Moto di una carica in un campo elettrico uniforme

Una carica in un campo elettrico uniforme è soggetta a una forza che le imprime un'accelerazione: se la carica è inizialmente ferma, si muove di moto uniformemente accelerato parallelamente alle linee di campo; se la carica entra nel campo perpendicolarmente alle linee di forza, si muove descrivendo un moto parabolico.

Con le nozioni che abbiamo acquisito fino a qui possiamo metterci alla prova studiando un modello concreto. Vogliamo analizzare il comportamento di una particella carica all'interno di un campo elettrico uniforme, ad esempio generato da un condensatore piano, e ricavare le formule che descrivono tutte le caratteristiche del suo moto.

Ci soffermeremo su due casi particolari: quello di una carica inizialmente ferma e quello di una carica che entra nel campo uniforme con una velocità iniziale non nulla, perpendicolarmente alle linee di campo.

Particelle cariche in un campo elettrico uniforme

Cosa accade a una carica elettrica inserita all'interno di un campo elettrico uniforme, ossia in un campo in cui assume in ogni punto dello spazio la stessa intensità, la stessa direzione e lo stesso verso?

La carica subisce sicuramente una forza elettrica che ha la stessa direzione e lo stesso verso del campo elettrico, secondo la definizione di campo come rapporto tra la forza elettrica subita da una carica di prova e la carica di prova stessa.

Innanzitutto, il modo più semplice per creare un campo elettrico uniforme è quello di utilizzare un condensatore piano. Date due armature piane e parallele, dotate della medesima carica ma con segni opposti, si crea una campo elettrico uscente dall'armatura positiva ed entrante in quella negativa, che assume lo stesso identico valore in qualunque punto dello spazio compreso tra le due armature. È a questa peculiarità che si fa riferimento quando si parla di campo elettrico uniforme.

Studiamo nel dettaglio due diverse situazioni: quella di una carica ferma e quello di una carica in moto lungo una traiettoria perpendicolare alle linee di campo elettrico.

Carica inizialmente ferma in un campo elettrico uniforme

Consideriamo un condensatore tra le cui armature è presente una differenza di potenziale  e collochiamo all'interno una particella carica a ridosso dell'armatura positiva. Per semplificare l'analisi supponiamo che si tratti di un protone.

Particella carica inizialmente ferma
in un campo elettrico uniforme.

Il protone viene contemporaneamente respinto dall'armatura positiva e attratto da quella negativa; subirà dunque una forza parallela e concorde al campo elettrico, e di conseguenza un'accelerazione.

Dalla formula scritta a inizio lezione, il modulo della forza esercitata sul protone è

dove nel nostro modello è la carica del protone. D'altra parte, per il secondo principio della Dinamica, la forza è uguale al prodotto della massa per l'accelerazione:

dove è per noi la massa del protone. Da qui troviamo l'accelerazione della carica inizialmente ferma nel campo elettrico uniforme

Se vogliamo esprimere il risultato in funzione della differenza di potenziale anziché del modulo del campo elettrico, possiamo fare riferimento a ciò che abbiamo appreso riguardo la differenza di potenziale nei campi elettrici uniformi

dove con indichiamo la distanza tra le due armature del condensatore. Ricordiamo inoltre che la differenza di potenziale tra l'armatura positiva e l'armatura negativa è una quantità negativa. Otteniamo così che il modulo dell'accelerazione è:

Una volta trovata l'accelerazione, scegliendo la formula più opportuna, è possibile anche calcolare la velocità finale che il protone avrà quando sarà giunto a ridosso dell'armatura negativa. Ricorriamo alle leggi del moto rettilineo uniformemente accelerato:

Ricordiamo che con indichiamo il tempo, con la velocità iniziale e con la posizione iniziale del protone.

