Potenziale elettrico e differenza di potenziale

La differenza di potenziale generata da una carica Q tra due punti è definita come rapporto tra la differenza di energia potenziale elettrica, relativa a una carica di prova q soggetta a spostamento tra i due punti, e il valore della carica di prova q. Il potenziale elettrico generato da un carica Q in un punto viene definito considerando nullo il potenziale a distanza infinita.

 

Stiamo per introdurre una grandezza fondamentale nello studio dell'elettricità. In questa lezione definiremo la nozione di potenziale elettrico generato da una carica in un punto e, per farlo, partiremo dalla definizione di differenza di potenziale tra due punti.

 

Ci concentreremo in particolare sul caso delle cariche puntiformi e, oltre a scrivere le relative formule, mostreremo come calcolare il potenziale generato da distribuzioni di cariche puntiformi.

 

Definizione e formula della differenza di potenziale

 

Una delle grandezze più importanti e ricorrenti nella fisica dei fenomeni elettrici è il potenziale elettrico, detto più brevemente potenziale. Attenzione! Non stiamo parlando dell'energia potenziale elettrica, bensì del potenziale elettrico: si tratta di due grandezze diverse che è bene non confondere mai.

 

Per definire il potenziale elettrico in un punto è necessario partire dalla definizione di differenza di potenziale tra due punti A e B (spesso abbreviata con d.d.p. o con ddp).

 

Immaginiamo di avere due cariche elettriche, di cui:

 

- una carica Q, di qualsiasi tipo e supposta ferma, che genera un campo elettrico;

 

- una carica q, puntiforme e da intendersi come carica di prova, che utilizziamo per sondare le caratteristiche del campo \vec{E} generato da Q.

 

Se spostiamo la carica q da un punto A a un punto B è evidente che la forza elettrica esercitata da Q compie del lavoro su di essa. Chiamiamolo L_{AB}. Allo stesso modo tra le configurazioni iniziale e finale delle due cariche sussiste una differenza di energia potenziale elettrica, data da

 

\Delta U=U_B-U_A=-L_{AB}

 

La variazione \Delta U dipende da entrambe le cariche, compresa quella di prova. Non sarebbe più comodo considerare una grandezza dipendente solo dalla carica generatrice? Certamente: possiamo allora definire la variazione di una nuova grandezza considerando il rapporto tra la variazione di energia potenziale elettrica \Delta U e il valore della carica di prova q.

 

La formula della differenza di potenziale \Delta V tra i punti A e B è data da

 

\Delta V=\frac{\Delta U}{q}

 

o, in modo equivalente

 

V_B-V_A=\frac{U_B-U_A}{q}

 

A differenza di \Delta U la variazione \Delta V non dipende dalla carica di prova q ma solamente dalla carica Q che genera il campo elettrico, qualunque essa sia, purché sia ferma.

 

L'unità di misura della differenza di potenziale è il volt (V), in onore di Alessandro Volta, e come si può vedere dalla definizione è dato dal rapporto tra joule e coulomb

 

1\mbox{ V}=1\ \frac{\mbox{J}}{\mbox{C}}

 

In modo equivalente possiamo esprimere il volt in termini di unità di misura fondamentali:

 

1\mbox{ V}=1\ \frac{\mbox{N}\cdot \mbox{m}}{\mbox{C}}

 

Nella precedente lezione abbiamo visto che la differenza di energia potenziale elettrica è uguale all'opposto del lavoro della forza elettrica necessario per muovere la carica q da A a B:

 

\Delta U=U_B-U_A=-L_{AB}

 

Possiamo quindi definire la differenza di potenziale non in funzione della differenza di energia potenziale elettrica, bensì in termini di lavoro:

 

\Delta V=V_B-V_A=-\frac{L_{AB}}{q}

 

Recuperiamo la definizione di lavoro in forma integrale

 

L=q \int_A^{B}{\vec{E} \cdot \vec{ds}}

 

e riscriviamo la differenza di potenziale nel modo seguente

 

\Delta V=- \frac{ q \int_A^{B}{\vec{E} \cdot \vec{ds}}}{q}

 

ossia

 

\Delta V=V_B-V_A=-\int_A^{B}{\vec{E} \cdot \vec{ds}}

 

La differenza di potenziale tra due punti è quindi data dall'opposto dell'integrale, lungo il tratto che congiunge A e B, del prodotto scalare tra i vettori campo elettrico \vec{E} e spostamento \vec{ds}.

