Potenziale generato da una sfera carica

Il potenziale generato da una sfera conduttrice piena e carica uniformemente si calcola applicando la formula integrale per la differenza di potenziale, partendo dall'espressione del campo elettrico già nota. In particolare il potenziale all'esterno della sfera si comporta come se la carica fosse tutta concentrata nel centro della sfera.

 

Chi si ricorda la formula integrale per la differenza di potenziale, e soprattutto l'espressione del campo elettrico generato da una sfera piena e carica uniformemente, intuirà subito che il potenziale all'esterno di una sfera piena e carica in modo uniforme deve essere necessariamente quello di una carica puntiforme equivalente, ossia come se la carica della sfera fosse concentrata nel suo centro.

 

Che dire a proposito dei punti interni alla sfera? In questa lezione calcoleremo esplicitamente l'espressione generale del potenziale di una sfera piena e uniformemente carica. Oltre all'utilità della relativa formula, sarà un buon esercizio per prendere confidenza con le nozioni studiate fin qui. ;)

 

Calcolo del potenziale generato da una sfera uniformemente carica

 

Sappiamo già come calcolare il potenziale elettrico generato da una carica puntiforme o da un sistema di più cariche puntiformi.

 

In particolare sappiamo che, in presenza di una carica elettrica isolata, il potenziale è inversamente proporzionale alla distanza dalla carica e che diminuisce all'aumentare della distanza, fino a diventare nullo quando ci trova a una distanza infinita.

 

Come dobbiamo procedere per calcolare il potenziale generato da una distribuzione continua di carica, ad esempio il potenziale generato da una sfera carica uniformemente? Il proposito è simile a quello che abbiamo già affrontato quando abbiamo calcolato il campo elettrico per diverse distribuzioni di carica (sfera, anello, disco).

 

Consideriamo una sfera conduttrice piena, di raggio R, carica in modo uniforme e supponiamo per semplicità che essa sia immersa nel vuoto. Questo significa che la carica elettrica è distribuita omogeneamente su tutto il volume \mathcal{V} e di conseguenza che la densità volumica di carica è costante:

 

\rho = \frac{Q}{\mathcal{V}}\ \ \ \mbox{costante}

 

Riscriviamo la formula sostituendo l'espressione del volume della sfera

 

\rho = \frac{Q}{\frac{4}{3} \pi R^3}

 

ed esplicitiamola in favore della carica elettrica Q

 

Q = \frac{4}{3} \pi \rho R^3

 

L'obiettivo è trovare un'espressione che ci premetta di calcolare il potenziale elettrico in funzione della distanza dal centro della sfera.

 

Chiamiamo r la distanza generica dal centro della sfera, cosicché r è la variabile in funzione della quale scrivere l'espressione di V.

 

 

Potenziale generato da una sfera carica

Potenziale generato da una sfera uniformemente carica.

 

 

Potenziale all'esterno della sfera

 

In primo luogo calcoliamo il potenziale in un generico punto all'esterno della sfera carica, quindi supponiamo che la distanza sia maggiore del raggio (r>R).

 

Consideriamo un punto D all'esterno della sfera e un punto posto a distanza infinita, dunque a potenziale nullo (V_{\infty}=0), e scriviamo la relazione della differenza di potenziale in funzione del campo elettrico

 

V_B - V_A = - \int_A^B{\vec{E} \cdot \vec{dr}}

 

Immaginiamo di portare una carica da una distanza infinita fino al punto D, per cui la formula si traduce in

 

V_D - V_{\infty} = V_D = - \int_{+ \infty }^D{\vec{E} \cdot \vec{dr}}

 

Sfruttiamo una nota proprietà degli integrali per scambiare gli estremi di integrazione

 

V_D=\int_D^{+ \infty }{\vec{E} \cdot \vec{dr}}

 

Ci serve un'espressione del campo elettrico in funzione della distanza r, e quanto abbiamo visto nella lezione sul campo elettrico di una sfera carica uniformemente casca a pennello:

 

r>R\ \ \to\ \ E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{|Q|}{r^2}

 

dove \varepsilon_0 è la costante dielettrica del vuoto. La riconoscete? Questa è anche la formula per il campo elettrico generato da una carica puntiforme, e ci dice in particolare che una sfera piena e uniformemente carica si comporta come se tutta la carica fosse posta nel suo centro.

 

Il campo elettrico e lo spostamento sono paralleli, in forza della simmetria radiale del campo. Se la carica è positiva allora il campo elettrico è uscente, mentre il campo elettrico è entrante se la carica è negativa: nel primo caso abbiamo un prodotto scalare tra vettori concordi, nel secondo discordi.

