Condensatori e capacità di un condensatore

Un condensatore è un qualsiasi dispositivo costituito da due conduttori carichi elettricamente e tale da immagazzinare energia elettrica. La capacità di un condensatore è una grandezza che ne misura la propensione a immagazzinare carica elettrica a parità di differenza di potenziale.

 

Dal punto di vista teorico il corso sull'elettricità si divide in due parti: Elettrostatica ed Elettrodinamica. La seconda parte, nello specifico, esordirà a partire dalla lezione sulla corrente elettrica. Se preferite un approccio più pragmatico c'è un'ulteriore ripartizione del corso: dopo aver introdotto le nozioni fondamentali dell'Elettrostatica, predisponiamo il terreno per lo studio dei circuiti elettrici.

 

A ben vedere il filone dedicato ai circuiti elettrici è importante sia a livello teorico che pratico ed è particolarmente esteso, al punto che sconfinerà nel corso dedicato al magnetismo. Il punto di partenza è lo studio dei condensatori. Per cominciare spiegheremo cos'è un condensatore, come funziona, a cosa serve e quali sono i principali tipi di condensatori, così da avere un'idea generale dell'argomento. Daremo inoltre la definizione di capacità di un condensatore qualsiasi e ne presenteremo la formula, il significato e le principali proprietà.

 

Nel contempo entreremo nello specifico e tratteremo il caso del condensatore piano, così da avere un riferimento diretto e concreto. Vedremo quindi come calcolare il campo elettrico e la capacità di un condensatore nel caso piano; affronteremo le altre tipologie nelle successive lezioni. ;)

 

Cos'è un condensatore e a cosa serve

 

Un condensatore è uno strumento molto usato in Fisica nell'ambito dei fenomeni elettrici e delle relative applicazioni. Si tratta di un dispositivo tipicamente costituito da due conduttori, che prendono il nome di armature.

 

Caricando elettricamente una delle due armature si sfruttano i fenomeni di induzione elettrostatica e di messa a terra per far sì che le due armature abbiano cariche uguali e di segni opposti. In questo modo si vengono a generare tra di esse una differenza di potenziale e un campo elettrico.

 

Se poi si mantiene costante la carica elettrica su entrambe le armature, l'effetto complessivo è quello di immagazzinare un'energia potenziale elettrica che può essere utilizzata per le più disparate applicazioni... Numerosissime applicazioni. ;)

 

Come si intuisce facilmente la carica elettrica, il campo elettrico e la differenza di potenziale sono grandezze piuttosto importanti nello studio dei condensatori. La più rilevante però è sicuramente la capacità di un condensatore, grandezza che abbiamo introdotto nella lezione precedente nel caso generale dei conduttori e che esprime la capacità di immagazzinare carica a parità di potenziale.

 

Nel caso dei conduttori la capacità è definita come rapporto tra carica e potenziale; nel caso dei condensatori, invece, è definita come rapporto tra la carica presente su una delle due armature e la differenza di potenziale tra l'armatura considerata e l'altra.

 

Quello che stiamo affrontando è un argomento che può apparire astratto in termini generali ma che in realtà ha una miriade di applicazioni pratiche, ad esempio per i circuiti elettrici.

 

 

Disclaimer - Importante premessa sulle notazioni e sul segno delle cariche

 

In tutte le precedenti lezioni, e anche in quelle che seguiranno, il simbolo Q denota una carica elettrica qualsiasi: in generale Q può assumere valori positivi, negativi o nulli.

 

Nell'ambito dei condensatori in generale è più comodo sottintendere che sia Q>0; ciononostante noi non mancheremo di precisare di volta in volta quale sia l'ipotesi di riferimento, se Q positiva oppure Q di segno qualsiasi, e probabilmente ci ripeteremo fino alla nausea...

