Potenziale generato da un disco carico

Il potenziale generato da un disco carico uniformemente in un qualsiasi punto del suo asse si calcola mediante integrazione, scomponendo la distribuzione di carica in contributi dati da anelli infinitesimi e utilizzando la formula del potenziale elettrico.

 

Sulla falsariga di ciò che abbiamo fatto con i campi elettrici, dopo aver mostrato come calcolare il potenziale generato da una sfera e il potenziale generato da un anello passiamo all'ultima distribuzione di carica notevole.

 

In questa lezione ricaveremo la formula per il potenziale generato da un disco uniformemente carico applicando il solito metodo della suddivisione per elementi infinitesimi; per concludere ne analizzeremo le principali proprietà e la useremo per risalire all'espressione del campo elettrico nel caso considerato.

 

Calcolo del potenziale generato da un disco uniformemente carico

 

Vogliamo calcolare il potenziale elettrico generato da un disco uniformemente carico in un punto qualsiasi del suo asse di simmetria. Anticipiamo che, per agevolare il calcolo, ci appoggeremo ai risultati già trovati in altre lezioni.

 

Intanto specifichiamo che in questo contesto con disco uniformemente carico intendiamo una distribuzione di carica che gode delle seguenti caratteristiche:

 

- è una configurazione di carica piana; Il disco è da intendersi sottile, vale a dire privo di spessore;

 

- la carica elettrica del disco è distribuita in modo uniforme su tutta la sua superficie. In altri termini la densità superficiale di carica \sigma è costante e assume lo stesso valore in tutti i punti del disco. Ricordiamo che la densità superficiale di carica è data dal rapporto tra la carica elettrica Q complessiva e la superficie S

 

\sigma = \frac{Q}{S}\ \ \ \mbox{costante}

 

Anche qui, come in altri contesti, abbiamo a che fare con una distribuzione continua di carica e pertanto dovremo impostare un opportuno integrale. Potremmo considerare elementi infinitesimi di carica dq; nonostante essi possano essere trattati come cariche puntiformi, non procederemo utilizzando la relativa formula

 

V=\frac{dq}{4\pi\varepsilon_0 r}

 

come abbiamo fatto nel calcolo del potenziale di un anello; piuttosto sfruttiamo il risultato già ricavato per l'anello ed estendiamolo all'intero disco.

 

A tal proposito chiamiamo R il raggio del disco e consideriamo un anello di raggio generico r<R e spessore infinitesimo dr.

 

 

Potenziale generato da un disco

Potenziale generato da un disco uniformemente carico.

 

 

L'obiettivo è trovare una formula che ci permetta di calcolare il potenziale in un punto P qualsiasi dell'asse del disco, ossia della retta perpendicolare alla superficie del disco e passante per il suo centro.

 

La superficie infinitesima dS (superficie dell'anello) può essere espressa come area di un rettangolo avente altezza di misura dr e base lunga 2\pi r (misura della circonferenza di raggio r), piuttosto che come area di una corona circolare. Questo perché la sua larghezza dr è trascurabile:

 

dS = 2 \pi r dr

 

La carica dQ che possiede l'anello è data dalla formula della densità superficiale di carica

 

dQ = \sigma dS = 2 \pi \sigma r dr

 

Per calcolare il contributo dV al potenziale in P generato dall'anello ci appoggiamo al risultato già noto dalla precedente lezione. Ancora una volta supponiamo di lavorare nel vuoto, dunque usiamo la corrispondente costante dielettrica:

 

dV = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{dQ}{\sqrt{x^2 + r^2}}

 

Inseriamo in quest'ultima formula l'espressione di dQ scritta poco sopra:

 

dV = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2 \pi \sigma r dr}{\sqrt{x^2 + r^2}} = \\ \\ \\ =\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \frac{ r dr}{\sqrt{x^2 + r^2}}

 

A questo punto dobbiamo impostare un opportuno integrale nella variabile r, così da sommare i potenziali generati da tutti gli anelli di spessore infinitesimo che possiamo costruire all'interno del disco, partendo dal centro e allargandoci fino al bordo esterno

