Energia potenziale elettrica

L'energia potenziale elettrica di una carica ferma è l'energia potenziale associata alla forza elettrica esercitata dalla carica. In termini di variazione viene definita come l'opposto del lavoro della forza elettrica esercitata da una carica Q per portare una carica q da un punto A a un punto B.

 

Nella precedente lezione abbiamo calcolato il lavoro della forza elettrica e abbiamo visto che, nell'ipotesi di una carica generatrice ferma, non dipende dal cammino percorso. In altri termini, che la forza elettrica è conservativa. Ciò ci consente di definire l'energia potenziale associata ad essa, ossia in questo caso l'energia potenziale elettrica.

 

Come ormai sappiamo la definizione dell'energia potenziale viene data in termini di variazione e per mezzo del lavoro. Qui procederemo per passi, fermo restando che dovremo sempre supporre che le cariche generatrici siano ferme (altrimenti si perde la conservatività del campo elettrico):

 

- partiremo con la definizione e la formula per la variazione di energia potenziale elettrica nel caso generale, ossia considerando una carica generatrice Q qualsiasi e una carica di prova q soggetta a spostamento. Fatto ciò, la espliciteremo nel caso di una carica generatrice Q puntiforme;

 

- definiremo l'energia potenziale elettrica associata a una configurazione (dunque non più come differenza) e ne ricaveremo una formula esplicita per un sistema di due cariche puntiformi Q e q;

 

- mostreremo infine come calcolare l'energia potenziale elettrica per un sistema costituito da tre o più cariche puntiformi.

 

Definizione e formula della variazione di energia potenziale elettrica

 

Sappiamo che la forza elettrostatica è una forza conservativa, cioè che il lavoro da essa compiuto dipende soltanto dalla posizione iniziale A e da quella finale B e che non dipende dal particolare percorso seguito per andare da A a B.

 

La Dinamica ci insegna che questa caratteristica ha un'importante conseguenza: per ogni forza conservativa è possibile definire un'energia potenziale. È quello che succede ad esempio nel caso di altre due forze conservative notevoli:

 

- la forza di gravità, per la quale avevamo definito l'energia potenziale gravitazionale;

 

- la forza elastica, per la quale avevamo definito l'energia potenziale elastica.

 

Proviamo a fare la stessa cosa anche con la forza elettrostatica, e dunque a calcolare l'energia potenziale elettrica.

 

Per cominciare definiamo la differenza di energia potenziale elettrica di un sistema di due cariche, di cui una ferma (carica generatrice Q qualsiasi) e l'altra soggetta a spostamento tra due punti A e B (carica q puntiforme):

 

\Delta U=U_B-U_A=-L_{AB}

 

La differenza di energia potenziale elettrica tra le configurazioni A e B è uguale all'opposto del lavoro compiuto dalla forza elettrica per spostare la carica q dal punto A al punto B.

 

Si potrebbe anche dire che \Delta U=U_B-U_A è data dal lavoro speso dalla forza elettrica per spostare la carica q da B ad A; in questo caso bisognerebbe togliere il meno dalla formula, in quanto L_{AB}=-L_{BA}.

 

 

Differenza di energia potenziale elettrica

Differenza di energia potenziale elettrica
come opposto del lavoro della forza elettrica.

 

 

Ragioniamo nel caso di cariche puntiformi così da poter esplicitare i calcoli. La carica Q è quella ferma che genera il campo, mentre q è la carica di prova.

 

Trovandosi immersa nel campo elettrico di Q, la carica q subisce una forza di Coulomb attrattiva o repulsiva a seconda dei segni delle due cariche. Se spostiamo la carica q dal punto A al punto B la forza elettrica compie del lavoro lungo il percorso: tale lavoro cambiato di segno corrisponde alla variazione di energia potenziale elettrica del sistema.