 

... Non ci importa. È meglio essere chiari al punto di rischiare di essere pedanti, perché in Fisica molti studenti tendono a recuperare le formule e ad applicarle pedissequamente, decontestualizzandole dal contesto e dal loro significato. Ed è così che per incanto negli svolgimenti di compiti e di esami le leggi della Fisica vengono sovvertite e, ad esempio, i moduli dei vettori possono assumere valori negativi... :x

 

Morale della favola: ragionate sempre, contestualizzate le formule e non applicatele mai alla cieca. Prudenza! ;)

 

Tipi di condensatori

 

A fronte della definizione generale, secondo cui un condensatore può essere costituito da due conduttori qualsiasi (non necessariamente della stessa forma), è importante precisare che nelle applicazioni si considerano alcune specifiche tipologie di condensatori, caratterizzati da armature con forme geometriche ben definite.

 

Tra i principali tipi di condensatori, troviamo:

 

- i condensatori piani

 

- i condensatori cilindrici

 

- i condensatori sferici

 

Nel prosieguo della spiegazione ci concentriamo sul caso particolare dei condensatori piani, mentre nelle successive lezioni tratteremo separatamente il caso cilindrico e quello sferico. Più avanti vedremo inoltre come si possono collegare due o più condensatori in modo da combinarne le caratteristiche, e parleremo di:

 

- condensatori in serie

 

- condensatori in parallelo

 

Condensatore piano

 

Il condensatore piano è il più semplice tra tutti i possibili tipi di condensatori. Consideriamo due lastre conduttrici piane delle medesime dimensioni e disponiamole parallelamente l'una rispetto all'altra. Tali lastre (o lamine) svolgono il ruolo di armature del condensatore.

 

Carichiamo l'armatura 1 in modo che assuma una carica elettrica positiva Q>0. Per via del fenomeno di induzione elettrostatica la presenza di cariche positive sull'armatura 1 induce una ridistribuzione delle cariche sull'armatura 2. Pur essendo inizialmente neutra, sull'armatura 2 si genera localmente una carica negativa sulla faccia rivolta verso l'armatura 1, mentre si genera una carica positiva sulla faccia opposta. L'armatura 2 diventa quindi localmente carica con cariche di segni opposti sulle due superfici.

 

Se colleghiamo a terra la faccia dell'armatura 2 carica positivamente costringiamo tale carica e muoversi verso terra, cosicché sull'armatura 2 resta solamente la carica negativa.

 

Il risultato di questo processo è che le due armature presentano cariche di uguale valore assoluto, di segni opposti e distribuite uniformemente su ciascuna di esse. Se la prima armatura ha una carica +Q, la seconda avrà una carica -Q. Da notare che il segno + è ridondante, avendo supposto che sia Q>0, ma lo scriviamo esplicitamente per chiarezza.

 

 

Condensatore piano

Condensatore piano (Q>0).

 

 

Possiamo dire allora dire che un condensatore piano è un dispositivo costituito da due lastre conduttrici piane e parallele (le armature) che possiedono cariche elettriche uguali in valore assoluto e di segni opposti.

 

Differenza di potenziale e campo elettrico in un condensatore piano

 

Poiché la prima armatura possiede una carica elettrica, ha anche un proprio valore di potenziale elettrico. La seconda armatura, collegata a terra, ha invece un potenziale nullo. Tra le due armature vi è allora una differenza di potenziale \Delta V che è pari al valore del potenziale elettrico dell'armatura 1

 

\Delta V=V_1-V_2=V_1

 

Cosa possiamo dire riguardo al campo elettrico? Sappiamo che ogni carica genera un campo elettrico attorno a sé, la cui intensità dipende dal valore della carica che lo genera. La peculiarità del campo elettrico generato da un condensatore piano sta nel fatto che è uniforme nello spazio compreso tra le armature, perché le cariche sono distribuite uniformemente.

 

Ciò significa che \vec{E} assume lo stesso valore in ogni punto dello spazio compreso tra le due armature, la stessa direzione (perpendicolare ai piani delle armature) e lo stesso verso (uscente dall'armatura con carica positiva ed entrante nell'armatura con carica negativa).

