Differenza di potenziale in un campo elettrico uniforme

La differenza di potenziale in un campo elettrico uniforme, tra due punti allineati alle linee di campo, si calcola come prodotto tra il modulo del campo elettrico e la distanza tra i due punti; nel caso generale è data dal prodotto scalare tra il vettore campo elettrico e il vettore che congiunge i due punti.

 

Abbiamo studiato le nozioni di potenziale elettrico e di differenza di potenziale, e abbiamo visto come si calcolano esplicitamente nel caso di cariche generatrici puntiformi. In questa lezione e nelle successive vogliamo ricavare delle formule specifiche per configurazioni di carica e/o campi elettrici "notevoli", esattamente come abbiamo fatto per il campo elettrico agli inizi del corso sull'elettricità.

 

Il primo caso è quello relativo ai campi elettrici uniformi, tipicamente associati ai condensatori piani. Oltre a ricavare le formule analizzeremo la relazione tra i valori del potenziale elettrico, l'orientazione delle linee di campo elettrico e il moto delle cariche.

 

Differenza di potenziale in un campo elettrico uniforme - Punti allineati al campo

 

Nella precedente lezione abbiamo definito la differenza di potenziale come rapporto tra:

 

- la differenza di energia potenziale elettrica \Delta U tra i punti A e B, per un sistema costituito da una carica generatrice Q ferma e una carica di prova q soggetta a spostamento, e

 

- la carica di prova q.

 

In una formula

 

\Delta V=V_B-V_A=\frac{\Delta U}{q}=\frac{U_B-U_A}{q}

 

Abbiamo anche dato una definizione in forma integrale in cui compare il campo elettrico

 

\Delta V = V_B-V_A=- \int_A^B{\vec{E} \cdot \vec{ds}}

 

secondo cui la differenza di potenziale tra due punti A e B è data dall'opposto dell'integrale tra A e B del prodotto scalare tra i vettori campo elettrico \vec{E} e spostamento \vec{ds}.

 

È proprio da qui che vogliamo ripartire per calcolare la differenza di potenziale tra due punti in un campo elettrico uniforme.

 

Ricordiamo che con l'aggettivo uniforme si intende che il campo elettrico \vec{E} assume la stessa intensità, la stessa direzione e lo stesso verso in tutti i punti dello spazio. Una carica elettrica puntiforme non genera un campo elettrico uniforme, perché il suo valore diminuisce progressivamente al crescere della distanza; un esempio di campo elettrico uniforme è quello che si crea tra le due armature di un condensatore piano, vale a dire un dispositivo costituito da due distribuzioni di carica di segni opposti piane e parallele.

 

In generale un campo elettrico uniforme viene rappresentato mediante linee di campo elettrico parallele ed equidistanti. La densità delle linee di campo è infatti legata all'intensità del campo stesso: più le linee sono fitte, più il campo elettrico è intenso. Se il valore di un campo uniforme non cambia, è chiaro che non possono esserci zone dello spazio in cui le linee sono più fitte che in altre.

 

Consideriamo dunque un campo elettrico uniforme \vec{E} e due punti allineati alle linee di campo, a una distanza reciproca d. Chiamiamo \vec{d}=\overrightarrow{AB} il vettore che congiunge il punto iniziale A e il punto finale B

 

 

Differenza di potenziale in un campo elettrico uniforme concorde

Differenza di potenziale in un campo elettrico uniforme:
punti allineati alle linee di campo e percorso concorde.

 

 

Per calcolare la differenza di potenziale tra A e B ricorriamo alla formula integrale. Il prodotto scalare prevede che si moltiplichino i moduli dei due vettori per il coseno dell'angolo compreso tra di essi

 

\vec{E} \cdot \vec{ds} = Eds \cos(\theta)=

 

Siamo in presenza di due vettori paralleli, quindi l'angolo può essere \theta=0 oppure \theta=180^{\circ}. Con riferimento alla figura stiamo considerando il caso di un percorso \vec{d} concorde al campo elettrico, dunque \theta=0

 

 = Eds \cos(0) = Eds

 

Il prodotto scalare si traduce quindi nel prodotto dei moduli dei due vettori, e la differenza di potenziale può essere riscritta come

 

\Delta V = V_B-V_A=- \int_A^B{Eds}

 

Poiché ci troviamo in un campo elettrico uniforme l'intensità E è costante e può essere portata fuori dal segno di integrale, dal momento che stiamo integrando rispetto alla variabile s

 

\Delta V = V_B-V_A=- E \int_A^B{ds}


Rimane solamente l'integrale dello spostamento da A a B, che equivale alla distanza tra i due punti

 

\Delta V=V_B-V_A=-Ed\ \ \ (\vec{E}\ //\ \vec{d} \mbox{ e concordi})

 

Da notare che il verso del percorso \vec{d} determina il segno della differenza di potenziale. Il percorso discorde rispetto al campo elettrico \vec{E} si ottiene scambiando i due punti; in tal caso avremmo \theta=180^{\circ}

 

 

Differenza di potenziale in un campo elettrico uniforme discorde

Differenza di potenziale in un campo elettrico uniforme:
punti allineati alle linee di campo e percorso discorde.