 

V = \int_{0}^{R}{\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \frac{ r dr}{\sqrt{x^2 + r^2}}}=

 

Portiamo fuori dal segno di integrale tutto ciò che è costante rispetto alla variabile di integrazione r

 

=\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \int_{0}^{R}{ \frac{ r dr}{\sqrt{x^2 + r^2}}}=

 

e riscriviamo la funzione integranda

 

=\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \int_{0}^{R}r \left( x^2 + r^2 \right)^{- \frac{1}{2}}dr=

 

Moltiplichiamo e dividiamo per 2 così da ricondurci alla forma di un integrale notevole:

 

=\frac{\sigma}{4 \varepsilon_0} \int_{0}^{R}\left( x^2 + r^2 \right)^{- \frac{1}{2}}\cdot (2r)dr=\\ \\ \\ =\frac{\sigma}{4 \varepsilon_0} \left[ \frac{\left( x^2 + r^2 \right)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \right]_{0}^{R} = \\ \\ \\ = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \left[ \left( x^2 + R^2 \right)^{\frac{1}{2}} - \left( x^2 \right)^{\frac{1}{2}} \right]

 

Siamo arrivati alla formula per il potenziale generato da un disco uniformemente carico lungo il suo asse:

 

V(x)=\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \left[ \sqrt{ x^2 + R^2} - x \right]

 

Facciamo notare che nella nostra ipotesi x è una distanza, dunque è non negativa, per cui possiamo estrarre la radice di x^2 senza ricorrere al valore assoluto.

 

Il potenziale dipende quindi dalla densità superficiale di carica del disco, dal suo raggio e ovviamente dalla distanza x del punto P dal centro del disco.

 

Osservazioni sul potenziale generato dal disco

 

1) Ponendo x=0 otteniamo il potenziale nel centro del disco

 

V(0)= \frac{\sigma R}{2 \varepsilon_0}

 

che equivale al suo valore massimo.

 

2) Per x>0 il potenziale diminuisce progressivamente, fino ad annullarsi a distanza infinita

 

\lim_{x\to +\infty}V(x)=0

 

3) Analogamente al caso dell'anello carico, anche in questa occasione è possibile calcolare il campo elettrico in P a partire dall'espressione del potenziale.

 

In forza della simmetria della configurazione la sola componente del campo elettrico che permane è quella direzionata lungo l'asse del disco: le altre componenti si annullano. Facendo ricorso alla formula del campo elettrico come opposto del gradiente del potenziale elettrico, possiamo limitarci alla sola componente lungo l'asse x e ragionare in termini scalari:

 

E(x) = E_x = - \frac{dV}{dx}

 

Per ottenere l'espressione del campo elettrico generato dal disco, peraltro a noi già nota, basta allora derivare rispetto a x:

 

E(x) = E_x = - \frac{d}{dx} \left( \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \left[ \sqrt{ x^2 + R^2} - x \right] \right) = \\ \\ \\ =- \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \frac{d}{dx} \left[ \left( x^2 + R^2 \right)^{\frac{1}{2}} - x \right] =

 

Applichiamo il teorema di derivazione della funzione composta e la regola per la derivata di una radice

 

= - \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{2} \left( x^2 + R^2 \right)^{-\frac{1}{2}} \left( 2x \right) - 1 \right]

 

e ci siamo!

 

E(x)=E_x= \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \left( 1 - \frac{x}{\sqrt{x^2 + R^2}} \right)

 

Com'era lecito aspettarsi nell'espressione non compare il valore assoluto della densità superficiale di carica: la formula infatti non si riferisce al modulo del campo elettrico, bensì alla componente del vettore campo elettrico relativa a x.

 

 


 

Abbiamo finito. Nella prossima lezione inizieremo a occuparci il moto delle cariche, e nello specifico studieremo le cariche elettriche in moto in campi elettrici uniformi. Se siete in cerca di esercizi risolti, o per qualsiasi dubbio, non esitate: qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti e altrettanti approfondimenti! ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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