 

Per fornirne una rappresentazione mediante linee di campo non ci resta che ricordare che più le linee di campo sono fitte, più il campo elettrico è intenso, e viceversa; nel nostro caso le linee devono essere equidistanti.

 

 

Campo elettrico di un condensatore piano

Campo elettrico tra le armature di un condensatore piano (Q>0).

 

 

In prossimità dei bordi esterni del condensatore le linee di campo non possono essere perpendicolari alle armature e devono necessariamente distorcersi diventando curve. Pur trattandosi di un effetto non trascurabile in un modello reale, la distorsione del campo elettrico al contorno non viene presa in considerazione nelle applicazioni e negli esercizi che affronteremo.

 

 

Campo elettrico ai bordi delle armature di un condensatore piano

Campo elettrico ai bordi delle armature di un condensatore piano.

 

Formula per il campo elettrico di un condensatore piano

 

Esiste una formula che ci permette di calcolare l'intensità del campo elettrico presente tra le due armature di un condensatore piano, perlomeno nell'ipotesi per cui la distanza tra le armature è molto minore delle loro dimensioni 

 

E=\frac{|\sigma|}{\varepsilon_m}\ \ \ (d^2<<S)

 

dove |\sigma| è il modulo della densità superficiale di carica su ciascuna delle due armature e \varepsilon_m è la costante dielettrica assoluta del mezzo interposto tra le due armature. Qualora decideste di tralasciare il valore assoluto, ricordate che il modulo del campo elettrico è positivo per definizione, dunque in tal caso dovrete considerare la densità superficiale di carica dell'armatura caricata positivamente.

 

Da qui si vede che il campo elettrico è direttamente proporzionale al modulo della densità di carica superficiale \sigma e che è inversamente proporzionale alla costante dielettrica \varepsilon_m del mezzo con cui è stato riempito lo spazio tra le due armature.

 

Tale formula deriva direttamente da quella per il campo elettrico generato da un piano infinito di carica, che possiamo usare anche nel caso di armature limitate purché la distanza tra esse sia molto minore rispetto alle loro dimensioni

 

E=\frac{|\sigma|}{2 \varepsilon_m}

 

La differenza data dal fattore 2 si spiega facilmente considerando un condensatore piano ideale, ossia con armature di estensione infinita: in tal caso ogni armatura produce un proprio campo elettrico secondo la legge appena scritta.

 

 

Condensatore piano - Sovrapposizione dei campi elettrici

Principio di sovrapposizione dei campi elettrici
per un condensatore piano (Q>0).

 

 

Come si vede in figura, ogni armatura produce un proprio campo elettrico su entrambi i lati. L'armatura con carica positiva genera un campo elettrico uscente, mentre quella con carica negativa ne genera uno entrante. Nell'ipotesi di estensioni infinite di carica, se consideriamo un punto A fuori dal condensatore nella parte sinistra vediamo che i due campi sono uguali in modulo, ma di versi opposti e dunque tali da annullarsi. Lo stesso vale anche per il punto esterno C a destra. Il campo elettrico al di fuori del condensatore è dunque nullo.

 

Nel punto B i due campi sono uguali e concordi, dunque vanno sommati: ecco allora che il campo totale è doppio rispetto a quello generato da una sola armatura, e così si spiega la scomparsa del fattore 2 nel passaggio dalla formula del campo di un piano infinito carico a quella del campo all'interno del condensatore.

