Condensatore cilindrico

Un condensatore cilindrico è un condensatore costituito da due conduttori di forma cilindrica e coassiali. Il campo elettrico all'interno di un condensatore cilindrico è perpendicolare all'asse e radiale rispetto alle distribuzioni di carica; la capacità dipende dall'altezza dei due cilindri, dai loro raggi e dal materiale interposto tra le armature.

 

Dopo aver visto cosa sono i condensatori, com'è definita in generale la capacità di un condensatore e aver trattato il caso piano, proseguiamo la nostra rassegna e passiamo al caso cilindrico.

 

In questa lezione spiegheremo com'è fatto un condensatore cilindrico e come se ne calcolano il campo elettrico, la differenza di potenziale e la capacità.

 

Caratteristiche e formule del condensatore cilindrico

 

Oltre ai condensatori piani esistono altri condensatori che presentano una diversa geometria. Ricordiamo che un condensatore è un sistema costituito da due conduttori elettrici che interagiscono per induzione elettrostatica.

 

In un condensatore piano le due armature sono conduttori piani e paralleli, con cariche elettriche di pari valore assoluto ma di segni opposti.

 

In un condensatore cilindrico abbiamo due conduttori, in questo caso di forma cilindrica, di cui uno cavo e con un raggio di base maggiore dell'altro. I due cilindri sono collocati l'uno all'interno dell'altro in modo che le circonferenze di base siano concentriche, dunque le armature sono disposte in modo che i due assi di simmetria coincidano. Si dice pertanto che questo tipo di condensatore è costituito da due cilindri coassiali.

 

Le due armature cilindriche hanno la stessa altezza L e, perlomeno nel modello teorico, si ipotizza che l'altezza sia molto maggiore rispetto ai raggi R_1,R_2. Tale ipotesi viene solitamente specificata nelle applicazioni e negli esercizi con l'espressione condensatore cilindrico molto lungo.

 

L>>R_1,R_2

 

 

Condensatore cilindrico

Forma di un condensatore cilindrico.

 

 

Tra le due armature vi è un'induzione completa, pertanto su una delle due è presente una carica +Q e sull'altra una carica -Q, dunque cariche dello stesso valore ma di segni opposti. Per fissare le idee supporremo che l'armatura interna sia caricata positivamente (Q>0).

 

Campo elettrico in un condensatore cilindrico

 

Nello spazio tra le due armature, che può essere vuoto o riempito con un materiale dielettrico, si crea un campo elettrico con linee di campo radiali, quindi perpendicolari alle armature e dirette come il raggio, uscenti dall'armatura positiva ed entranti verso quella negativa.

 

 

Condensatore cilindrico campo elettrico

Campo elettrico in un condensatore cilindrico.

 

 

A differenza del condensatore piano il campo elettrico in un condensatore cilindrico non è uniforme. A tal proposito basta osservare che la direzione e il verso di \vec{E} non sono costanti, e che la sua intensità non assume lo stesso valore in ogni punto dello spazio interno. Le linee di campo infatti non sono equidistanti le une dalle altre e sono più fitte in corrispondenza dell'armatura interna.

 

Si osserva d'altro canto che il campo elettrico ha sempre la stessa intensità in tutti i punti che si trovano sulla medesima circonferenza centrata sull'asse, ma se ci spostiamo su una circonferenza con diverso raggio allora il modulo del campo elettrico cambia.

 

Da ultimo, per quel che concerne il campo elettrico è bene sottolineare il motivo per cui abbiamo richiesto che il condensatore cilindrico sia molto lungo. Tale ipotesi ci permette di considerare un modello teorico in cui il campo elettrico all'interno del condensatore abbia effettivamente le caratteristiche descritte in precedenza, e dunque di trascurare gli effetti in prossimità degli estremi in cui le linee di campo cominciano a distorcersi.

