Condensatori in serie e in parallelo

Il metodo per calcolare la capacità equivalente di conduttori in serie e in parallelo in un circuito elettrico prevede di ragionare per passaggi iterativi, individuando separatamente i collegamenti in serie o in parallelo e riducendoli di volta in volta a singoli condensatori equivalenti.

 

Dopo aver studiato le caratteristiche dei condensatori in serie e dei condensatori in parallelo possiamo occuparci del metodo per analizzare i circuiti elettrici, e in particolare per ridurre tutti i condensatori presenti a un unico condensatore equivalente.

 

Nel corso della spiegazione richiameremo rapidamente le caratteristiche e le formule dei collegamenti in serie e in parallelo, descriveremo il metodo in linea generale e lo applicheremo in un paio di esempi.

 

Capacità equivalente di condensatori in serie e in parallelo

 

Consideriamo una batteria e colleghiamola mediante un filo a più condensatori, ognuno con la propria capacità. In generale come possiamo calcolare la capacità equivalente, ossia la capacità dell'unico condensatore in grado di sostituire tutti quelli presenti nel circuito elettrico?

 

Bisogna ricordare che:

 

- i condensatori possono essere collegati tra loro in due modi diversi: in serie o in parallelo;

 

- a livello di notazioni, quando si trattano i condensatori nei circuiti i simboli Q e \Delta V si riferiscono alla carica presente sull'armatura positiva e alla differenza di potenziale tra l'armatura positiva e quella negativa

 

\mbox{Notazioni per condensatori nei circuiti}:\ Q>0,\ \Delta V>0

 

S) Due o più condensatori in serie sono collegati in sequenza dallo stesso filo. Essi hanno quindi per costruzione la stessa carica elettrica Q depositata sulle superfici delle loro armature, mentre la differenza di potenziale complessiva \Delta V è data dalla somma delle singole differenze di potenziale

 

Q=Q_1=Q_2\\ \\ \Delta V=\Delta V_1+\Delta V_2

 

 

Capacità equivalente di condensatori in serie e in parallelo - Figura 1

Due condensatori collegati in serie.

 

 

Nel caso di un collegamento in serie la capacità equivalente va calcolata mediante la formula

 

\frac{1}{C_{eq}}=\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + ... + \frac{1}{C_n}

 

secondo cui il reciproco della capacità equivalente è uguale alla somma dei reciproci delle capacità dei singoli condensatori collegati in serie. Ricordiamoci che la formula appena scritta ci permette di calcolare il reciproco della capacità equivalente; per determinare il valore di C_{eq} dovremo quindi considerare il reciproco del risultato.

 

La formula che abbiamo scritto è valida per un numero qualsiasi di condensatori collegati in serie; nel caso più semplice e ricorrente di due soli condensatori, possiamo utilizzare anche la seguente variante, che conduce direttamente al risultato finale senza la necessità di calcoli intermedi:

 

C_{eq}=\frac{C_1C_2}{C_2 + C_1}

 

P) Due o più condensatori in parallelo per costruzione sono collegati da fili diversi che si raccordano al filo del circuito negli stessi punti. Come conseguenza di tale configurazione essi condividono lo stesso valore di differenza di potenziale \Delta V, mentre la carica totale Q è data dalla somma delle singole cariche

 

Q=Q_1+Q_2\\ \\ \Delta V=\Delta V_1=\Delta V_2

 

 

Capacità equivalente di condensatori in serie e in parallelo - Figura 2

Due condensatori collegati in parallelo.

 

 

Il calcolo della capacità equivalente in questo caso è più semplice e prevede di sommare le capacità di tutti i condensatori coinvolti nel collegamento

 

C_{eq}=C_1 + C_2 + ... + C_n

 

Calcolo della capacità equivalente con condensatori in serie e in parallelo

 

Se consideriamo separatamente i due tipi collegamenti, non c'è nulla di difficile. Il discorso si fa più delicato quando dobbiamo calcolare la capacità equivalente in un circuito elettrico con condensatori in serie e in parallelo. Come dobbiamo comportarci in un'eventualità del genere?

 

La risposta in generale è: dipende. Dobbiamo ragionare caso per caso e procedere iterativamente, analizzando la disposizione dei condensatori nel circuito. Nella pratica si deve procedere "dall'interno all'esterno", passaggio per passaggio, individuando i blocchi di condensatori in serie o in parallelo e riducendoli a un unico condensatore equivalente, per poi reiterare il procedimento.

 

Nell'ottica di verifica dei risultati ricordiamoci che la capacità equivalente in un collegamento in serie deve sempre essere minore di ciascuna delle capacità dei singoli condensatori

 

C_{eq}<C_1,C_2,...,C_n\ \ \ (\mbox{serie})

 

Al contrario nel caso di un collegamento in parallelo la capacità equivalente è maggiore di tutte le capacità dei singoli condensatori.