 

La differenza di potenziale generata da una carica puntiforme tra due punti assume la seguente forma:

 

\Delta V=V_B - V_A=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{r_B} - \frac{1}{r_A} \right)

 

dove con r_A,r_B abbiamo indicato le distanze tra le cariche q e Q quando q si trova rispettivamente in A,B.

 

Tale formula è molto simile a quella per la differenza di energia potenziale elettrica. Ciò che la contraddistingue è che qui manca la carica q, il che ribadisce la dipendenza di \Delta V dalla sola carica Q che genera il campo. Si tratta di una caratteristica analoga a quella del campo elettrico, anch'esso dipendente dalla sola carica Q e non dalla carica di prova; la forza di Coulomb al contrario dipende da entrambe le cariche.

 

Possiamo riassumere tale proprietà affermando che la differenza di potenziale è una caratteristica del campo elettrico ed è indipendente dalle cariche che vengono introdotte al suo interno.

 

Definizione e formula del potenziale elettrico (potenziale)

 

Fin qui abbiamo sempre parlato di differenza di potenziale tra due punti perché, nella pratica, è la grandezza veramente rilevante nel prosieguo degli studi dei fenomeni elettrici; essa trova infatti ampia applicazione in tutti gli argomenti successivi.

 

È possibile però definire il potenziale in un punto P dello spazio, situato a una generica distanza r dalla carica Q che genera il campo elettrico, stabilendo arbitrariamente che il potenziale sia nullo quando ci si pone a una distanza infinita dalla carica generatrice:

 

V_{\infty}=0

 

Possiamo allora affermare che il potenziale in un punto è uguale al lavoro per unità di carica necessario per spostare la carica dall'infinito fino al punto P. In altri termini, il potenziale in un punto generico P è dato dalla differenza tra il potenziale in P e il potenziale con una distanza infinita tra le due cariche:

 

V_P=V_P - V_{\infty}

 

In accordo con la formula generale, il potenziale generato da una carica qualsiasi in un punto è

 

V_P=-\int_{\infty}^{P}{\vec{E} \cdot \vec{ds}}

 

Nel caso di una carica puntiforme possiamo considerare il potenziale in un punto generico P, posto a distanza r, come la differenza di potenziale tra P e un punto situato a distanza infinita. Il potenziale elettrico generato da una carica puntiforme in un punto è data da

 

V_r=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0}\cdot \frac{1}{r}

 

Calcolo del potenziale elettrico generato da un sistema di cariche puntiformi

 

Come dobbiamo comportarci se vogliamo calcolare il potenziale elettrico generato da un sistema di cariche puntiformi in un punto? Quando si parla di potenziale dobbiamo tenere a mente due aspetti fondamentali:

 

1) il primo è che il potenziale è una grandezza scalare; non ci sono quindi vettori da rappresentare o da sommare, come si faceva ad esempio con i campi elettrici (cfr: principio di sovrapposizione). Se poi abbiamo un sistema costituito da più cariche puntiformi, il potenziale in un certo punto dello spazio sarà semplicemente la somma dei singoli potenziali generati da ciascuna carica, presa singolarmente.

