Condensatori in serie

Un collegamento di condensatori in serie in un circuito elettrico è un sistema in cui più condensatori lavorano in successione. L'effetto complessivo è che due o più condensatori collegati in serie possono essere sostituiti da un unico condensatore, la cui capacità equivalente è tale che il suo reciproco sia uguale alla somma dei reciproci delle singole capacità.

 

Ora che sappiamo cosa sono i condensatori, a cosa servono e come se ne calcola la capacità, possiamo passare agli aspetti pratici. Il principale utilizzo dei condensatori prevede di inserirli all'interno dei circuiti elettrici, con diversi scopi che tratteremo nel prosieguo delle lezioni. Vi anticipiamo che oltre ad essi ci sono altri dispositivi che vengono usati per controllare i fenomeni elettrici all'interno dei circuiti: le cosiddette resistenze, che studieremo più avanti.

 

Nel corso della spiegazione ne approfitteremo per introdurre qualche cenno sui circuiti elettrici: nomenclature, descrizione e funzionamento. Come abbiamo anticipato nella lezione sui condensatori, stiamo gettando le basi teoriche e pratiche che ci permetteranno di delineare una teoria completa dei circuiti elettrici. ;)

 

Funzionamento dei condensatori in serie

 

Nel contesto di un circuito elettrico esistono due modi di collegare i condensatori tra loro: in serie e in parallelo.

 

Vediamo qui il primo tipo di collegamento, e dunque parliamo di condensatori in serie. Facciamo riferimento alla seguente figura:

 

 

Condensatori in serie

Due condensatori in serie in un circuito elettrico.

 

 

Il circuito elettrico è costituito da un filo conduttore i cui estremi sono collegati ai poli (positivo, negativo) di una batteria elettrica. La batteria è di fatto è un generatore di tensione che alimenta il circuito, ossia un dispositivo che permette di mantenere una certa differenza di potenziale tra due punti per costringere le cariche elettriche a muoversi lungo il filo.

 

A tal proposito è bene precisare che nel contesto dei condensatori nei circuiti elettrici i simboli Q e \Delta V si riferiscono sempre alla carica dell'armatura positiva e alla differenza di potenziale calcolata tra l'armatura positiva e quella negativa:

 

\mbox{Notazioni per condensatori nei circuiti}:\ Q>0,\ \Delta V>0

 

Sappiamo che se due punti dello spazio si trovano a diversi valori di potenziale, le cariche elettriche non rimangono ferme e si muovono per colmare la differenza. Il ruolo della batteria è esattamente quello di mantenere costante la differenza di potenziale tra i due poli: è come se sul polo positivo ci fosse un'eccesso di carica positiva e sul polo negativo invece una carenza di cariche positive. Quello che succede è che, se si crea un collegamento tra i due poli della batteria, le cariche positive cominciano a muoversi per colmare la mancanza di cariche nel polo negativo, al fine di raggiungere una situazione di equilibrio.

 

Nel circuito dell'esempio sono presenti anche due condensatori, entrambi indicati con il simbolo || (le due sbarrette parallele nel simbolo dei condensatori rappresentano in modo stilizzato la forma di un condensatore piano). Quello che accade nel circuito è che l'eccesso di carica positiva presente sul polo + della batteria si muove verso l'armatura sinistra del condensatore 1, mentre la carica negativa presente sul polo - della batteria si muove verso l'armatura destra del condensatore 2. Questo processo richiede un certo intervallo di tempo.

 

Man mano che la carica si deposita sulle due facce esterne dei condensatori compare per induzione elettrostatica una carica uguale e di segno opposto sulle due armature più interne. Così sull'armatura destra del condensatore 1 compare una carica negativa, mentre sull'armatura sinistra del condensatore 2 compare una carica positiva. Quest'ultima armatura ha dunque perso elettroni che sono migrati verso l'armatura destra del condensatore 1.

 

Lo spostamento di cariche ha termine quando la differenza di potenziale complessiva dei due condensatori in serie uguaglia quella della batteria.

 

Il risultato di questo processo è che su tutte le facce dei condensatori si deposita una stessa carica |Q| (in valore assoluto); le due armature di sinistra sono cariche positivamente, mentre le due armature di destra sono cariche negativamente. Ecco allora una caratteristica peculiare (1) di un collegamento in serie di condensatori: la carica elettrica è la stessa su tutti i condensatori

 

Q_1=Q_2=Q

 

Sempre in riferimento alla figura si può notare che i due condensatori possono essere sostituiti da un solo condensatore che ha sulle sue armature la stessa carica |Q| depositata sui singoli condensatori. Se infatti guardiamo il risultato complessivo del collegamento in serie, abbiamo all'estrema sinistra un'armatura positiva e all'estrema destra un'armatura negativa, ossia l'equivalente di un unico condensatore. Le due armature centrali hanno una carica complessiva neutra.

 

Capacità equivalente dei condensatori in serie

 

Ci domandiamo: esiste un condensatore equivalente ai due condensatori in serie, ossia un condensatore che possa sostituirli in modo che il circuito elettrico mantenga le stesse caratteristiche? La risposta è affermativa. Si possono sostituire i due condensatori con uno equivalente ad essi, e dunque tale da non alterare le proprietà del circuito.