 

C_{eq}>C_1,C_2,...,C_n\ \ \ (\mbox{parallelo})

 

 

Esempio 1 - Condensatore in serie a due condensatori in parallelo

 

Consideriamo il circuito in figura, con

 

C_1=40\mbox{ nF},\ C_2=20\mbox{ nF},\ C_3=10\mbox{ nF}

 

Capacità equivalente di condensatori in serie e in parallelo - Figura 3

Esempio 1: circuito misto con condensatori in serie e in parallelo.

 

 

Per calcolare la capacità equivalente bisogna capire quali condensatori sono collegati in serie e quali in parallelo. Qui si vede che C_2,C_3 sono in parallelo, per cui possiamo cominciare a calcolare la loro capacità equivalente C_{23}. Per il momento dimentichiamoci di C_1.

 

C_{23}=C_2 + C_3=\\ \\ =20\mbox{ nF} + 10\mbox{ nF}=30\mbox{ nF}

 

A questo punto possiamo passare a considerare il seguente circuito equivalente:

 

 

Capacità equivalente di condensatori in serie e in parallelo - Figura 4

Esempio 1: passaggio intermedio.
Riduzione dei condensatori in parallelo a un unico condensatore.

 

 

Abbiamo così eliminato il collegamento in parallelo e lo abbiamo sostituito con un solo condensatore di capacità equivalente C_{23}. Ora i condensatori C_1,C_{23} sono in serie, pertanto la capacità equivalente è data da:

 

C_{eq}=\frac{C_1C_{23}}{C_1 + C_{23}}=\\ \\ \\ =\frac{\left( 40 \mbox{ nF} \right) \cdot \left( 30 \mbox{ nF} \right)}{ \left( 40 \mbox{ nF} \right) + \left( 30 \mbox{ nF} \right)}\simeq 17,1 \mbox{ nF}

 

e abbiamo finito. C_{eq} è la capacità equivalente del complesso di condensatori del circuito.

 

 

Esempio 2 - Due blocchi di condensatori in parallelo, un condensatore in serie

 

Vediamo un altro esempio con una diversa configurazione:

 

C_1=25\mbox{ nF},\ C_2=30\mbox{ nF},\ C_3=50\mbox{ nF}\\ \\ C_4=60\mbox{ nF},\ C_5=15\mbox{ nF},\ C_6=40\mbox{ nF}

 

 

Capacità equivalente di condensatori in serie e in parallelo - Figura 5

Esempio 2: circuito con sei condensatori collegati in serie e in parallelo.

 

 

In primo luogo osserviamo che C_1,C_2 sono in parallelo, per cui possiamo calcolarne la capacità equivalente C_{12}

 

C_{12}=C_1 + C_2=\\ \\ =25 \mbox{ nF} + 30 \mbox{ nF}=55 \mbox{ nF}

 

Anche i condensatori C_4,C_5,C_6 sono in parallelo, per cui:

 

C_{456}=C_4+C_5+C_6=\\ \\ =60 \mbox{ nF} + 15 \mbox{ nF} + 40 \mbox{ nF}=115 \mbox{ nF}

 

Passiamo al circuito equivalente:

 

 

Capacità equivalente di condensatori in serie e in parallelo - Figura 6

Esempio 2: riduzione dei sei condensatori con collegamenti misti
a tre condensatori in serie.

 

 

I tre condensatori sono ora in serie e possiamo calcolare la capacità equivalente totale con l'apposita formula:

 

\frac{1}{C_{eq}}=\frac{1}{C_{12}} + \frac{1}{C_3} + \frac{1}{C_{456}}=\\ \\ \\ =\frac{1}{55 \mbox{ nF} } + \frac{1}{50 \mbox{ nF} } + \frac{1}{115 \mbox{ nF} }\simeq 4,7 \cdot 10^7 \ \frac{1}{\mbox{F}}

 

Per trovare la capacità equivalente passiamo al reciproco e abbiamo concluso:

 

C_{eq}\simeq \frac{1}{4,7 \cdot 10^7 \ \frac{1}{\mbox{F}}}\simeq 21 \mbox{ nF}

 

In conclusione, per il calcolo della capacità equivalente è necessario conoscere le regole dei collegamenti in serie e in parallelo e utilizzarle in step successivi fino all'ultimo passaggio, cosi da ridurre l'intero sistema a un unico condensatore equivalente. Nei casi più complessi può essere utile realizzare dei disegni intermedi al termine di ogni step, così da individuare facilmente il passaggio successivo.

 

 


 

Nella lezione successiva proseguiremo con lo studio dei circuiti elettrici in cui sono presenti condensatori, e presenteremo il metodo per risolvere i circuiti capacitivi, vale a dire come calcolare le varie grandezze (carica elettrica e differenza di potenziale) nei circuiti in cui sono presenti dei condensatori.

 

Nel frattempo vi ricordiamo che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e altrettanti approfondimenti; potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;) 

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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Tags: formule e metodo per calcolare la capacità equivalente in circuiti elettrici con condensatori sia in serie che in parallelo.