 

Capacità di un condensatore

 

A inizio lezione abbiamo anticipato la definizione di capacità di un condensatore qualsiasi. Rispetto ai conduttori, per i quali la capacità elettrica è data dal rapporto tra carica e potenziale, per un generico condensatore la capacità viene definita come rapporto tra la carica dell'armatura positiva e la differenza di potenziale tra l'armatura positiva e quella negativa

 

C=\frac{Q}{\Delta V}=\frac{Q}{V_+-V_-}\ \ \ (Q>0,\ \Delta V>0)

 

Da notare che C è sempre una grandezza positiva. La definizione può essere riscritta in termini più generali considerando il rapporto tra la carica di un'armatura e la differenza di potenziale tra tale armatura e l'altra; in questo modo c'è coerenza rispetto al segno, infatti:

 

- se si sceglie l'armatura positiva si ottiene una differenza di potenziale positiva;

 

C=\frac{Q}{\Delta V}=\frac{Q}{V_+-V_-}>0\ \ \ (Q>0,\ \Delta V>0)

 

- se si sceglie l'armatura negativa si ottiene una differenza di potenziale negativa;

 

C=\frac{-Q}{\Delta V}=\frac{-Q}{V_--V_+}>0\ \ \ (Q>0,\ \Delta V<0)

 

Per evitare qualsiasi possibile fraintendimento sui segni potete considerare direttamente il rapporto dei moduli della carica e della differenza di potenziale, anche se per i primi tempi ve lo sconsigliamo: è molto più formativo ragionare mediante definizioni, significati fisici e relazioni tra le varie grandezze ;)

 

C=\frac{|Q|}{|\Delta V|}

 

Come già accadeva per i conduttori, la carica e la differenza di potenziale sono direttamente proporzionali e il rapporto tra Q e \Delta V è costante.

 

Il significato della capacità di un condensatore è quello di misura della capacità di immagazzinamento di carica elettrica a parità di differenza di potenziale. I condensatori vanno visti come dei serbatoi di carica elettrica: così come un serbatoio è tanto più capace quanti più litri riesce a contenere, un condensatore è tanto più capace quanta più carica riesce a contenere.

 

Capacità di un condensatore piano

 

Possiamo essere più specifici e ricavare una formula particolare per la capacità di un condensatore piano? Certamente! Innanzitutto a scanso di equivoci denotiamo con Q la carica dell'armatura positiva, per cui Q>0.

 

Consideriamo la relazione per l'intensità del campo elettrico in funzione del gradiente del potenziale e determiniamo la differenza di potenziale tra l'armatura carica positivamente e quella carica negativamente

 

\Delta V=V_+-V_-=Ed

 

secondo cui la differenza di potenziale tra le due armature è uguale al prodotto del modulo del campo elettrico per la distanza tra le armature. L'orientamento del campo elettrico fa sì che nella nostra ipotesi la differenza di potenziale sia positiva.

 

A sua volta il campo elettrico che si genera all'interno del condensatore dipende dalla densità superficiale di carica. Se consideriamo la lastra carica positivamente, allora è \sigma>0 e vale la relazione:

 

E=\frac{\sigma}{\varepsilon_m}\ \ \ (d^2<<S,\ \sigma>0)

 

Dunque:

 

\Delta V=V_+-V_-=\frac{\sigma}{\varepsilon_m} d

 

La densità superficiale di carica a sua volta è data dal rapporto tra la carica Q depositata sulla superficie S e la superficie stessa (nel nostro ragionamento è {Q>0}):

 

\sigma=\frac{Q}{S}

 

La differenza di potenziale diventa

 

\Delta V=V_+-V_-=\frac{Qd}{S \varepsilon_m}\ \ \ (d^2<<S,\ Q>0)

 

Sostituiamo quanto trovato nella definizione di capacità. Abbiamo considerato la differenza di potenziale tra l'armatura positiva e quella negativa, quindi ci serve la carica positiva

 

C=\frac{Q}{V_+-V_-}=\frac{Q}{\frac{Qd}{S \varepsilon_m}}=

 

Semplifichiamo la carica Q

 

=\varepsilon_m \frac{S}{d}

 

e abbiamo concluso. A titolo di esercizio - è un buon allenamento - potete provare a ripetere i calcoli prestando attenzione ai segni e apportando le necessarie modifiche, supponendo che:

