Capacità elettrica

La capacità elettrica è la capacità di un conduttore di accumulare carica elettrica sulla sua superficie esterna a parità di potenziale, ed è una grandezza che dipende esclusivamente dalla forma e dalle dimensioni del conduttore.

 

Ora che abbiamo studiato le principali proprietà dei conduttori in equilibrio elettrostatico, passiamo a introdurre una nuova grandezza caratteristica dei conduttori carichi: la capacità elettrica. In questa lezione ne presentiamo la definizione, la relativa formula, le principali caratteristiche e proponiamo un paio di semplici esempi di calcolo.

 

Nota bene: qui ci occupiamo della capacità elettrica in generale, con riferimento a un conduttore qualsiasi. Per chi fosse interessato, approfondiremo la nozione di capacità di un condensatore nelle lezioni successive.

 

Definizione e formula della capacità elettrica

 

Per definire la capacità elettrica di un conduttore si parte da una semplice osservazione. Consideriamo un conduttore carico e supponiamo che sia in equilibrio elettrostatico. In tale ipotesi sappiamo, tra le altre cose, che:

 

- la carica elettrica è distribuita solamente sulla sua superficie esterna;

 

- la superficie esterna è equipotenziale, cioè assume lo stesso valore di potenziale in tutti i punti.

 

Sperimentalmente si osserva che al raddoppiare della carica elettrica depositata sulla superficie del conduttore, raddoppia anche il valore del potenziale elettrico; se la carica triplica, anche il potenziale triplica. In altri termini la carica elettrica di un conduttore e il potenziale in qualsiasi punto della sua superficie esterna sono grandezze direttamente proporzionali.

 

In Matematica un rapporto di proporzionalità diretta si può esprimere nel modo seguente:

 

y=kx

 

dove k rappresenta la costante di proporzionalità. Nel nostro caso è sufficiente sostituire alle variabili x,y le grandezze fisiche di riferimento, vale a dire la carica elettrica e il potenziale. Possiamo allora scrivere:

 

Q=kV

 

Se vogliamo riscrivere l'equazione in favore della costante di proporzionalità k, ci basta ricavare la formula inversa:

 

k=\frac{Q}{V}

 

Tale costante si indica con la lettera C e viene detta capacità elettrica del conduttore, definita mediante la formula

 

C=\frac{Q}{V}

 

ossia come rapporto tra la carica elettrica distribuita sulla superficie del conduttore e il valore del suo potenziale elettrico.

 

Proprietà e unità di misura della capacità elettrica di un conduttore

 

La prima e più immediata proprietà discende direttamente dalla formula della capacità elettrica: C è direttamente proporzionale alla carica Q e inversamente proporzionale al potenziale V.

 

La seconda proprietà riguarda il segno della capacità, che per come è definita è una grandezza positiva

 

C>0

 

C'è un ulteriore aspetto che è bene chiarire da subito, onde evitare fraintendimenti. Nella definizione abbiamo scritto che C è una costante, ma attenzione: la capacità elettrica di un conduttore è una costante per il conduttore considerato, dunque in generale è una grandezza che dipende dalla forma e dalle dimensioni del conduttore stesso.

 

L'unità di misura della capacità elettrica si indica con la lettera F e prende il nome di farad in onore del fisico inglese Michael Faraday (1791-1867), che diede un enorme contributo allo sviluppo dell'Elettrostatica. Come si può dedurre dalla definizione, il farad è un'unità di misura derivata ed è definita come rapporto tra 1 coulomb e 1 volt:

 

1\ \mbox{F}=\frac{1\ \mbox{C}}{1\ \mbox{V}}

 

Per ricondurla alle unità di misura fondamentali ci basta procedere con le dovute sostituzioni

 

1\mbox{ F}=1\ \frac{\mbox{C}}{\mbox{V}}=1\ \frac{\mbox{ C}}{\frac{\mbox{J}}{\mbox{C}}}=1\ \frac{\mbox{C}^2}{\mbox{J}}=1\ \frac{\mbox{C}^2}{\mbox{N}\cdot\mbox{m}}

