Gradiente del potenziale elettrico

Il gradiente del potenziale elettrico cambiato di segno equivale al campo elettrico. Da tale relazione discende che il campo elettrico punta sempre verso la massima diminuzione del potenziale elettrico, e che il campo elettrico è perpendicolare in ogni punto alle superfici equipotenziali.

 

Avvertenza per i lettori: questa lezione coinvolge argomenti che si affrontano in Analisi 2, ciononostante ne consigliamo la lettura a tutti.

 

Nel corso della spiegazione presenteremo una formula che lega il campo elettrico al gradiente del potenziale elettrico. Tale equazione in realtà ha una valenza matematica ancor più profonda e generale, e richiede parecchi prerequisiti matematici... Motivo per cui non la dimostreremo. Qui ci limiteremo a menzionarla e a usarla per ricavarne alcune osservazioni sul legame tra campo elettrico e potenziale. Tali considerazioni sono alla portata di tutti e saranno fondamentali per lo sviluppo della teoria.

 

D'altro canto chi ha solide basi di Analisi 2 capirà immediatamente da dove discente la formula del gradiente di potenziale. Motivo di più per non soffermarci su ulteriori considerazioni squisitamente matematiche. ;)

 

Campo elettrico come gradiente del potenziale

 

Sappiamo già che la differenza di potenziale tra due punti dello spazio in cui \vec{E} presente un campo elettrico si calcola, in generale, mediante la formula:

 

\Delta V = - \int_A^B{\vec{E} \cdot \vec{ds}}

 

La differenza di potenziale tra due punti \vec{E} è data dall'opposto dell'integrale di linea di seconda specie tra A e B del prodotto scalare tra i vettori campo elettrico \vec{E} e spostamento \vec{ds}.

 

Per calcolare l'integrale dobbiamo quindi conoscere le caratteristiche del vettore campo elettrico in ogni punto della curva che unisce A e B.

 

La precedente formula ci permette di calcolare \Delta V a partire dal campo elettrico, ma esiste un'altra relazione che ci permette di fare il contrario, ossia di calcolare il campo elettrostatico in ogni punto conoscendo il valore del potenziale.

 

Quella che ci interessa è una formula che richiede l'utilizzo del calcolo differenziale, e in particolare dell'operatore di gradiente

 

\vec{E} = - \nabla V

 

la quale stabilisce che il vettore campo elettrico corrisponde al gradiente del potenziale cambiato di segno.

 

Prima di commentare la formula ricordiamo brevemente che cos'è il gradiente. Innanzitutto bisogna sottolineare che il potenziale V è una funzione scalare \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}, infatti associa a ogni punto dello spazio (vettore) uno scalare (numero reale).

 

V:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}\\ \\ V:(x,y,z)\ \to V(x,y,z)

 

Stiamo quindi lavorando con il gradiente di una funzione scalare f(x,y,z). Se tale funzione è continua e derivabile (nel senso che ammette derivate parziali), quale effettivamente è il potenziale V(x,y,z), allora il suo gradiente è il vettore dato da:

 

\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)

 

Fissato un riferimento cartesiano nello spazio il gradiente di una funzione scalare \mathbb{R}^3\to\mathbb{R} è dunque un vettore costituito da tre componenti, ognuna lungo ciascun asse coordinato. Ogni componente è data dalla derivata parziale della funzione calcolata rispetto all'omonima variabile.

 

Se applichiamo quanto visto al potenziale elettrico, possiamo scrivere che il gradiente del potenziale è:

 

\nabla V = \left(\frac{\partial V}{\partial x},\frac{\partial V}{\partial y},\frac{\partial V}{\partial z}\right)

 

Proprietà del gradiente: implicazioni su campo elettrico e potenziale

 

Il gradiente in generale ha alcune interessanti caratteristiche, che vengono ereditate naturalmente nel contesto dei campi elettrici e dei potenziali:

 

1) la prima proprietà è che il gradiente è sempre orientato nella direzione e nel verso di massima crescita della funzione scalare;

 

2) la seconda è che la direzione del gradiente è sempre perpendicolare punto per punto alle superfici in cui la funzione è costante.

 

Torniamo all'equazione principale:

 

\vec{E} = - \nabla V

 

Osserviamo che si tratta di un'equazione vettoriale in cui uguagliamo un vettore (campo elettrico) a un altro vettore (gradiente del potenziale cambiato di segno).

 

Il gradiente del potenziale \nabla V fornisce quindi direzione e verso di massima crescita del potenziale V. Qui però entra in gioco il segno meno che compare al secondo membro dell'equazione: se quel meno non ci fosse, il vettore campo elettrico \vec{E} e il gradiente del potenziale \nabla V avrebbero la stessa direzione e lo stesso verso (paralleli e concordi); il segno meno invece fa sì che il verso sia opposto (paralleli e discordi).

 

In definitiva, poiché il gradiente \nabla V individua il verso di massima crescita del potenziale Vil campo elettrico punta sempre verso la massima diminuzione del potenziale.

 

D'ora in avanti quindi, quando vedremo una qualsiasi rappresentazione nello spazio mediante linee di campo elettrico, leggendo l'orientazione delle linee otterremo immediatamente un'informazione anche sulla direzione e sul verso di decrescita del potenziale elettrico.

 

La seconda caratteristica del gradiente ci permette di concludere che il campo elettrico è sempre perpendicolare in ogni punto alle superfici equipotenziali, ossia alle superfici in cui il potenziale assume lo stesso valore in ogni punto. Allo stesso modo si può dire anche che le superfici equipotenziali sono perpendicolari in ogni punto alle linee di campo elettrico.

 

Di conseguenza, a partire da una rappresentazione di un campo elettrico mediante linee di campo, saremo in grado di rappresentare anche le superfici equipotenziali, e viceversa. ;)

 

 


 

Nella prossima puntata approfondiremo la questione delle superfici equipotenziali, dopodiché passeremo al calcolo del potenziale generato da distribuzioni di carica notevoli. Come sempre, ricordate che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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