 

Capacità di un condensatore cilindrico

 

Poiché tra le due armature è presente una differenza di potenziale ha senso domandarsi quanto vale la capacità di un condensatore cilindrico. Per calcolarla possiamo usare la definizione generale di capacità di un condensatore:

 

C = \frac{Q}{\Delta V}=\frac{Q}{V_+-V_-}\ \ \ (Q>0,\ \Delta V>0)

 

Nel caso dei condensatori piani esiste una formula specifica per il calcolo della capacità, che dipende solamente dalle sue caratteristiche geometriche e dal materiale usato per riempire l'intercapedine tra le due armature. Tale proprietà della capacità come già sappiamo vale in generale, per cui è lecito aspettarsi che esista anche una formula specifica per la capacità di un condensatore cilindrico. Eccola:

 

C = \frac{2 \pi \varepsilon_m L}{\ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right)}\\ \\ (R_2>R_1,\ L>>R_1,R_2)

 

Ancora una volta la capacità dipende dal modo in cui il condensatore è stato costruito. Nella formula compaiono infatti la lunghezza L e i raggi R_1,R_2 delle armature, nonché la costante dielettrica \varepsilon_m che varia a seconda del mezzo che riempie l'intercapedine.

 

Teniamo presente che in questa formula R_2 indica il raggio maggiore; se così non fosse il logaritmo sarebbe negativo, il che sarebbe inaccettabile dato che capacità è per definizione positiva.

 

Da notare inoltre che maggiore è la differenza tra i due raggi, e quindi maggiore è la distanza tra le superfici delle due armature nell'intercapedine, maggiore è il valore del logaritmo e dunque minore la capacità. La capacità tende ad annullarsi quando il raggio R_2 dell'armatura esterna tende all'infinito.

 

 

Dimostrazione della formula per la capacità di un condensatore cilindrico

 

Vediamo come ricavare la formula della capacità per un condensatore cilindrico. Dato che è sempre meglio ragionare in generale, nei calcoli ci dimenticheremo dell'ipotesi per cui la carica dell'armatura interna sia positiva. Di più: supporremo che l'armatura interna abbia una generica carica Q di segno non specificato (Q>0\ \vee\ Q<0), così da contemplare ogni possibile caso. ;)

 

L'idea è ricavare un'espressione per il campo elettrico a una generica distanza r dall'asse di simmetria (con R_1<r<R_2), usare tale espressione per calcolare la differenza di potenziale tra le due armature e infine determinare la capacità con la formula generale.

 

Nelle precedenti lezioni del corso abbiamo calcolato il campo elettrico per diverse distribuzioni di carica, ma mai per una distribuzione cilindrica. Il metodo come di consueto si basa sul calcolo diretto del flusso del campo elettrico e sull'applicazione del teorema di Gauss per il campo elettrico.

 

Il primo dei due passaggi richiederebbe di calcolare un (semplice) integrale di superficie attraverso una superficie cilindrica chiusa \mathcal{S} di raggio r e altezza L, tale da contenere l'armatura interna. Per evitare di dilungarci lasciamo ai lettori che hanno sufficiente dimestichezza con Analisi 2 il compito di mettere i puntini sulle i, e passiamo direttamente al risultato: tenendo conto della direzione del campo elettrico e della simmetria della configurazione, si ricava

 

\Phi(\vec{E})=\begin{cases}ES=E2\pi r L\ \ \ (Q>0,\ \vec{E}\mbox{ uscente})\\ \\ -ES=-E2\pi r L\ \ \ (Q<0,\ \vec{E}\mbox{ entrante})\end{cases}

 

dove S è l'area laterale del cilindro di raggio r.