 

Nella precedente lezione abbiamo ricavato che il lavoro che la forza elettrica compie da A a B è dato da:

 

L_{AB}=\frac{qQ}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{r_A} - \frac{1}{r_B} \right)

 

Ne segue che:

 

\Delta U=- L_{AB}=\\ \\ =- \frac{qQ}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{r_A} - \frac{1}{r_B}\right)=\\ \\ \\ =\frac{qQ}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{r_B} - \frac{1}{r_A} \right)

 

e dunque la formula per la differenza di energia potenziale elettrica in un sistema di due cariche puntiformi, di cui una ferma Q e una soggetta a spostamento q tra due punti A e B, è

 

\Delta U=U_B-U_A=\frac{qQ}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{r_B} - \frac{1}{r_A} \right)

 

Definizione e formula dell'energia potenziale elettrica

 

C'è un modo per stabilire qual è l'energia potenziale elettrica per una precisa configurazione di cariche nello spazio, dunque senza dover ragionare in termini di variazione?

 

In altri termini ci domandando se, date due cariche puntiformi ferme poste a una certa distanza reciproca, è possibile determinarne l'energia potenziale elettrica in quella configurazione senza dover considerare lo spostamento di una carica.

 

La risposta è affermativa: possiamo dare una definizione di energia potenziale elettrica partendo dalla differenza di energia potenziale elettrica, e immaginando di portare una carica q da un punto situato a distanza iniziale infinita da Q fino a una distanza finale r

 

r_A=+\infty\ \ ;\ \ r_B=r

 

La variazione \Delta U è

 

\Delta U = U_r - U_{\infty}

 

L'energia potenziale per distanze infinite è uguale a zero per definizione, per cui la formula dell'energia potenziale elettrica di un sistema di due cariche puntiformi ferme è data da

 

U_r=\frac{qQ}{4 \pi \varepsilon_0}\cdot \frac{1}{r}

 

Principali proprietà dell'energia potenziale elettrica

 

1) L'energia potenziale elettrica è inversamente proporzionale alla distanza reciproca tra le due cariche. Ciò significa in particolare che all'aumentare della distanza, l'energia diminuisce.

 

2) In quanto energia U è ovviamente una grandezza scalare.

 

3) Poiché nella formula di U compare il prodotto delle due cariche, l'energia potenziale elettrica può essere positiva o negativa a seconda dei segni di q e Q. Se le due cariche hanno lo stesso segno allora U è positiva; se invece le due cariche hanno segni opposti, U è negativa.

 

Nel primo caso le due cariche si respingono: l'energia potenziale elettrica è uguale al lavoro che bisognerebbe compiere per prendere le due cariche, poste inizialmente a distanza infinita, e avvicinarle fino al raggiungimento della distanza r. L'energia potenziale assume dunque il significato di energia immagazzinata nel sistema e pronta a liberarsi non appena ve ne sia la possibilità. Se le cariche non sono vincolate e vengono lasciate libere, si respingeranno e si allontaneranno all'infinito l'una dall'altra, accelerando e trasformando così l'energia potenziale elettrica iniziale in energia cinetica. Una volta raggiunta una distanza reciproca infinita, le due cariche avranno convertito integralmente tutta l'energia potenziale iniziale in energia cinetica.

 

Nel secondo caso, invece, le due cariche si attraggono e l'energia potenziale elettrica è uguale al lavoro che bisognerebbe spendere per allontanarle forzatamente fino a una distanza reciproca infinita. Il segno meno dell'energia potenziale indica un legame, vale a dire la tendenza delle due cariche ad attrarsi e ad avvicinarsi l'un l'altra.

 

4) Si può tracciare un grafico della funzione U=U(r) ponendo U sull'asse delle y e la distanza r sull'asse delle x

 

 

Energia potenziale elettrica

Energia potenziale elettrica di un sistema di cariche
di segni concordi (repulsione).

 

 

energia-potenziale-elettrica-2

Energia potenziale elettrica di un sistema di cariche
di segni discordi (attrazione).

