Potere disperdente delle punte

Il potere disperdente delle punte si riferisce alla tendenza dei conduttori carichi ad accumulare una maggior quantità di carica elettrica nelle porzioni della superficie esterna che presentano un minor raggio di curvatura, e dunque nelle zone "più appuntite". Di conseguenza in prossimità delle punte si viene a generare un campo elettrico più intenso.

 

Proseguiamo con lo studio dei conduttori. Nelle precedenti lezioni abbiamo analizzato alcune proprietà dei conduttori in equilibrio elettrostatico e ci siamo soffermati sulle relative implicazioni pratiche. Ricordate? Abbiamo visto, ad esempio, che la scocca di un'automobile può fungere da gabbia di Faraday (in quanto conduttore cavo) e proteggerci dai fulmini durante un temporale.

 

Qui riprendiamo un'ulteriore caratteristica dei conduttori in equilibrio: la loro tendenza ad accumulare carica elettrica in prossimità delle punte della superficie esterna. Oltre a dimostrare tale proprietà ne valuteremo le conseguenze pratiche e capiremo perché, ad esempio, nel corso di un temporale non conviene ripararsi sotto a un albero. ;)

 

Il potere disperdente delle punte

 

Forse (?) non tutti sanno che durante un temporale non è una buona idea cercare riparo sotto un albero, principalmente per una ragione: è più facile che un fulmine colpisca un albero piuttosto che il terreno. Allo stesso modo è più facile che un fulmine cada sulla cima della torre Eiffel piuttosto che sul tetto di un palazzo che si affaccia sugli Champs-Élysèes.

 

Perché accade questo? Richiamiamo due proprietà fondamentali dei conduttori in equilibrio elettrostatico.

 

1) Se carichiamo elettricamente un conduttore, tutta la carica in eccesso si distribuisce sulla superficie esterna.

 

2) Nel caso di una superficie irregolare la carica si distribuisce in modo disomogeneo. In particolare la maggiore densità di carica si manifesta nei punti della superficie in cui il raggio di curvatura è minore; in modo equivalente, e prosaicamente, nei punti in cui la superficie è "più appuntita".

 

Ricordiamo che il raggio di curvatura in un punto di una superficie è per definizione il raggio della sfera che meglio approssima la superficie nel punto considerato:

 

- a un raggio minore corrisponde una curvatura più accentuata;

 

- a un raggio maggiore corrisponde una curvatura meno evidente.

 

In altri termini tanto maggiore è il raggio di curvatura in un punto, tanto più la superficie si approssima in tale punto a una superficie piana. Intuitivamente le punte di una superficie corrispondono quindi a raggi di curvatura "piccoli".

 

Accumulazione della carica elettrica in prossimità delle punte

 

Dimostriamo la proprietà secondo cui i conduttori accumulano una maggiore concentrazione di carica in prossimità delle punte.

 

Consideriamo due sfere conduttrici S_1,S_2 con raggi diversi, e supponiamo che sia r_1>r_2. Immaginiamo che la sfera S_1 sia elettricamente carica e che S_2 sia inizialmente neutra.

 

Se poniamo a contatto le due sfere S_2 si elettrizza acquisendo parte della carica distribuita su S_1, in forza del fenomeno di elettrizzazione per contatto. Il flusso di cariche elettriche da S_1 a S_2 continua fino a quando non si raggiunge una situazione di equilibrio, che si ottiene quando le due sfere hanno lo stesso potenziale elettrico. Al termine del processo abbiamo quindi due sfere con diversi raggi r_1,r_2, diverse cariche elettriche Q_1,Q_2 e stesso potenziale V.

 

Usiamo la formula del potenziale e supponiamo di ragionare nel vuoto, così da ricorrere alla costante dielettrica nel vuoto

 

V_1=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q_1}{r_1}\\ \\  \\ V_2=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q_2}{r_2}

 

Dato che il potenziale è lo stesso per entrambe le sfere, possiamo uguagliare le due espressioni:

 

\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q_1}{r_1}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q_2}{r_2}

 

da cui ricaviamo

 

\frac{Q_1}{r_1}=\frac{Q_2}{r_2}\ \ \ (\bullet)

 

In condizione di equilibrio elettrostatico, quindi, il rapporto tra la carica distribuita sulla superficie della sfera e il suo raggio è costante. Chiamiamolo k. La cosa che ci interessa non è tanto la carica che si trova sulla superficie delle sfere conduttrici, quanto piuttosto la densità superficiale di carica \sigma, ossia la quantità di carica per unità di superficie. In formule:

 

\sigma=\frac{Q}{S}

 

Poiché nel nostro caso semplificato le superfici sono sferiche, possiamo sostituire al posto della generica superficie S l'espressione dell'area della sfera

 

\sigma=\frac{Q}{4\pi r^2}

 

Ricaviamo la carica Q

 

Q=4 \pi \sigma r^2

 

e sostituiamo tale espressione nell'equazione (\bullet) che abbiamo trovato in precedenza:

 

\frac{4 \pi \sigma_1 r_1^2}{r_1}=\frac{4 \pi \sigma_2 r_2^2}{r_2}

 

Semplificando le costanti e i raggi, otteniamo

 

\sigma_1 r_1=\sigma_2 r_2

 

Il prodotto tra la densità superficiale di carica e il raggio della sfera è costante, e ciò significa che le due grandezze sono inversamente proporzionali: al crescere dell'una, l'altra diminuisce del medesimo fattore.

 

Tornando al nostro esempio, al raggio maggiore r_1 corrisponde una densità di carica minore, mentre al raggio minore r_2 corrisponde una maggiore densità di carica. Abbiamo così dimostrato che la concentrazione di carica è maggiore ove il raggio di curvatura è minore.

 

Pur avendo fornito la dimostrazione nel caso semplificato delle sfere sottolineiamo che il risultato ha in realtà carattere generale, e che è valido per qualunque conduttore indipendentemente dalla sua forma.

 

Campo elettrico in prossimità delle punte

 

Ora sappiamo che sulle punte della superficie di un conduttore carico si concentra una densità di carica elettrica più elevata, con conseguente valore di campo elettrico più elevato. Questo è esattamente ciò che si intende con l'espressione potere disperdente delle punte.

 

Un scarica elettrica attraverso l'aria, come un fulmine, ha bisogno di molta energia per generarsi ed è più facile creare un alto livello di energia potenziale elettrica con un oggetto appuntito. Così, durante un temporale, è più probabile che un fulmine colpisca un parafulmine rispetto a un altro oggetto con una forma più regolare.

 

 


 

La prossima puntata del corso sull'elettricità introduce una nuova, fondamentale grandezza: la capacità elettrica. Vi raccomandiamo come di consueto di usare la barra di ricerca interna per ogni evenienza; qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e altrettanti approfondimenti. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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