 

- sia Q>0 e considerando la differenza di potenziale tra l'armatura negativa e quella positiva;

 

- sia Q<0 e considerando la differenza di potenziale tra l'armatura positiva e quella negativa;

 

- sia Q<0 e considerando la differenza di potenziale tra l'armatura negativa e quella positiva;

 

 

In ogni caso la formula per la capacità di un condensatore piano è data da

 

C=\varepsilon_m \frac{S}{d}\ \ \ (d^2<<S)

 

dove con \varepsilon_m indichiamo la costante dielettrica del mezzo che riempie lo spazio tra le due armature, con S la superficie di una delle due armature e con d la loro distanza reciproca.

 

 

Capacità di un condensatore piano

Capacità di un condensatore piano.

 

 

La formula particolare per il condensatore piano lascia intendere che la capacità dipenda solo dalle caratteristiche geometriche del condensatore, cioè fondamentalmente da come è costruito. Nella formula è scomparso ogni riferimento alla carica depositata sulle armature o alla differenza di potenziale tra di esse: la capacità dipende solo dalle dimensioni delle armature, dalla distanza reciproca alla quale sono collocate e dal tipo di materiale interposto tra di esse.

 

Questa proprietà non vale solamente nel caso piano e può essere generalizzata affermando che la capacità di un condensatore qualsiasi dipende solo dalle caratteristiche geometriche e dal materiale, come d'altronde vedremo nello studio dei condensatori sferici e cilindrici.

 

Riprendiamo la formula del caso piano:

 

C=\varepsilon_m \frac{S}{d}

 

Come abbiamo lasciato intendere fin qui, lo spazio compreso tra le due armature può essere vuoto oppure riempito con un isolante elettrico. La scelta dell'eventuale materiale è dettata dal valore di capacità che si intende conferire al condensatore (torneremo su questo aspetto nella lezione sui dielettrici).

 

Notiamo in particolare che la capacità è direttamente proporzionale alla costante dielettrica \varepsilon_m e alla superficie S, mentre è inversamente proporzionale alla distanza d. Se volessimo costruire un condensatore piano con un'alta capacità dovremmo usare delle armature con una grande superficie, riempire lo spazio tra di esse con un materiale dall'elevato valore di costante dielettrica e diminuire al massimo la distanza tra le due armature.

 

 

Esempio (Calcolo della capacità di un condensatore piano)

 

Vediamo un semplice esempio numerico. Abbiamo un condensatore con le armature quadrate di lato pari a 7 cm. La distanza tra le armature è di 2 mm e la costante dielettrica del mezzo posto tra le armature è \varepsilon_m=30\cdot 10^{-12}\ \frac{\mbox{F}}{\mbox{m}}. Quanto vale la sua capacità?

 

Svolgimento: prima di applicare la formula ricordiamoci di convertire i centimetri e i millimetri in metri, dopodiché osserviamo che la superficie di ciascuna armatura si calcola come area di un quadrato

 

C=\varepsilon_m \frac{S}{d}=\varepsilon_m \frac{l^2}{d}=\\ \\ \\ =\left(30 \cdot 10^{-12}\ \frac{\mbox{F}}{\mbox{m}}\right) \cdot \frac{\left(7 \cdot 10^{-2}\mbox{ m}\right)^2}{2 \cdot 10^{-3}\mbox{ m}}\simeq 7,35 \cdot 10^{-12}\mbox{ F}=7,35\mbox{ pF}

 

 


 

Nella lezione successiva studieremo in dettaglio i condensatori cilindrici. In caso di dubbi o domande vi raccomandiamo la barra di ricerca interna; qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e altrettanti approfondimenti. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

Lezione precedente.....Lezione successiva

 
 

Tags: cos'è un condensatore - a cosa serve un condensatore - cos'è la capacità di un condensatore - formula della capacità di un condensatore.