 

 

In entrambi i casi il grafico di U(r) corrisponde a un ramo di iperbole equilatera riferita agli asintoti, e ci mostra come l'energia potenziale elettrica tende ad annullarsi per grandi distanze. U invece tende a valori infiniti quando la distanza tende a zero.

 

\lim_{r\to 0^+}U(r)=+\infty\\ \\ \lim_{r\to +\infty}U(r)=0

 

Osserviamo infine che le formule qui utilizzate, in cui compare la costante dielettrica del vuoto \varepsilon_0, sono valide solo quando le cariche sono poste nel vuoto. Nel caso in cui fossero poste all'interno di un materiale basterebbe sostituire \varepsilon_0 con la costante dielettrica assoluta del mezzo \varepsilon_m. Quest'ultima è data dal prodotto della costante dielettrica del vuoto \varepsilon_0 e della costante dielettrica relativa del mezzo \varepsilon_{r,m}.

 

\varepsilon_m=\varepsilon_{r,m}\varepsilon_0

 

Calcolo dell'energia potenziale elettrica di un sistema di cariche puntiformi

 

Nella pratica come si calcola l'energia potenziale di un sistema di cariche puntiformi? Il caso più semplice è quello in cui si hanno due sole cariche poste a una certa distanza r. In tal caso è sufficiente applicare la formula dell'energia potenziale elettrica:

 

U=\frac{Q_1Q_2}{4 \pi \varepsilon_0 r}

 

Supponiamo ad esempio di avere due cariche Q_1=4,2\ \mu\mbox{C},\ Q_2=-5,1\ \mu\mbox{C} poste nel vuoto a una distanza reciproca r=12\mbox{ cm}. Ricordiamo che il prefisso micro (μ) nel Sistema Internazionale sostituisce la potenza 10-6, dunque le due cariche sono espresse in microcoulomb, e che i centimetri vanno convertiti in metri.

 

L'energia potenziale elettrica del sistema è:

 

U\simeq \frac{(4,2 \cdot 10^{-6}\mbox{ C}) \cdot \left( - 5,1 \cdot 10^{-6} \mbox{ C}\right)}{4 \pi \cdot \left( 8,85 \cdot 10^{-12}\ \frac{\mbox{ C}^2}{\mbox{N}\cdot \mbox{m}^2}\right) \cdot (0,12\mbox{ m})}\simeq - 1,6\mbox{ J}

 

Trattandosi di un'energia, l'unità di misura dell'energia potenziale elettrica è sempre il joule. Notiamo inoltre che il risultato è negativo: non c'è nulla di strano, in quanto l'energia potenziale elettrica dipende da due cariche e in particolare dai loro segni.

 

Supponiamo ora di immergere le due cariche nell'acqua. Poiché non siamo più nel vuoto dobbiamo sostituire la costante \varepsilon_0 con la costante dielettrica assoluta del mezzo \varepsilon_m, che a sua volta è data

 

\varepsilon_m=\varepsilon_{r,m}\varepsilon_0

 

Nel caso dell'acqua la costante dielettrica relativa del mezzo vale \varepsilon_{r,H_2O}\simeq 80 (cfr: tabella delle costanti dielettriche), per cui:

 

U=\frac{Q_1Q_2}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_{r,m} r}=\\ \\ \\ \simeq \frac{(4,2 \cdot 10^{-6}\mbox{ C}) \cdot \left( - 5,1 \cdot 10^{-6}\mbox{ C} \right)}{4 \pi \cdot \left(8,85 \cdot 10^{-12}\ \frac{\mbox{ C}^2}{\mbox{N}\cdot \mbox{m}^2}\right) \cdot 80 \cdot (0,12\mbox{ m})}\simeq - 2 \cdot 10^{-2}\mbox{ J}

 

 

Energia potenziale elettrica con tre o più cariche

 

Come dovremmo comportarci se avessimo un sistema formato da più di due cariche? In tale eventualità dovremmo calcolare l'energia potenziale per ogni possibile coppia e successivamente sommare tutti i valori di energia, tenendo conto dei segni.