 

Possiamo allora scrivere che il potenziale (nel vuoto) di un sistema di n cariche puntiformi in un punto è dato da:

 

V=\frac{Q_1}{4 \pi \varepsilon_0 r_1} + \frac{Q_2}{4 \pi \varepsilon_0 r_2} + ... + \frac{Q_n}{4 \pi \varepsilon_0 r_n}=\\ \\ \\ =\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\left(\frac{Q_1}{r_1}+\frac{Q_2}{r_2}+...+\frac{Q_n}{r_n}\right)

 

Più convenientemente possiamo riscrivere il tutto ricorrendo al simbolo di sommatoria:

 

V=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\sum_{k=1}^{n}{\frac{Q_k}{r_k}}

 

2) Il secondo aspetto è che il potenziale dipende solo dalla carica che genera il campo elettrico e non dalla carica di prova che utilizziamo per sondare le caratteristiche del campo. Ciò significa che ci troveremo a calcolare il potenziale elettrico in punti dello spazio in cui non è presente alcuna carica.

 

Esempi di calcolo del potenziale elettriche con sistemi di cariche puntiformi

 

Vediamo alcuni esempi pratici. Facciamo riferimento alla seguente figura e calcoliamo il potenziale elettrico nel punto P sapendo che:

 

Q_1=4\ \mu\mbox{C},\ Q_2=-2\ \mu\mbox{C}\\ \\ r_1=22\mbox{ cm},\ r_2=8\mbox{ cm}.

 

 

Potenziale elettrico con due cariche

Calcolo del potenziale elettrico
di un sistema di 2 cariche in un punto.

 

 

Cominciamo col calcolare il potenziale in P dovuto alla carica Q_1. Per farlo abbiamo bisogno della distanza tra la carica e il punto (ricordiamoci di convertire i centimetri in metri):

 

d=r_1 - r_2=\\ \\ =0,22\mbox{ m} - 0,08\mbox{ m}=0,14\mbox{ m}

 

Il potenziale in P dovuto alla carica Q_1 è (attenzione ai microcoulomb; il prefisso micro del Sistema Internazionale sta per 10-6):

 

V_1=\frac{Q_1}{4 \pi \varepsilon_0 d}=\\ \\ \\ \simeq \frac{4 \cdot 10^{-6}\mbox{ C}}{4 \pi \cdot \left(8,85 \cdot 10^{-12}\ \frac{\mbox{C}^2}{\mbox{N}\cdot\mbox{m}^2}\right) \cdot (0,14\mbox{ m})}\simeq 2,57 \cdot 10^{5}\mbox{ V}

 

Allo stesso modo calcoliamo il potenziale dovuto alla carica Q_2:

 

V_2=\frac{Q_2}{4 \pi \varepsilon_0 r_2}=\\ \\ \\ \simeq \frac{-2 \cdot 10^{-6}\mbox{ C}}{4 \pi \cdot \left(8,85 \cdot 10^{-12}\ \frac{\mbox{C}^2}{\mbox{N}\cdot\mbox{m}^2}\right) \cdot (0,08\mbox{ m})}\simeq -2,25 \cdot 10^{5}\mbox{ V}

 

Non ci resta che sommare i due potenziali, ciascuno con il proprio segno:

 

V_{tot}=V_1 + V_2=\\ \\ \simeq 2,57 \cdot 10^{5}\mbox{ V} - 2,25 \cdot 10^{5}\mbox{ V}=0,32 \cdot 10^{5}\mbox{ V}

 

 

Esempio - Potenziale di un sistema di due cariche in un punto non allineato

 

Vediamo un altro esempio:

 

Q_1=5,6\ \mu\mbox{C},\ Q_2=1,8\ \mu\mbox{C}\\ \\ r_1=7\mbox{ cm},\ r_2=13\mbox{ cm}

 

 

Calcolo del potenziale elettrico

Potenziale elettrico di un sistema di due cariche
in un punto non allineato.

