Condensatore sferico

Un condensatore sferico è un condensatore formato da due conduttori di forma sferica e concentrici. In ciascun punto dell'intercapedine il campo elettrico ha simmetria radiale e un orientamento che dipende dai segni delle cariche delle due armature; la capacità dipende esclusivamente dai raggi delle sfere e dal materiale interposto tra di esse.

Dopo aver introdotto i condensatori e aver studiato quelli piani e cilindrici, l'ultima tipologia che vogliamo trattare è quella con configurazione di tipo sferico.

Spiegheremo in particolare come funziona un condensatore sferico e mostreremo come calcolare il campo elettrico tra le due armature e la differenza di potenziale, dopodiché concluderemo con la formula particolare per la capacità di un condensatore sferico e vedremo che essa dipende solamente dalla sua forma, dalle sue dimensioni e dal materiale presente tra le armature.

Caratteristiche e formule del condensatore sferico

I condensatori possono avere diverse forme; i più comuni sono i condensatori piani, ma oltre a questi tra le configurazioni notevoli rientrano anche quella cilindrica e quella sferica. Vediamo come sono strutturati quest'ultimi e che caratteristiche hanno.

Ricordiamoci che un condensatore è tale se è costituito da due conduttori elettrici tra cui vi è completa induzione elettrostatica, indipendentemente dalla forma delle armature.

Un condensatore sferico è costituito da due sfere conduttrici concentriche, ossia tali da avere lo stesso centro; il conduttore con il raggio maggiore è cavo e contiene al suo interno quello più piccolo.

Condensatore sferico

Forma di un condensatore sferico.

Tra le superfici dei due conduttori, detti armature come per tutte le altre tipologie di condensatori, vi è un'intercapedine che può essere vuota oppure riempita con un materiale dielettrico. Le due armature presentano cariche elettriche di uguale modulo ma di segni opposti, quindi se su una armatura è depositata una carica , sull'altra è presente carica .

A livello di notazioni supporremo qui che sia e dunque che denoti la carica positiva, analogamente alle precedenti lezioni.

Campo elettrico, differenza di potenziale e capacità di un condensatore sferico

Nell'intercapedine si crea un campo elettrico con simmetria radiale: le linee di campo hanno sempre la stessa direzione dei raggi delle due sfere con verso uscente dall'armatura carica positivamente ed entrante in quella carica negativamente.

Condensatore sferico campo elettrico

Campo elettrico in un condensatore sferico.

Anche nel caso dei condensatori sferici vale la definizione generale di capacità di un condensatore, data dal rapporto tra la carica di un'armatura e la differenza di potenziale tra tale armatura e l'altra. Ad esempio

$C=\frac{Q}{\Delta V}=\frac{Q}{V_+-V_-}\ \ \ (Q>0,\ \Delta V>0)$

In generale la capacità di un condensatore dipende solo dalle sue proprietà geometriche e dal mezzo usato per riempire l'intercapedine tra le due armature. I condensatori sferici non esulano da tale proprietà: esiste infatti un formula specifica per la capacità di un condensatore sferico

$C=4 \pi \varepsilon_m \frac{R_1 R_2}{ R_2 - R_1}\ \ \ (R_2>R_1)$

In questa nuova espressione compaiono le due grandezze relative alla forma e alle dimensioni del condensatore, ossia i due raggi e . Compare anche la costante dielettrica del mezzo $\varepsilon_m$ , che è legata al materiale interposto tra le due armature. Da ultimo denota sempre il raggio maggiore, così che la capacità risulta sempre positiva.

Dimostrazione della formula della capacità del condensatore sferico

La precedente formula si ricava direttamente dalla definizione generale, come abbiamo fatto nella lezione sui condensatori cilindrici. Si calcola dapprima il campo elettrico all'interno del condensatore sferico; successivamente se ne utilizza l'espressione per determinare la differenza di potenziale tra le due armature, e infine si sostituisce il tutto nella formula generale della capacità.

Per il calcolo generalizziamo e supponiamo che la carica dell'armatura interna possa avere segno positivo o negativo $(Q>0\ \vee\ Q<0)$ .

