Conduttori in equilibrio elettrostatico

Un conduttore in equilibrio elettrostatico è tale se la velocità totale delle cariche al suo interno, intesa come somma vettoriale, è nulla. Un conduttore elettrico in equilibrio gode di particolari proprietà relative alla distribuzione della carica sulla sua superficie esterna.

 

Fino a qui abbiamo affrontato il tema dei conduttori elettrici in diversi contesti, ma non ci siamo mai soffermati sulle proprietà che li caratterizzano rispetto alle grandezze tipiche dei fenomeni elettrici. A questo proposito un caso particolarmente interessante è dato dai conduttori in equilibrio elettrostatico.

 

In questa lezione daremo la definizione di conduttore elettrico in equilibrio e ne elencheremo le caratteristiche, con particolare riferimento alla distribuzione delle cariche, al campo elettrico e al potenziale. Raccomandiamo particolare attenzione perché nelle successive puntate del corso richiameremo spesso e volentieri tali proprietà.

 

Definizione di conduttore in equilibrio elettrostatico

 

Prima di analizzare le principali caratteristiche di un conduttore in equilibrio elettrostatico è bene ricordare che un qualsiasi materiale è un conduttore elettrico se le cariche elettriche sono libere di muoversi al suo interno. Nel corso della spiegazione ci riferiremo per semplicità esclusivamente ai conduttori solidi (tipicamente i metalli).

 

Se consideriamo un oggetto solido e conduttore, al suo interno gli elettroni detti di conduzione sono liberi di muoversi quando vengono sollecitati da un campo elettrico, che forza il loro movimento in una certa direzione.

 

Diciamo che un conduttore è in equilibrio elettrostatico quando la sua carica complessiva rimane costante nel tempo ed esso non cede né acquisisce carica elettrica oltre a quella che eventualmente già presenta.

 

Un conduttore in equilibrio può quindi essere neutro oppure dotato di una carica elettrica, e a noi in particolare interessa la seconda eventualità.

 

Proprietà dei conduttori in equilibrio elettrostatico

 

Prima di tutto vi proponiamo l'elenco delle proprietà, dopodiché le passiamo in rassegna:

 

1) All'interno di un conduttore in equilibrio elettrostatico il campo elettrico è nullo.

 

2) Nei conduttori in equilibrio elettrostatico la carica elettrica si distribuisce soltanto sulla superficie esterna.

 

3) La superficie esterna di un conduttore in equilibrio elettrostatico è una superficie equipotenziale.

 

4) Il campo elettrico sulla superficie esterna di un conduttore in equilibrio elettrostatico è perpendicolare alla superficie stessa in ogni suo punto.

 

5) La densità superficiale di carica è maggiore laddove il raggio di curvatura della superficie esterna è minore.

 

Procediamo. In un conduttore gli elettroni sono sempre in movimento per via dell'agitazione termica, che è tanto più accentuata quanto più è elevata la temperatura.

 

La caratteristica peculiare di tale moto è la sua natura completamente caotica e disordinata. Se avessimo la possibilità di filmare gli elettroni di un conduttore, li vedremmo muoversi ognuno in una direzione diversa e con un diverso valore di velocità. L'effetto complessivo è che a un elettrone che si muove con una certa velocità in una data direzione ne corrisponde un altro che si muove con la stessa velocità, nella stessa direzione ma nel verso opposto. La somma vettoriale di tutte le velocità degli elettroni è pertanto nulla, ed è per questo che ha senso parlare di condizione di equilibrio.

 

In un conduttore in equilibrio elettrostatico non c'è un movimento di cariche ordinato, per cui non ci sarà mai un istante in cui tutti gli elettroni liberi si muovono mediamente nella stessa direzione. Per avere un moto ordinato di cariche, e quindi una corrente elettrica, servirebbe un campo elettrico da applicare al conduttore, che però in questo caso non c'è. È così che arriviamo allora alla prima proprietà di un conduttore in equilibrio elettrostatico:

 

1) All'interno di un conduttore in equilibrio elettrostatico il campo elettrico è nullo.

 

Tale affermazione dovrebbe essere facilmente comprensibile; se per assurdo ci fosse un campo elettrico le cariche tenderebbero a muoversi tutte nella stessa direzione, in quanto soggette a una forza elettrica, ma se così fosse allora il conduttore non sarebbe più in equilibrio elettrostatico e si arriverebbe ad una contraddizione.

 

Questa prima caratteristica ci permette di desumerne altre. Consideriamo una superficie interna al conduttore: su di essa il campo elettrico è nullo, di conseguenza è nullo anche il flusso del campo elettrico attraverso tale superficie. Ricordiamoci infatti che il flusso è definito come il prodotto scalare tra il vettore campo elettrico e il vettore superficie, per cui se il campo è nullo, anche il flusso lo è.

 

Richiamiamo il teorema di Gauss per il campo elettrico: il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è dato dal rapporto tra la somma di tutte le cariche interne alla superficie e la costante dielettrica del mezzo

 

\Phi (\vec{E}) = \frac{Q_{int}}{\varepsilon_m}

 

Se però il flusso è nullo, come abbiamo detto prima, significa che all'interno non ci sono cariche. Eccoci giunti alla seconda proprietà dei conduttori in equilibrio elettrostatico:

 

2) nei conduttori in equilibrio elettrostatico la carica elettrica si distribuisce soltanto sulla superficie esterna.

 

Se prendiamo un oggetto metallico e lo dotiamo di una carica elettrica, non importa se positiva o negativa, la carica che gli abbiamo conferito si depositerà solamente sulla superficie esterna. Il volume interno rimarrà complessivamente neutro.