La velocità iniziale è nulla nella nostra ipotesi e, se scegliamo opportunamente un sistema di riferimento monodimensionale, tale è anche la posizione iniziale. Per il nostro intento la posizione finale è data da

Ricaviamo il tempo dalla seconda equazione del sistema e sostituiamolo nella prima:

Per concludere sostituiamo l'espressione dell'accelerazione in termini del campo elettrico o della differenza di potenziale, a nostra scelta, e troviamo che la velocità finale della carica può essere scritta in due modi:

Il tempo per raggiungere l'armatura negativa è invece:

Lo stesso tipo di risultato varrebbe anche se considerassimo un elettrone inizialmente fermo a ridosso dell'armatura negativa. In questo caso l'accelerazione sarebbe diretta verso l'armatura positiva e dunque discorde rispetto al vettore campo elettrico.

Carica in moto con traiettoria perpendicolare al campo elettrico uniforme

Un caso più complesso è quello di una particella carica che entra con una certa velocità perpendicolarmente alle linee del campo elettrico uniforme.

Consideriamo nuovamente un condensatore piano e immaginiamo di lanciare al suo interno un protone con una verta velocità iniziale; il protone ha inizialmente una traiettoria perpendicolare alle linee di campo, e per semplicità supponiamo che il punto di ingresso sia equidistante tra le due armature.

Carica in moto in un campo elettrico uniforme
perpendicolarmente alle linee di campo.

Anche in questo caso il protone subisce un'accelerazione che tende ad allontanarlo dall'armatura positiva, avvicinandolo a quella negativa. La differenza sta nel fatto che abbiamo due diversi tipi di moto lungo le componenti:

- un moto rettilineo uniformemente accelerato lungo la direzione del campo elettrico (asse y);

- un moto rettilineo uniforme lungo la direzione perpendicolare al campo (asse x).

La sovrapposizione dei due moti sui due assi cartesiani dà luogo a un moto parabolico, per cui il protone sarà costretto a seguire una traiettoria parabolica che tenderà a portarlo verso l'armatura negativa.

Scriviamo le equazioni per le singole componenti:

La velocità iniziale e la posizione iniziale sono entrambi nulli (per la posizione, a patto di scegliere opportunamente il sistema di riferimento)

Sostituiamo l'accelerazione con l'espressione che abbiamo ricavato a inizio lezione, e semplifichiamo le notazioni osservando che la velocità iniziale è interamente concentrata sulla componente orizzontale:

Da questo sistema possiamo desumere informazioni a nostro piacimento.

Se ad esempio ricaviamo il tempo dalla prima equazione e lo sostituiamo nella seconda, otteniamo l'equazione della traiettoria parabolica seguita dal protone nel suo percorso all'interno del condensatore

Altro dato che è possibile estrapolare dalle equazioni appena scritte è la deflessione, ossia di quanto la particella si allontana dall'asse x per via della forza elettrica che subisce. Nella figura precedente abbiamo denotato questa distanza con . Per calcolarla ci basta sostituire la distanza , che corrisponde alla lunghezza del condensatore, in luogo di x nell'equazione della traiettoria parabolica.

Fintanto che il protone si trova all'interno del condensatore piano, prosegue la propria traiettoria parabolica; una volta percorsa l'intera lunghezza del condensatore non sarà più soggetto alla forza elettrica e proseguirà il proprio tragitto di moto rettilineo uniforme.

Calcoliamo l'angolo di deflessione , vale a dire l'angolo che il protone forma con l'asse x quando si trova a una distanza . Dai teoremi trigonometrici sul triangolo rettangolo sappiamo che la tangente dell'angolo  è uguale al rapporto tra il cateto opposto e il cateto adiacente :

Applichiamo l'arcotangente a entrambi i membri

e infine sostituiamo l'espressione della deflessione

Da ultimo, la velocità del protone all'estremità del condensatore è data dalla somma vettoriale tra la velocità lungo l'asse delle x, che non cambia mai ed è sempre uguale a , e la velocità finale lungo l'asse delle y, data da:

Per determinare il modulo della velocità finale possiamo affidarci al teorema di Pitagora:

Con questo è tutto! La prossima puntata del corso riguarderà i conduttori in equilibrio elettrostatico. Per qualsiasi approfondimento, o se siete in cerca di esercizi, ricordate che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e altrettante lezioni: potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

Buona Fisica a tutti!

Alessandro Catania (Alex)

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Ultima modifica: 08/05/2023