 

Dal teorema di Gauss per il campo elettrico:

 

\Phi(\vec{E})=\frac{Q_{int}}{\varepsilon_m}=\frac{Q}{\varepsilon_m}

 

Dal confronto tra le due espressioni otteniamo la formula generale per l'intensità del campo elettrico di una distribuzione cilindrica di carica:

 

E(r) = \frac{|Q|}{2 \pi \varepsilon_m L}\cdot \frac{1}{r}\\ \\ (R_1<r<R_2,\ L>>R_1,R_2)

 

Ora possiamo calcolare la differenza di potenziale tra l'armatura esterna (R_2) e l'armatura interna (R_1) mediante la definizione

 

\Delta V = V_2-V_1 = - \int_{R_1}^{R_2}{\vec{E} \cdot d\vec{r}}

 

I vettori \vec{E} e \vec{r} sono paralleli. Se è Q>0, il campo elettrico è uscente: il prodotto scalare si riduce al semplice prodotto tra i moduli dei due vettori, ed è positivo; se Q<0, il campo elettrico è entrante e il prodotto scalare è dato dal prodotto dei moduli cambiato di segno

 

\vec{E}\cdot d\vec{r}=\begin{cases}Edr\ \ \ \mbox{se }Q>0\\ \\ -Edr\ \ \ \mbox{se }Q>0\end{cases}

 

Procediamo con i calcoli nel caso Q>0, ricaviamo il risultato e generalizziamo

 

\Delta V= V_2-V_1= - \int_{R_1}^{R_2}{Edr} = \\ \\ \\ =- \int_{R_1}^{R_2}{\frac{|Q|}{2 \pi \varepsilon_m l}\cdot \frac{1}{r} dr} = \\ \\ \\ =-\frac{|Q|}{2 \pi \varepsilon_m l} \int_{R_1}^{R_2}{\frac{1}{r}dr}

 

Quello che rimane è un integrale notevole molto semplice da calcolare, per cui otteniamo

 

\Delta V= V_2-V_1= -\frac{|Q|}{2 \pi \varepsilon_m l} \ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right)\ \ \ (Q>0\mbox{ su }1)

 

Nel caso Q<0 avremmo avuto un ulteriore segno meno, da cui

 

\Delta V= V_2-V_1=\frac{|Q|}{2 \pi \varepsilon_m l} \ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right)\ \ \ (Q<0\mbox{ su }1)

 

Possiamo riassumere entrambe le eventualità omettendo il valore assoluto, dunque la formula per la differenza di potenziale del condensatore cilindrico è

 

\Delta V=V_2-V_1=-\frac{Q}{2 \pi \varepsilon_m l} \ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right)\\ \\ (R_2>R_1,\ L>>R_1,R_2,\ Q\mbox{ su }1)

 

Attenzione ai segni: questa è la differenza di potenziale V_2-V_1 tra l'armatura esterna e l'armatura interna. Se l'armatura interna è carica positivamente (Q>0) il risultato è negativo, e ciò è perfettamente coerente con la configurazione del campo elettrico. Se invece la carica dell'armatura interna è negativa (Q<0), il campo elettrico è entrante e la differenza di potenziale positiva.

 

Siamo pronti per calcolare la capacità, che per definizione è il rapporto tra la carica di un'armatura e la differenza di potenziale tra tale armatura e l'altra. La carica dell'armatura interna è Q, che può essere positiva o negativa; la differenza di potenziale di cui disponiamo è quella tra l'armatura esterna e l'armatura interna.

 

Possiamo allora usare la formula in cui compare V_2-V_1 e quindi considerare la carica -Q sull'armatura esterna

 

C=\frac{-Q}{V_2-V_1}

 

oppure considerare la carica Q sull'armatura interna, e dunque cambiare il segno della differenza di potenziale

 

C=\frac{Q}{V_1-V_2}

 

In entrambi i casi ricaviamo un risultato positivo. La formula per la capacità di un condensatore cilindrico è data da

 

C = \frac{2 \pi \varepsilon_m L}{\ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right)}\\ \\ (R_2>R_1,\ L>>R_1,R_2)

 

 


 

Vi aspettiamo nella prossima lezione, in cui tratteremo il caso dei condensatori sferici. Come al solito vi ricordiamo che qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti e spiegati nel dettaglio, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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