mbox{ nF} \right)}{ \left( 40 \mbox{ nF} \right) + \left( 30 \mbox{ nF} \right)}\simeq 17,1 \mbox{ nF}$

Risoluzione circuito capacitivo - Figura 3

Circuito equivalente: riduzione dei condensatori in serie.

Da qui possiamo calcolare il valore di carica presente sulle armature del condensatore equivalente mediante la definizione di capacità, osservando che la differenza di potenziale ai capi di tale condensatore coincide con quella della batteria

$C_{eq}=\frac{Q}{\Delta V} \ \ \to\ \ Q=C_{eq} \Delta V\\ \\ Q\simeq (17,1 \cdot 10^{-9} \mbox{ F}) \cdot (100 \mbox{ V})=1,71 \cdot 10^{-6} \mbox{ C}=1,71 \ \mu\mbox{C}$

Il condensatore equivalente è generato da un collegamento in serie, dunque ha la stessa carica dei due condensatori originari:

$Q_1=Q_{23}=Q\simeq 1,71\ \mu\mbox{C}$

Ora che disponiamo della carica sul condensatore 1 possiamo calcolare la differenza di potenziale tra le sue armature, appoggiandoci sempre alla definizione di capacità

$C_1=\frac{Q_1}{\Delta V_1}\ \ \to\ \ \Delta V_1=\frac{Q_1}{C_1}\\ \\ \\ \Delta V_1\simeq \frac{1,71 \cdot 10^{-6} \mbox{ C}}{40 \cdot 10^{-9}\mbox{ F}}\simeq 42,75 \mbox{ V}$

In due condensatori in serie, quali sono e $C_{23}$ , la differenza di potenziale totale è data dalla somma delle differenze di potenziale dei due condensatori

$\Delta V=\Delta V_1+\Delta V_{23}\ \ \to\ \ \Delta V_{23}=\Delta V-\Delta V_1\\ \\ \Delta V_{23}\simeq 100\mbox{ V} - 42,75\mbox{ V}=57,25\mbox{ V}$

A questo punto possiamo calcolare la carica sui singoli condensatori in parallelo, ossia e , ricordandoci che per due condensatori in parallelo la differenza di potenziale è la stessa

$\Delta V_2=\Delta V_3=\Delta V_{23}\simeq 57,25\mbox{ V}$

otteniamo

$Q_2=C_2 \Delta V_{2}\simeq (20 \cdot 10^{-9} \mbox{ F}) \cdot (57,25 \mbox{ V})\simeq 1,14 \cdot 10^{-6} \mbox{ C}=1,14 \ \mu\mbox{C}\\ \\ Q_3=C_3 \Delta V_3\simeq (10 \cdot 10^{-9} \mbox{ F}) \cdot (57,25 \mbox{ V})\simeq 0,57 \cdot 10^{-6} \mbox{ C}=0,57 \ \mu\mbox{C}$

Come ci aspettavamo la somma delle cariche dei condensatori in parallelo coincide con la carica presente sul condensatore equivalente $C_{23}$

$Q_2+Q_3=Q_{23}$

Abbiamo così risolto l'intero circuito capacitivo.

Regole per la risoluzione dei circuiti capacitivi

Concludiamo con una generalizzazione del metodo che abbiamo applicato nell'esempio. Per risolvere i circuiti in cui sono presenti solo condensatori, dobbiamo ricordare:

- che un buon punto di partenza è dato dal calcolo della capacità equivalente dell'intero circuito;

- la regola per il calcolo della capacità equivalente per condensatori collegati in serie;

- la regola per il calcolo della capacità equivalente per condensatori collegati in parallelo;

- che i condensatori in serie hanno in comune la carica , che è uguale anche alla carica presente sul loro condensatore equivalente. Di contro la differenza di potenziale $\Delta V$ del condensatore equivalente è data dalla somma delle singole differenze di potenziale;

- che i condensatori in parallelo hanno in comune la differenza di potenziale $\Delta V$ , che è uguale anche alla differenza di potenziale presente sul loro condensatore equivalente. Di contro, che la carica sul condensatore equivalente è data dalla somma delle singole cariche;

- la formula generale per la capacità di un condensatore. Le grandezze caratteristiche di un condensatore sono capacità, carica elettrica e differenza di potenziale. Se ne conosciamo due, possiamo calcolare subito la terza;

- che conviene rappresentare i circuiti intermedi a ogni passaggio del calcolo della capacità equivalente. Avremo così un valido supporto grafico per impostare correttamente i calcoli successivi.

L'ultimo tassello che ci manca per avere un quadro completo sui condensatori riguarda gli aspetti energetici. Nella prossima puntata del corso parleremo dell'energia immagazzinata in un condensatore, non perdetevela! ;)

Non ci resta che ricordarvi che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati passo-passo, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. :)

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

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Tags: procedimento per risolvere i circuiti capacitivi e calcolare carica elettrica, differenza di potenziale e capacità di ciascuno dei condensatori presenti nel circuito.