 

ossia

 

1\ \mbox{F}=1\ \frac{\mbox{C}^2}{\mbox{N}\cdot\mbox{m}}

 

Un conduttore ha quindi una capacità di 1 farad se è elettrizzato con una carica di 1 coulomb e ha un valore di potenziale elettrico pari a 1 volt. Bisogna evidenziare che il farad è un'unità di misura piuttosto grande, analogamente al coulomb, pertanto capita spesso di lavorare con valori di capacità dell'ordine dei microfarad (μF=10-6 F) o del nanofarad (nF=10-9 F). Attenzione dunque ai prefissi del Sistema Internazionale e a ricordarsi sempre a quale potenza del 10 corrispondono.

 

Esempi sul calcolo della capacità di un conduttore

 

Vediamo un esempio numerico. Calcoliamo la capacità di un conduttore elettrizzato con una carica di 5 pC (picocoulomb) e con un potenziale di 72 mV (millivolt).

 

C=\frac{Q}{V}=\\ \\ \\ =\frac{5 \cdot 10^{-12} \mbox{ C}}{72 \cdot 10^{-3} \mbox{ V}}\simeq 6,9 \cdot 10^{-11} \mbox{ F}= 69 \mbox{ pF}

 

Niente di sconvolgente. :)

 

Passiamo allora a un esempio teorico per ribadire una proprietà già menzionata in precedenza: la capacità elettrica di un conduttore dipende della sua forma e dalle sue dimensioni. È un aspetto che passa in sordina se si guarda la formula della capacità, infatti essa non coinvolge alcuna grandezza che sia legata alla forma o alle dimensioni del conduttore.

 

Possiamo mettere in luce questo concetto se consideriamo, ad esempio, il caso di un conduttore sferico. Nel caso di una sfera carica il potenziale è dato dalla seguente formula (nel vuoto)

 

V=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r}

 

dove r è il raggio della sfera. Se sostituiamo questa espressione del potenziale nella definizione di capacità, otteniamo:

 

C=\dfrac{Q}{\dfrac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r}}

 

da cui la formula per la capacità di un conduttore sferico

 

C=4 \pi \varepsilon_0 r

 

Vediamo così che la capacità dipende solo dal raggio della sfera, ossia da una grandezza relativa alla forma del conduttore e alle sue dimensioni. Ricollegandoci all'esempio numerico, proviamo a calcolare la misura del raggio di una sfera che ha la stessa capacità trovata in precedenza

 

C=4 \pi \varepsilon_0 r \ \ \to\ \  r=\frac{C}{4 \pi \varepsilon_0}\\ \\ \\ r\simeq \frac{69 \cdot 10^{-12} \frac{\mbox{C}^2}{\mbox{N}\cdot\mbox{m}} }{4 \pi \cdot 8,85 \cdot 10^{-12}\ \frac{\mbox{C}^2}{\mbox{N}\cdot \mbox{m}^2}}\simeq 0,62\mbox{ m}

 

Riguardo all'unità di misura della costante dielettrica del vuoto \varepsilon_0 nulla ci vieta di esprimerla nella forma \frac{\mbox{F}}{\mbox{m}}, così da preservare i farad per la capacità e agevolare la semplificazione. Questione di comodità e di gusti personali. ;)

 

 


 

Nella lezione successiva inizieremo a studiare i condensatori. In particolare tratteremo le principali tipologie di condensatori e, di volta in volta, ricaveremo le rispettive formule per il calcolo della capacità. Ecco la scaletta degli argomenti più imminenti:

 

- condensatore piano;

 

- condensatore cilindrico;

 

- condensatore sferico.

 

Come di consueto vi ricordiamo che qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti e spiegati nel dettaglio, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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Tags: come calcolare la capacità elettrica - unità di misura farad e simbolo della capacità elettrica di un conduttore.