 

E per quanto riguarda la capacità? La formula per la capacità equivalente di più condensatori in serie è la seguente

 

\frac{1}{C_{eq}}=\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + ... + \frac{1}{C_n}

 

o se preferite, in forma compatta e con l'ausilio del simbolo di sommatoria

 

\frac{1}{C_{eq}}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{C_{i}}

 

Il reciproco della capacità equivalente è uguale alla somma dei reciproci delle capacità dei singoli condensatori collegati in serie. Nel nostro disegno iniziale i condensatori erano solo due, ma in generale possono anche essere tre o più, come messo in evidenza dalla formula.

 

Una volta trovata la capacità equivalente possiamo fornirne una nuova rappresentazione e sostituire il circuito con un altro, in cui compare un unico condensatore equivalente:

 

 

Capacità equivalente condensatori in serie

Capacità equivalente di condensatori in serie.

 

 

Anche se non è evidente dalla formula generale si può dimostrare che (2) la capacità equivalente di un sistema di condensatori collegati in serie è minore di ciascuna delle capacità dei singoli condensatori:

 

C_{eq}<C_1,C_2,...,C_n

 

I lettori più curiosi potrebbero domandarsi perché la formula sia espressa in modo tale da fornire il reciproco della capacità equivalente e non la capacità equivalente. La risposta è semplice. Proviamo a esplicitarla nel caso di due condensatori

 

\frac{1}{C_{eq}}=\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}=\frac{C_2 + C_1}{C_1C_2}

 

da cui la formula per la capacità equivalente di due condensatori in serie

 

C_{eq}=\frac{C_1C_2}{C_2 + C_1}

 

Questo modo di procedere è conveniente solamente quando si hanno due condensatori. Nel caso in cui ve ne fossero più di due ci ritroveremmo con una formula molto più complessa (provare per credere!), di conseguenza quella che fornisce il reciproco della capacità equivalente è più idonea sia in termini generali, sia per la risoluzione degli esercizi.

 

 

Dimostrazione della formula per la capacità equivalente di condensatori in serie

 

Vediamo come dimostrare la formula. Consideriamo il caso di due soli condensatori e chiamiamo \Delta V la differenza di potenziale ai capi di C_{eq}. Dalla definizione di capacità:

 

C_{eq}=\frac{Q}{\Delta V}\ \ \to\ \ \Delta V=\frac{Q}{C_{eq}}

 

A questo punto i calcoli mettono in luce un'ulteriore proprietà dei condensatori collegati in serie: (3) essi consentono di aumentare la differenza di potenziale tra le armature agli estremi, infatti la differenza di potenziale complessiva \Delta V nel circuito iniziale è data dalla somma di \Delta V_1 e \Delta V_2

 

\Delta V=\Delta V_1 + \Delta V_2

 

dove

 

\Delta V_1=\frac{Q}{C_1}\ \ ;\ \ \Delta V_2=\frac{Q}{C_2}

 

Ricordiamoci che la carica Q è sempre la stessa per tutti i condensatori. Sostituendo nella formula dei potenziali, otteniamo:

 

\frac{Q}{C_{eq}}=\frac{Q}{C_1} + \frac{Q}{C_2}

 

Semplifichiamo la carica e abbiamo finito

 

\frac{1}{C_{eq}}=\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}

 

 

Esempio - Calcolo della capacità equivalente di due condensatori in serie

 

Vediamo un esempio con due condensatori:

 

C_1=5\mbox{ nF},\ C_2=6\mbox{ nF}

 

La capacità equivalente sarà

 

\frac{1}{C_{eq}}=\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}=\\ \\ \\ =\frac{1}{5 \cdot 10^{-9} \mbox{ F}} + \frac{1}{6 \cdot 10^{-9} \mbox{ F}}\simeq 3,7 \cdot 10^8 \ \frac{1}{\mbox{F}}

 

Attenzione perché così non abbiamo calcolato la capacità equivalente, bensì il suo reciproco, pertanto è richiesto un ulteriore passaggio:

 

C_{eq}=\frac{1}{3,7 \cdot 10^{8} \ \frac{1}{\mbox{F}}}=\\ \\ \\ \simeq 2,7 \cdot 10^{-9} \mbox{ F}=2,7 \mbox{ nF}

 

Da notare che il risultato è inferiore ai valori di capacità dei due condensatori di partenza, come d'altronde ci aspettavamo.

 

Vantaggi dei condensatori in serie

 

Mettendo assieme le proprietà (1), (2) e (3) descritte nel corso della spiegazione si capisce qual è il vantaggio dei condensatori in serie, o meglio il loro scopo. Un collegamento di questo tipo consente di ridurre la capacità del sistema aumentando la differenza di potenziale complessiva (che in gergo tecnico prende il nome di tensione di lavoro).

 

 


 

Fermi tutti, non scappate! :) Nella lezione successiva studieremo i condensatori in parallelo, dopodiché contempleremo sistemi di condensatori ancor più generali e mostreremo come calcolare la capacità equivalente di condensatori in serie e in parallelo (dunque combinati tra loro).

 

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Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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