 

 

Procediamo come prima e calcoliamo il potenziale dovuto alla carica Q_1. Per la distanza tra la carica e il punto usiamo il teorema di Pitagora

 

i=\sqrt{r_1^2 + r_2^2}=\\ \\ =\sqrt{(0,07\mbox{ m})^2 + (0,13\mbox{ m})^2}\simeq 0,15\mbox{ m}

 

Di conseguenza:

 

V_1=\frac{Q_1}{4 \pi \varepsilon_0 i}=\\ \\ \\ \simeq\frac{5,6 \cdot 10^{-6}\mbox{ C}}{4 \pi \cdot \left(8,85 \cdot 10^{-12}\ \frac{\mbox{C}^2}{\mbox{N}\cdot\mbox{m}^2}\right) \cdot (0,15\mbox{ m})}\simeq 3,36 \cdot 10^{5}\mbox{ V}

 

Il potenziale V_2 è invece:

 

V_2=\frac{Q_2}{4 \pi \varepsilon_0 r_2}=\\ \\ \\ \simeq \frac{1,8 \cdot 10^{-6}\mbox{ C}}{4 \pi \cdot \left(8,85 \cdot 10^{-12}\ \frac{\mbox{C}^2}{\mbox{N}\cdot\mbox{m}^2}\right) \cdot (0,13\mbox{ m})}\simeq 1,24 \cdot 10^{5}\mbox{ V}

 

Il potenziale totale in P è dunque:

 

V_{tot}=V_1 + V_2=\\ \\ \simeq 3,36 \cdot 10^{5}\mbox{ V} + 1,24 \cdot 10^{5}\mbox{ V}=4,60 \cdot 10^{5}\mbox{ V}

 

 

Esempio - Potenziale elettrico in un punto con un sistema di tre cariche

 

In questo terzo esempio vogliamo calcolare il potenziale elettrico nel punto medio della base di un triangolo isoscele, ai vertici del quale sono collocate tre cariche:

 

Q_1=2,78\ \mu\mbox{C},\ Q_2=-1,59\ \mu\mbox{C},\ Q_3=1,84\ \mu\mbox{C}

 

La base misura b=0,18\mbox{ m} e il lato obliquo l=0,27\mbox{ m}.

 

 

Potenziale elettrico di un sistema di tre cariche

Potenziale elettrico di un sistema di tre cariche in un punto.

 

 

Per calcolare il potenziale in P dovuto a Q_1 abbiamo bisogno dell'altezza del triangolo isoscele, che possiamo calcolare con il teorema di Pitagora tra il lato obliquo e metà della base:

 

h=\sqrt{l^2 - \left(\frac{b}{2} \right)^2}=\\ \\ \\ =\sqrt{(0,27\mbox{ m})^2 - (0,09\mbox{ m})^2}\simeq 0,25\mbox{ m}

 

Dunque:

 

V_1=\frac{Q_1}{4 \pi \varepsilon_0 h}=\\ \\ \\ \simeq \frac{2,78 \cdot 10^{-6}\mbox{ C}}{4 \pi \cdot \left(8,85 \cdot 10^{-12}\ \frac{\mbox{C}^2}{\mbox{N}\cdot\mbox{m}^2}\right) \cdot (0,25\mbox{ m})}\simeq 10^{5}\mbox{ V}\\ \\ \\ V_2=\frac{Q_2}{4 \pi \varepsilon_0 \left(\frac{b}{2}\right)}=\\ \\ \\ \simeq \frac{-1,59 \cdot 10^{-6}\mbox{ C}}{4 \pi \cdot \left(8,85 \cdot 10^{-12}\ \frac{\mbox{C}^2}{\mbox{N}\cdot\mbox{m}^2}\right) \cdot (0,09\mbox{ m})}\simeq- 1,59 \cdot 10^{5}\mbox{ V}\\ \\ \\ V_3=\frac{Q_3}{4 \pi \varepsilon_0 \left(\frac{b}{2}\right)}=\\ \\ \\ \simeq \frac{1,84 \cdot 10^{-6}\mbox{ C}}{4 \pi \cdot \left(8,85 \cdot 10^{-12}\ \frac{\mbox{C}^2}{\mbox{N}\cdot\mbox{m}^2}\right) \cdot (0,09\mbox{ m})}\simeq 1,84 \cdot 10^{5}\mbox{ V}