Calcoliamo l'intensità del campo elettrico del condensatore sferico a una generica distanza dal centro. Non dobbiamo fare nulla: ci basta ricordare quanto abbiamo già visto nella lezione sul campo elettrico generato da una sfera

$E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_m}\cdot \frac{|Q|}{r^2}\ \ \ (R_1<r<R_2)$

Calcoliamo la differenza di potenziale tra l'armatura esterna e l'armatura interna

$\Delta V=V_2-V_1=-\int_{R_1}^{R_2}\vec{E}\cdot d\vec{r}$

Con riferimento al prodotto scalare i due vettori sono sempre paralleli, ma dobbiamo distinguere due casi in base ai versi. Se allora il campo elettrico è uscente e i due vettori sono concordi, quindi il prodotto scalare è dato dal prodotto dei moduli; se allora il campo elettrico è entrante e i due vettori sono discordi, per cui il prodotto scalare è dato dal prodotto dei moduli cambiato di segno:

$\vec{E}\cdot d\vec{r}=\begin{cases}Edr\ \ \ \mbox{se }Q>0\\ \\ -Edr\ \ \ \mbox{se }Q<0\end{cases}$

Svolgiamo i calcoli nella prima eventualità e usiamo il risultato per generalizzare:

$\Delta V= V_2-V_1= - \int_{R_1}^{R_2}{Edr} = \\ \\ \\ =- \int_{R_1}^{R_2}{\frac{1}{4\pi\varepsilon_m}\cdot \frac{|Q|}{r^2} dr} = \\ \\ \\ =-\frac{|Q|}{4\pi\varepsilon_m} \int_{R_1}^{R_2}{\frac{1}{r^2}dr}$

Non ci resta che calcolare l'integrale della potenza, cosicché otteniamo

$\Delta V= V_2-V_1=\frac{|Q|}{4\pi\varepsilon_m}\cdot \frac{R_1-R_2}{R_1R_2}\ \ \ (Q>0\mbox{ su }1)$

Se avessimo supposto , ci sarebbe stato un ulteriore segno meno nei conti

$\Delta V= V_2-V_1=-\frac{|Q|}{4\pi\varepsilon_m}\cdot \frac{R_1-R_2}{R_1R_2}\ \ \ (Q<0\mbox{ su }1)$

Da notare che abbiamo calcolato $\Delta V$ dall'armatura 2 all'armatura 1, e osservando il secondo fattore si nota che la differenza di potenziale è:

- negativa se l'armatura interna ha carica positiva;

- positiva se l'armatura interna ha carica negativa.

Possiamo allora riassumere i due casi eliminando il valore assoluto e raccogliendo un segno meno nel denominatore del rapporto, e concludere che la differenza di potenziale in un condensatore sferico è data da

$\Delta V= V_2-V_1=-\frac{Q}{4\pi\varepsilon_m}\cdot \frac{R_2-R_1}{R_1R_2}\ \ \ (R_1<R_2,\ Q\mbox{ su }1)$

Possiamo infine calcolare la capacità mediante la formula generale: rapporto tra la carica di un'armatura e la differenza di potenziale tra tale armatura e l'altra. Prestiamo attenzione ai segni della carica e della differenza di potenziale:

- se usiamo la formula in cui compare , dobbiamo considerare la carica sull'armatura esterna

$C=\frac{-Q}{V_2-V_1}$

- Se vogliamo riferirci alla carica sull'armatura interna, dobbiamo cambiare il segno della differenza di potenziale

$C=\frac{Q}{V_1-V_2}$

Quale che sia la scelta, la formula per la capacità del condensatore sferico è

$C=4 \pi \varepsilon_m \frac{R_1 R_2}{ R_2 - R_1}\ \ \ (R_2>R_1)$

Esempio - Calcolo della capacità di un condensatore sferico

Vediamo un esempio. Calcoliamo la capacità di un condensatore sferico con armature rispettivamente di raggio 4 e 5 centimetri, e nella cui intercapedine vi è il vuoto. Riportiamo i dati ricordandoci di convertire i centimetri in metri e ricordandoci anche che, visto che abbiamo il vuoto all'interno del condensatore, dobbiamo usare la costante dielettrica del vuoto $\varepsilon_0$

$C=4 \pi \varepsilon_{0} \frac{R_1 R_2}{ R_2 - R_1}=\\ \\ \\ \simeq \left(4 \pi \cdot 8,85 \cdot 10^{-12}\ \frac{\mbox{F}}{\mbox{m}}\right) \cdot \frac{(0,04\mbox{ cm}) \cdot (0,05\mbox{ cm})}{0,05\mbox{ cm} - 0,04 \mbox{ cm}}=\\ \\ \\ \simeq 2,2 \cdot 10^{-11} \mbox{ F}=22 \mbox{ pF}$

La rassegna dei vari tipi di condensatori termina qui. Il prossimo passo prevede di studiare i possibili modi per mettere "in comunicazione" due o più condensatori e di capire qual è la capacità risultante: parleremo a tal proposito di condensatori in serie e di condensatori in parallelo.

Per qualsiasi dubbio, o se siete in cerca di esercizi svolti, non esitate! Qui su YM ci sono migliaia di lezioni, approfondimenti ed esercizi spiegati passo-passo. ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

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