 

 

In questo caso otteniamo

 

\Delta V=V_B-V_A=Ed\ \ \ (\vec{E}\ //\ \vec{d} \mbox{ e discordi})

 

La formula per la differenza di potenziale in un campo elettrico uniforme tra due punti allineati al campo è quindi:

 

\Delta V=V_B-V_A=\begin{cases}-Ed<0\ \ \ \mbox{se }\vec{E}\ //\ \vec{d} \mbox{ e concordi}\\ \\ Ed>0\ \ \ \mbox{  se }\vec{E}\ //\ \vec{d} \mbox{ e discordi}\end{cases} 

 

 

Orientamento delle linee di campo elettrico e valori del potenziale

 

Ragioniamo per semplicità nel caso in cui \vec{d} è concorde al campo elettrico \vec{E}. Poiché i due moduli nel prodotto Ed sono positivi, il segno meno della formula fa sì che la differenza di potenziale sia negativa

 

\Delta V=V_B-V_A=-Ed\ \ \ (\vec{E}\ //\ \vec{d} \mbox{ e concordi})

 

dunque che il valore del potenziale in A è maggiore del valore del potenziale in B

 

\Delta V=V_B-V_A<0\ \ \Rightarrow\ \ V_A>V_B

 

Osservando la prima delle due figure notiamo che le linee di campo sono orientate nella direzione e nel verso in cui il potenziale diminuisce.

 

Si giunge alla stessa conclusione anche considerando il caso \vec{d},\vec{E} discordi della seconda figura

 

\Delta V=V_B-V_A=Ed\ \ \ (\vec{E}\ //\ \vec{d} \mbox{ e discordi})

 

qui infatti la differenza di potenziale è positiva

 

\Delta V=V_B-V_A>0\ \ \Rightarrow\ \ V_A<V_B

 

e ancora una volta il campo elettrico è orientato nella direzione e nel verso in cui il potenziale diminuisce.

 

La proprietà che abbiamo ricavato in questo specifico contesto è molto importante e in realtà si può dimostrare in generale: le linee di campo elettrico sono sempre orientate nella direzione e nel verso in cui il potenziale diminuisce. Torneremo su questo aspetto nella prossima lezione. ;)

 

 

Moto spontaneo delle cariche e valori del potenziale

 

Analizziamo l'energia potenziale elettrica e il moto delle cariche all'interno del campo. Sappiamo che

 

\Delta U = q \Delta V

 

ossia che la differenza di energia potenziale elettrica è data dal prodotto della carica di prova q per la differenza di potenziale. Per fissare le idee ragioniamo nel caso \vec{d},\vec{E} concordi e sostituiamo l'espressione di \Delta V

 

\Delta U = - qEd

 

Distinguiamo due casi a seconda del segno della carica di prova q.

 

+) Supponiamo che la carica di prova q sia positiva. In questa eventualità la differenza di energia potenziale elettrica è negativa. Quando q si sposta da A a B l'energia potenziale elettrica diminuisce; di contro la sua energia cinetica aumenta e la carica accelera, in accordo con il principio di conservazione dell'energia.

 

Con riferimento alla prima figura la carica q si muove da A a B per via della forza elettrica, che la spinge lungo quella direzione e in quel verso.

 

In sintesi le cariche positive si muovono sempre spontaneamente verso punti a potenziale minore.

 

-) Se consideriamo una carica di prova q negativa, la differenza di energia potenziale elettrica diventa positiva. Ciò significa che, nel muoversi da A a B, l'energia potenziale elettrica aumenta a discapito dell'energia cinetica. Quest'ultima dunque diminuisce e la carica decelera. In tal caso il moto da A a B non è spontaneo perché q tende a muoversi nel verso opposto.

 

In conclusione le cariche negative si muovono sempre spontaneamente verso punti a potenziale maggiore.

 

Differenza di potenziale in un campo elettrico uniforme - Punti non allineati al campo

 

Cosa cambia se lo spostamento non è parallelo alle linee di campo? Consideriamo la situazione in figura:

 

 

Differenza di potenziale in un campo elettrico uniforme - Caso 2

Differenza di potenziale in un campo elettrico uniforme:
punti non allineati alle linee di campo.

 

 

L'angolo tra i vettori \vec{E} e \vec{ds} non è nullo, di conseguenza i precedenti calcoli non sono più validi. In tal caso si dimostra facilmente che la differenza di potenziale è data da

 

\Delta V=V_B-V_A=\vec{E} \cdot \vec{d}

 

dove con d indichiamo il vettore che ha per modulo la distanza tra A e B e per direzione quella della retta che congiunge i due punti.

 

 


 

La lezione successiva tratterà il gradiente del potenziale elettrico. Nel mentre non dimenticate che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati in dettaglio, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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