 

Il potenziale totale in P è dato dalla somma dei tre contributi:

 

V_{tot}=V_1 + V_2 + V_3=\\ \\ \simeq 10^{5}\mbox{ V} - 1,59 \cdot 10^{5}\mbox{ V} + 1,84 \cdot 10^{5}\mbox{ V}=1,25 \cdot 10^{5}\mbox{ V}

 

Come avrete notato in esercizi di questo tipo bisogna procurarsi di volta in volta, mediante opportune osservazioni di carattere geometrico, le giuste distanze tra le cariche e il punto in cui si intende calcolare il potenziale.

 

 

Esercizio - Potenziale elettrico nullo

 

Risolviamo un esercizio con una richiesta diversa. Sappiamo che

 

Q_1=3,71\ \mu\mbox{C},\ Q_2=-2,58\ \mu\mbox{C},\ r=25\mbox{ cm}

 

Vogliamo sapere a quale distanza da Q_2 deve trovarsi il punto P per fare in modo che il potenziale elettrico sia nullo in tale punto.

 

 

Esercizio sul potenziale elettrico

Posizione per l'annullamento del potenziale elettrico.

 

 

Affinché si possa realizzare la condizione di annullamento del potenziale le due cariche devono avere segni opposti, in modo che anche i rispettivi potenziali siano discordi tra loro.

 

Chiamiamo x la distanza tra Q_2 e P, cosicché la distanza tra Q_1 e P si può esprimere come r-x, e impostiamo la seguente condizione:

 

V_{tot}=0\ \to\ V_1 + V_2=0

 

Sostituiamo ai due potenziali le rispettive formulazioni:

 

\frac{Q_1}{4 \pi \varepsilon_0 (r - x)} + \frac{Q_2}{4 \pi \varepsilon_0 x}=0

 

da cui

 

\frac{Q_1}{4 \pi \varepsilon_0 (r - x)}=- \frac{Q_2}{4 \pi \varepsilon_0 x}

 

Semplifichiamo il semplificabile

 

\frac{Q_1}{r - x}=- \frac{Q_2}{x}

 

e riscriviamo l'equazione in favore del termine incognito

 

Q_1x=- Q_2 (r - x)\\ \\ Q_1x=- Q_2r + Q_2x\\ \\ Q_1x - Q_2x=- Q_2r\\ \\ x \left( Q_1 - Q_2 \right)=- Q_2r\\ \\ x=- \frac{Q_2}{Q_1 - Q_2} r

 

ossia

 

x=\frac{Q_2}{Q_2 - Q_1} r

 

Siamo giunti alla formula finale. Sostituiamo i dati e abbiamo concluso:

 

x=\frac{- 2,58 \cdot 10^{-6}\mbox{ C}}{ \left(- 2,58 \cdot 10^{-6} - 3,71 \cdot 10^{-6} \right)\mbox{ C} } \cdot (0,25\mbox{ m})\simeq 0,103\mbox{ m}

 

 


 

Qui abbiamo finito, ma non scappate! Nelle lezioni successive amplieremo il discorso e vedremo come calcolare il potenziale generato da distribuzioni di carica continue, analogamente a quanto fatto con i campi elettrici:

 

- potenziale generato da una sfera;

 

- potenziale generato da un anello;

 

- potenziale generato da un disco.

 

Ancor prima vogliamo studiare la differenza di potenziale in un campo elettrico uniforme, il caso più semplice da trattare: ne parliamo nella prossima lezione.

 

Come di consueto vi ricordiamo che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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