 

\vec{E}\cdot \vec{dr}=\begin{cases}Edr=\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\dfrac{|Q|}{r^2}\ \ (Q>0)\\ \\ -Edr=\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\dfrac{-|Q|}{r^2}\ \ (Q<0)\end{cases}

 

Da qui si vede che possiamo eliminare il valore assoluto e condensare il tutto in un'unica formula, perché la carica tiene conto del segno

 

\vec{E}\cdot \vec{dr}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}

 

Sostituiamo l'espressione del campo elettrico nella formula del potenziale scritta poco più in alto e applichiamo la definizione di integrale improprio di prima specie (con un piccolo abuso di notazione tra variabile di integrazione ed estremo di integrazione)

 

V_D = \int_r^{+\infty}\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{Q}{r^2} dr=\\ \\ \\ =\lim_{M\to+\infty}\int_{r}^{M}\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{Q}{r^2} dr

 

Portiamo fuori dal segno di integrale tutto ciò che non dipende dalla variabile di integrazione r

 

=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0}\lim_{M\to+\infty}\int_r^M\frac{1}{r^2}=

 

In questo modo ci siamo ricondotti all'integrale di una potenza:

 

=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0}\lim_{M\to+\infty}\left [ -\frac{1}{r} \right]_r^M = \\ \\ \\ =\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \lim_{M\to+\infty}\left ( -\frac{1}{M} + \frac{1}{r} \right) = \\ \\ \\ =\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0}\cdot \frac{1}{r}

 

In definitiva

 

V(r)=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r}\ \ \ \mbox{se }r>R

 

Com'era lecito aspettarsi abbiamo ottenuto la formula del potenziale generato da una carica puntiforme: il potenziale all'esterno della sfera è dunque inversamente proporzionale alla distanza dal suo centro.

 

 

Potenziale sulla superficie della sfera

 

Dal precedente risultato possiamo desumere immediatamente quanto vale il potenziale sulla superficie della sfera, ad esempio nel punto B, sostituendo alla generica distanza r il raggio R:

 

V(R)=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R}\ \ \ \mbox{se }r=R

 

 

Potenziale all'interno della sfera

 

Da ultimo calcoliamo il potenziale elettrico in un punto qualsiasi all'interno della sfera; siamo quindi nella condizione per cui la distanza è minore del raggio (r<R).

 

Utilizziamo la formula generale, solo che in questo caso consideriamo la differenza di potenziale V_A-V_B (per comodità, così da ricavare un'equazione in cui sottraiamo il valore noto V_B):

 

V_A - V_B = - \int_B^A{\vec{E} \cdot \vec{dr}}

 

Riadattiamo la formula generica al caso in esame

 

V_A - V_B = - \int_{R}^{r}{\vec{E}\cdot \vec{dr}}

 

ossia

 

V_A - V_B = \int_{r}^{R}{\vec{E}\cdot \vec{dr}}

 

Anche qui ci serve l'espressione del campo elettrico in funzione della distanza r, espressione che fortunatamente già conosciamo

 

r<R\ \ \to\ \ E=\frac{|\rho| r}{3 \varepsilon_0} = \frac{|Q|r}{4 \pi \varepsilon_0 R^3}

 

Riguardo al prodotto scalare e al valore assoluto valgono considerazioni analoghe a quelle proposte in precedenza. Sostituiamo quanto appena scritto nella formula della differenza di potenziale (anche in questo caso commettiamo un abuso di notazione tra variabile ed estremi di integrazione):

 

V_A - V_B = \int_{r}^{R}{\frac{Qr}{4 \pi \varepsilon_0 R^3} dr}

 

Risolviamo l'integrale portando fuori tutte le grandezze che non dipendono dalla variabile di integrazione r:

 

V_A - V_B = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R^3} \int_{r}^{R}{r dr} = \\ \\ \\ =\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R^3} \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{r}^{R} =\\ \\ \\ = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R^3} \left( \frac{R^2}{2} - \frac{r^2}{2} \right)

 

Non ci resta che riscrivere l'equazione nella forma

 

V_A = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R^3} \left( \frac{R^2}{2} - \frac{r^2}{2} \right) + V_B

 

e sostituire l'espressione del potenziale sulla superficie della sfera

 

V_B = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R}

 

Procediamo:

 

V_A =\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R^3} \left( \frac{R^2}{2} - \frac{r^2}{2} \right) + \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R}

 

La formula per il potenziale all'interno della sfera è quindi data da:

 

V(r)=\frac{Q}{8 \pi \varepsilon_0 R} \left( 3 - \frac{r^2}{R^2} \right )\ \ \ \mbox{se }r<R

 

Da quest'ultima relazione possiamo anche ricavare il valore del potenziale nel centro della sfera carica, ponendo r=0:

 

V(r) = \frac{3Q}{8 \pi \varepsilon_0 R}\ \ \ \mbox{se }r=0

 

In conclusione il potenziale elettrico generato da una sfera carica uniformemente assume due diverse espressioni a seconda del valore della distanza dal centro. Se volessimo riassumere l'espressione del potenziale V in funzione della distanza r, dovremmo servirci di una funzione definita a tratti:

 

V(r) = \begin{cases} \dfrac{Q}{8 \pi \varepsilon_0 R} \left( 3 - \dfrac{r^2}{R^2} \right )\ \ \ \text{se }0 \leq r \leq R \\ \\ \dfrac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r}\ \ \ \text{se }r > R \end{cases}

 

Il primo tratto della funzione corrisponde a un ramo di parabola con concavità verso il basso e vertice in r=0, punto in cui il potenziale raggiunge il suo massimo (in valore assoluto). Avvicinandoci alla superficie il potenziale cala fino al valore V_B.

 

Al di fuori della sfera l'andamento è invece quello descritto dal secondo ramo, per cui il potenziale cala in funzione della distanza secondo il rapporto \frac{1}{r}.

 

I più volenterosi potranno infine verificare facilmente che la funzione è nel complesso continua. ;)

 

 


 

La prossima lezione sarà dedicata al calcolo del potenziale di un anello carico: non perdetevela! ;) Nel contempo ricordate che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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