Superfici equipotenziali

Le superfici equipotenziali in un campo elettrico sono le superfici in cui il potenziale elettrico è costante; vengono utilizzate per fornire una rappresentazione del potenziale partendo dalla rappresentazione del campo elettrico mediante linee di campo.

 

Vediamo di approfondire un concetto che abbiamo trattato di sfuggita nella precedente lezione. Conosciamo già la relazione che lega campo elettrico e potenziale elettrico; analogamente a quanto abbiamo fatto con le linee di campo elettrico, ora vogliamo capire come rappresentare graficamente il potenziale in modo comodo e intuitivo.

 

Mediante opportune considerazioni geometriche, che discendono dalla relazione tra campo elettrico e gradiente del potenziale, vedremo come rappresentare i potenziali elettrici nello spazio a partire dalle linee di campo elettrico.

 

Definizione di superficie equipotenziale

 

Le superfici equipotenziali hanno un ruolo fondamentale in Elettrostatica. Le abbiamo menzionate per la prima volta nella precedente lezione, dedicata al gradiente del potenziale elettrico; ora vogliamo approfondire l'argomento così da capire a fondo cosa sono e qual è la loro utilità pratica.

 

Consideriamo una superficie qualsiasi nello spazio, non importa di quale forma, e immaginiamo di misurare il potenziale elettrico in ogni suo punto: se per ogni punto della superficie in esame il potenziale è sempre lo stesso, allora siamo in presenza di una superficie equipotenziale.

 

Diciamo allora che una superficie equipotenziale è una qualsiasi superficie dello spazio tridimensionale tale per cui, in ogni suo punto, il potenziale assume sempre il medesimo valore.

 

In accordo con la definizione su una superficie equipotenziale non possono esserci due punti diversi in cui il potenziale elettrico assume valori diversi. Ne consegue che due superfici equipotenziali non possono intersecarsi: se ciò avvenisse, per assurdo, allora dovrebbe esistere almeno un punto in cui il potenziale elettrico assume valori diversi, il che è impossibile dal momento che il potenziale elettrico è una funzione (a ogni punto dello spazio è possibile assegnare un e un solo valore del potenziale).

 

Relazione tra campi elettrici e superfici equipotenziali

 

Così come grazie alle linee di campo elettrico è possibile rappresentare graficamente un campo elettrico in una certa regione di spazio, allo stesso modo è possibile rappresentare l'andamento del potenziale elettrico mediante superfici equipotenziali.

 

Il metodo si basa su due osservazioni geometriche a noi già note. Sappiamo che il campo elettrico è uguale al gradiente del potenziale elettrico cambiato di segno, il che ha due principali conseguenze:

 

1) il campo elettrico è un campo vettoriale che, in ogni punto, è diretto nella direzione e nel verso di massima diminuzione del potenziale.

 

2) Il campo elettrico è sempre perpendicolare alle superfici equipotenziali, punto per punto.

 

Soffermiamoci sulla proprietà 2) e diamone una giustificazione. Se una carica q si muove perpendicolarmente al campo elettrico, allora il lavoro della forza elettrica che viene compiuto è nullo. Quest'ultimo infatti è definito come prodotto scalare tra la forza elettrica e lo spostamento

 

L_{AB} = \int_A^B\vec{F} \cdot \vec{ds}= q\int_A^B\vec{E} \cdot \vec{ds}

 

dunque se campo elettrico e spostamento sono perpendicolari, allora il prodotto scalare è nullo e tale è anche il lavoro.

 

D'altro canto se il lavoro è nullo, allora è nulla anche la differenza di potenziale tra due punti qualsiasi del percorso, in forza della relazione

 

\Delta V=V_B-V_A=-\frac{L_{AB}}{q}

 

Ecco quindi che lungo una direzione perpendicolare al campo elettrico il potenziale non varia:

 

\vec{ds}\perp \vec{E}\ \ \Rightarrow\ \ L_{AB}=0\ \ \Rightarrow\ \ \\ \\ \Rightarrow\ \ \Delta V =V_B-V_A=0\ \ \Rightarrow\ \ V\mbox{ costante}

 

Rappresentazione del potenziale elettrico mediante superfici equipotenziali

 

Le due caratteristiche che abbiamo illustrato ci permettono di fornire delle rappresentazioni grafiche del potenziale elettrico a partire dalla rappresentazione delle linee di campo elettrico.

 

Vediamo ad esempio come disegnare le superfici equipotenziali di una carica puntiforme positiva. Sappiamo che il suo campo elettrico può essere rappresentato con linee di campo a simmetria radiale e verso uscente, come in figura.