 

Questo fenomeno si può comprendere anche pensando che le cariche in eccesso sono tutte dello stesso segno, e pertanto sono soggette a forze repulsive. Ogni carica respinge le altre e, a sua volta, è respinta da tutte le altre. Il risultato è che ogni carica tende ad allontanarsi il più lontano possibile dalle compagne, e il luogo dove è possibile mantenere la maggiore distanza reciproca è proprio la superficie del conduttore.

 

È bene specificare che stiamo parlando della superficie esterna perché il conduttore potrebbe anche essere cavo e presentare quindi una superficie interna; in questo caso la carica in eccesso si distribuirebbe solo sulla superficie esterna e non su quella interna, che ne rimarrebbe totalmente sprovvista.

 

 

Da ciò che abbiamo esposto in precedenza si deduce una terza proprietà dei conduttori in equilibrio elettrostatico:

 

3) la superficie esterna di un conduttore in equilibrio elettrostatico è una superficie equipotenziale.

 

Si può comprendere il motivo di questa affermazione in due modi.

 

- Si può ad esempio pensare che, se tra due punti della superficie esterna del conduttore vi fosse una differenza di potenziale, le cariche elettriche tenderebbero a muoversi dal punto a potenziale più alto a quello più basso o viceversa, a seconda del segno delle cariche. Ciò contraddirebbe la definizione di equilibrio elettrostatico, e pertanto dobbiamo concludere che il potenziale assume lo stesso valore in tutti i punti della superficie esterna.

 

- Possiamo in alternativa considerare la formula della differenza di potenziale in funzione del campo elettrico:

 

V_B - V_A = \int_B^A{\vec{E} \cdot d\vec{s}}

 

dove A e B sono due punti qualsiasi del conduttore, non necessariamente della sua superficie. Se il campo elettrico nel conduttore è nullo, è nullo anche l'integrale e pertanto:

 

V_B - V_A = 0\ \ \to\ \ V_B = V_A

 

Dunque tutti i punti del conduttore si trovano allo stesso potenziale. Se A fosse un punto interno e B un punto sulla superficie, concluderemmo che ogni punto della superficie ha lo stesso valore di potenziale del punto preso all'interno del conduttore, e che quindi la superficie esterna è equipotenziale.

 

Da qui arriviamo alla quarta proprietà dei conduttori in equilibrio elettrostatico:

 

4) il campo elettrico sulla superficie esterna di un conduttore in equilibrio elettrostatico è perpendicolare alla superficie stessa.

 

Ciò discende direttamente dalle caratteristiche di una superficie equipotenziale, quale è in effetti la superficie esterna di un conduttore in equilibrio elettrostatico: tale superficie è sempre perpendicolare al vettore campo elettrico, in ogni punto.

 

Se per assurdo il campo elettrico non fosse perpendicolare, avrebbe una componente parallela alla superficie che sarebbe responsabile del moto delle cariche, in contraddizione con la definizione di equilibrio elettrostatico.

 

Sottolineiamo che la condizione di perpendicolarità è valida in prossimità della superficie ma non è più necessariamente valida nel momento in cui ci discostiamo da essa. Le linee di campo elettrico infatti posso curvare e prendere diverse direzioni. Come sempre, il campo sarà uscente se la carica è positiva ed entrante se la carica è negativa.

 

La quinta proprietà di un conduttore in equilibrio elettrostatico, nonché l'ultima, è la seguente:

 

5) la densità superficiale di carica è maggiore laddove il raggio di curvatura della superficie esterna è minore.

 

Pensiamo a un conduttore sferico: la sua forma perfettamente simmetrica ci suggerisce che la carica sarà distribuita sulla superficie in modo uniforme, cosicché la densità superficiale di carica resterà costante in ogni punto.

 

Consideriamo ora un conduttore con una forma irregolare: la carica sarà ancora distribuita uniformemente? La risposta è no. La proprietà 5) stabilisce che ci sarà una maggiore concentrazione di carica nei punti più "stretti", cioè quelli con il raggio di curvatura minore.

 

 

Conduttori in equilibrio elettrostatico

Densità superficiale di carica
in un conduttore in equilibrio elettrostatico.

 

 

La nozione di raggio di curvatura, per quanto apparentemente innocua, richiede solide basi di Analisi 2 e di Geometria Differenziale per essere compresa rigorosamente, ma da un punto di vista intuitivo possiamo intenderla nel modo seguente.

 

Consideriamo un punto della superficie esterna del conduttore e immaginiamo di collocare una sfera delle giuste dimensioni in modo che essa sia tangente nel punto e possa aderire "al meglio" alla porzione di superficie circostante. Il raggio di tale sfera è il raggio di curvatura della superficie del conduttore nel punto.

 

 

Raggio di curvatura in un punto della superficie di un conduttore

Raggio di curvatura in due punti della superficie di un conduttore.

 

 

Da qui si capisce che a un raggio di curvatura minore (r_1) corrisponde una "curvatura più accentuata", mentre a un raggio di curvatura maggiore (r_2) corrisponde una superficie "meno incurvata". Di conseguenza nelle parti della superficie del conduttore dove il raggio di curvatura è più piccolo ci sarà una maggiore concentrazione di carica, e conseguentemente un campo elettrico più intenso.

 

Avremo modo di dimostrare la proprietà 5) in una delle lezioni successive (potere disperdente delle punte).

 

 


 

Nella lezione successiva studieremo nel dettaglio i conduttori cavi. :) Come di consueto vi raccomandiamo la barra di ricerca interna per trovare tutto quello che vi serve, qui su YM: lezioni, approfondimenti e tantissimi esercizi risolti. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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