Potenziale generato da un anello carico

Il potenziale generato da un anello carico uniformemente si calcola mediante la formula generale del potenziale elettrico, integrando i contributi di potenziale dati da elementi di carica infinitesimi. Il calcolo si semplifica se si considera un punto qualsiasi del suo asse, in forza della simmetria della distribuzione.

 

Nella precedente lezione abbiamo iniziato la rassegna dei potenziali generati da particolari distribuzioni di carica continue, e abbiamo calcolato il potenziale generato da una sfera uniformemente carica. Analogamente a quanto abbiamo fatto nel caso del campo elettrico, la seconda configurazione che prendiamo in esame è quella di un anello uniformemente carico.

 

Mostreremo nello specifico come calcolare il potenziale di un anello carico e ricaveremo la formula per determinare il potenziale generato dall'anello in un qualsiasi punto del suo asse.

 

Calcolo del potenziale generato da un anello carico uniformemente

 

Sappiamo che per calcolare il potenziale elettrico generato da più cariche puntiformi bisogna calcolare il contributo di ogni singola carica, e infine sommare tutti i potenziali ottenuti. Il metodo quindi è piuttosto semplice e richiede l'utilizzo della sola formula del potenziale per cariche puntiformi, che nel vuoto data da

 

V=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r}

 

dove \varepsilon_0 è la costante dielettrica del vuoto.

 

L'approccio cambia e si fa più complesso nel momento in cui dobbiamo calcolare il potenziale elettrico generato da una distribuzione continua di carica Q. L'idea di fondo in un'eventualità del genere è suddividere la distribuzione in tante parti infinitesime, in modo da considerare ogni singola parte come una carica puntiforme dQ.

 

Così facendo, dato un punto P a distanza r dall'elemento di carica dQ, possiamo calcolare il contributo infinitesimo al potenziale in P mediante la formula

 

dV=\frac{dQ}{4 \pi \varepsilon_0 r}

 

Per ricavare il potenziale dato dall'intera distribuzione di carica non ci resta che integrare sull'intera distribuzione \mathcal{D} in modo da sommare tutti gli infiniti contributi al potenziale totale, dati da ogni singola carica infinitesima dQ:

 

V=\int_{\mathcal{D}}\frac{dQ}{4 \pi \varepsilon_0 r}

 

Semplifichiamo la formula portando fuori dal segno di integrale i termini costanti

 

V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{\mathcal{D}}\frac{dQ}{r}

 

L'idea non è poi così diversa da quella usata per un sistema discreto di cariche: si tratta solo di sostituire una sommatoria di un numero finito di elementi con l'integrale, in modo da passare dal discreto al continuo.

 

La difficoltà in generale riguarda il calcolo dell'integrale, che spesso può risultare ostico. Il calcolo però si semplifica notevolmente quando lavoriamo con una distribuzione di carica che gode di qualche simmetria. È il caso di un anello uniformemente carico, specie se si vuole calcolare il potenziale elettrico in un punto appartenente al suo asse di simmetria.

 

Prima di lanciarci nei calcoli specifichiamo che per anello uniformemente carico \mathcal{L} intendiamo un anello circolare, privo di spessore e di larghezza, su cui la carica elettrica è distribuita in modo uniforme, ossia tale che la densità di carica lineare \lambda sia costante. Se indichiamo con l la lunghezza dell'anello:

 

\lambda=\frac{Q}{l}\ \ \ \mbox{costante}

 

Con queste premesse cerchiamo una formula che ci permetta di calcolare il potenziale elettrico di un anello uniformemente carico in un punto qualsiasi del suo asse.

 

 

Potenziale di un anello carico

Potenziale generato da un anello uniformemente carico.

 

 

Come si vede dal disegno, l'asse è la retta perpendicolare al piano dell'anello e passante per il suo centro. Partiamo dalla formula integrale che abbiamo scritto poco più in alto:

 

V=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{\mathcal{L}}\frac{dQ}{r}

 

In queste ipotesi la generica distanza r dipende solo dal punto P ed è sempre la stessa per ogni elemento infinitesimo dQ. Chiamiamo R il raggio dell'anello e x la distanza del punto P dal centro dell'anello. Il teorema di Pitagora ci consente di riscrivere la distanza r nella forma

 

r=\sqrt{x^2 + R^2}

 

A questo punto torniamo alla formula del potenziale e sostituiamo r nell'integrale:

 

V=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{\mathcal{L}}\frac{dQ}{\sqrt{x^2 + R^2}}

 

Poiché la variabile di integrazione è la carica Q possiamo portare fuori dal segno di integrale tutto tranne dQ

 

V=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2 + R^2}}\int_{\mathcal{L}}dQ

 

D'altra parte l'integrale di dQ sull'intero anello corrisponde alla carica totale Q. Abbiamo così ricavato la formula per il potenziale di un anello uniformemente carico in un punto qualsiasi dell'asse:

 

V(x)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{\sqrt{x^2 + R^2}}

 

Vediamo allora che V dipende dalla carica presente sull'anello, dal raggio dell'anello e ovviamente dalla distanza del punto dal centro dell'anello.

 

Osservazioni sul potenziale generato dall'anello

 

1) Se poniamo x=0 otteniamo il potenziale al centro dell'anello

 

V(0)=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R}

 

che è anche il massimo valore che il potenziale può raggiungere.

 

2) Per x>0 il potenziale diminuisce e tende ad annullarsi a distanza infinita

 

\lim_{x\to+\infty}V(x)=0

 

3) Da notare anche che, se riducessimo il raggio dell'anello a zero, questo di fatto si ridurrebbe ad una carica puntiforme e la formula del potenziale diventerebbe

 

V(x)=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 x}\ \ \ (R=0)

 

che è proprio la formula del potenziale elettrico generato da una carica puntiforme, con x ad indicare la distanza normalmente denotata con r.

 

4) Notiamo infine che dall'equazione del potenziale è possibile risalire a quella del campo elettrico mediante derivazione.

 

Sappiamo infatti che il campo elettrico è dato dal gradiente del potenziale elettrico cambiato di segno. La simmetria della configurazione ci permette di ragionare sulla sola componente lungo l'asse x, per cui la relazione tra campo elettrico e gradiente del potenziale si può riscrivere in forma scalare come

 

E(x)=E_x=-\frac{dV}{dx}

 

Se deriviamo il potenziale rispetto alla variabile x otteniamo esattamente la formula per il campo elettrico generato dall'anello che già conoscevamo:

 

E(x)=E_x=- \frac{d}{dx} \left ( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{\sqrt{x^2 + R^2}} \right)=\\ \\ \\ =- \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{d}{dx} \left( x^2 + R^2 \right)^{- \frac{1}{2}}=

 

Applichiamo il teorema di derivazione della funzione composta e la regola per la derivata di una radice

 

=- \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \left( - \frac{1}{2} \right) \left( x^2 + R^2 \right)^{- \frac{3}{2}} \left( 2x \right)

 

In definitiva:

 

E(x)=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{x}{\left( x^2 + R^2 \right)^{ \frac{3}{2}}}

 

Si noti che tale formula non presenta il valore assoluto della carica: essa infatti non esprime il modulo del campo elettrico, bensì si riferisce alla componente del vettore campo elettrico sull'asse x.

 

 


 

Ci fermiamo qui. :) Vi aspettiamo nella prossima lezione, dove mostreremo come calcolare il potenziale generato da un disco carico. Vi ricordiamo come di consueto che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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