 

 

Campo elettrico di una carica puntiforme

Campo elettrico di una carica puntiforme positiva.

 

 

Tenendo a mente che il potenziale deve diminuire nella direzione e nel verso del campo elettrico (proprietà 1) e che lungo percorsi perpendicolari al campo il potenziale non cambia (proprietà 2), si vede che le superfici equipotenziali possono essere rappresentate come sfere con centro nella carica che, nel piano bidimensionale, diventano circonferenze.

 

 

Superfici equipotenziali di una carica puntiforme

Superfici equipotenziali di una carica puntiforme.

 

 

Una rappresentazione del genere non differisce concettualmente dalle curve di livello che si usano in cartografia per la rappresentazione sulle mappe geografiche dell'altitudine dei rilievi rocciosi.

 

Immaginiamo di osservare dall'alto una montagna e di sezionarla con tanti piani orizzontali, ognuno a una diversa altitudine. Supponiamo poi di disegnare su ogni piano il bordo delle pareti della montagna. Ogni linea rappresenta così il confine di una superficie che si trova alla medesima altitudine; più le linee di livello sono vicine, più la variazione di altitudine è rapida e la parete della montagna si fa scoscesa. Al contrario, laddove le linee di livello sono più distanziate, il pendio si fa più pianeggiante.

 

Se proviamo a rileggere il disegno precedente alla luce di questa analogia notiamo che vicino alla carica elettrica, dove le superfici equipotenziali sono più ravvicinate, la variazione di potenziale è maggiore; al contrario, a maggiore distanza dalla cariche le linee delle superfici equipotenziali si fanno via via più distanti, e ciò significa che il potenziale diminuisce sempre meno velocemente.

 

In sintesi tanto più le superfici equipotenziali sono ravvicinate, tanto maggiore è la variazione di potenziale, e viceversa. Da notare che tale proprietà è del tutto analoga a quella che caratterizza le linee di campo: tanto più sono fitte, tanto più il campo elettrico è intenso, e viceversa.

 

 

Vediamo un altro esempio notevole. Cerchiamo di disegnare le superfici equipotenziali di un condensatore piano. Un condensatore piano ha una caratteristica precisa che lo contraddistingue: il campo elettrico al suo interno è uniforme, ossia ha sempre lo stesso valore, la stessa direzione e lo stesso verso in ogni punto dello spazio compreso tra le due armature.

 

Il campo elettrico in questo caso viene rappresentato con linee di campo parallele tra loro e perpendicolari alle due armature, uscenti da quella con carica positiva ed entranti in quella con carica negativa. Poiché il campo elettrico è uniforme, inoltre, le linee di campo vanno rappresentate in modo che siano equidistanti tra loro (perché l'intensità è sempre la stessa).

 

Le superfici equipotenziali in questo caso sono date da tutti i piani paralleli alle due armature, con il potenziale che vede diminuire il proprio valore man mano che ci si allontana dall'armatura positiva per avvicinarsi a quella negativa. La variazione del potenziale in particolare è costante, cosicché le superfici equipotenziali vanno rappresentate uniformemente.

 

 

Superfici equipotenziali di un condensatore piano

Superfici equipotenziali di un condensatore piano.

 

Superfici equipotenziali e conduttori in equilibrio

 

Un caso pratico in cui si parla di superfici equipotenziali è dato dai conduttori in equilibrio elettrostatico, che studieremo in una delle lezioni successive. Un conduttore si dice in equilibrio se la distribuzione delle cariche elettriche rimane costante nel tempo, e in tale condizione tutta la carica elettrica in eccesso si distribuisce soltanto sulla superficie.

 

La superficie di un conduttore in equilibrio elettrostatico è equipotenziale, dunque in ogni punto della superficie il potenziale elettrico assume sempre lo stesso valore. D'altra parte non può che essere così: sappiamo infatti che se tra due punti dello spazio esiste una differenza di potenziale, allora le cariche subiscono una forza che le accelera da un punto all'altro.

 

In particolare le cariche positive si muovono sempre dal punto a potenziale maggiore verso quello a potenziale minore, mentre le cariche elettriche negative si muovono nel verso opposto, pertanto se la superficie del conduttore presentasse diversi valori di potenziale in due diversi punti, le cariche disposte sulla superficie si muoverebbero; questo però sarebbe in contraddizione con la definizione di conduttore in equilibrio elettrostatico (cariche ferme).

 

 


 

Ci fermiamo qui. Nella prossima lezione vedremo come calcolare il potenziale di una sfera carica; per il resto vi ricordiamo che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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