 

Esaminiamo ad esempio la seguente configurazione costituita da tre cariche:

 

Q_1=3,2\ \mu\mbox{C},\ Q_2=-6,5\ \mu\mbox{C},\ Q_3=4,7\ \mu\mbox{C}\\ \\ r_1=8\mbox{ cm},\ r_2=11\mbox{ cm}

 

 

Energia potenziale elettrica di un sistema di 3 cariche

Energia potenziale elettrica di un sistema di tre cariche.

 

 

 

Dobbiamo calcolare l'energia per ciascuna delle tre possibili coppie di cariche, considerando di volta in volta la giusta distanza. Cominciamo con le coppie 1-2 e 2-3:

 

U_{1,2}=\frac{Q_1Q_2}{4 \pi \varepsilon_0 r_1}=\\ \\ \\ \simeq\frac{(3,2 \cdot 10^{-6}\mbox{ C}) \cdot \left( - 6,5 \cdot 10^{-6}\mbox{ C} \right)}{4 \pi \cdot \left( 8,85 \cdot 10^{-12}\ \frac{\mbox{ C}^2}{\mbox{N}\cdot \mbox{m}^2}\right) \cdot (0,08\mbox{ m})}\simeq -2,34\mbox{ J}\\ \\ \\ U_{2,3}=\frac{Q_2Q_3}{4 \pi \varepsilon_0 r_2}=\\ \\ \\ \simeq\frac{( - 6,5 \cdot 10^{-6}\mbox{ C})\cdot (4,7 \cdot 10^{-6}\mbox{ C})}{4 \pi \cdot \left( 8,85 \cdot 10^{-12}\ \frac{\mbox{ C}^2}{\mbox{N}\cdot \mbox{m}^2}\right) \cdot (0,11\mbox{ m})}\simeq -2,50\mbox{ J}

 

Per la coppia 1-3 dobbiamo prima determinare la distanza r_3 tra le due cariche; il teorema di Pitagora viene in nostro soccorso

 

r_3=\sqrt{r_1^2 + r_2^2}=\\ \\ =\sqrt{(0,08\mbox{ m})^2 + (0,11\mbox{ m})^2}\simeq 0,14\mbox{ m}

 

A questo punto possiamo calcolare l'energia potenziale elettrica anche per la coppia 1-3:

 

U_{1,3}=\frac{Q_1Q_3}{4 \pi \varepsilon_0 r_2}=\\ \\ \\ \simeq \frac{(3,2 \cdot 10^{-6}\mbox{ C}) \cdot (4,7 \cdot 10^{-6}\mbox{ C})}{4 \pi \cdot \left( 8,85 \cdot 10^{-12}\ \frac{\mbox{ C}^2}{\mbox{N}\cdot \mbox{m}^2}\right) \cdot (0,14\mbox{ m})}\simeq 0,99\mbox{ J}

 

L'energia potenziale elettrica totale del sistema è data dalla somma di tutte le energie che abbiamo calcolato per ciascuna coppia di cariche:

 

U_{tot}=U_{1,2} + U_{2,3} + U_{1,3}=\\ \\ \simeq (- 2,34 - 2,50 + 0,99)\mbox{ J}=- 3,85\mbox{ J}

 

 

Altro esempio - Energia potenziale di un sistema di 4 cariche puntiformi

 

Consideriamo ora una configurazione di quattro cariche disposte ai vertici di un rettangolo.

 

Q_1=5,1\ \mu\mbox{C},\ Q_2=-2,5\ \mu\mbox{C}\\ \\ Q_3=7,3\ \mu\mbox{C},\ Q_4=-4,6\ \mu\mbox{C}\\ \\ r_1=9\mbox{ cm},\ r_2=14\mbox{ cm}

 

 

Energia potenziale elettrica di un sistema di 4 cariche

Energia potenziale elettrica di un sistema di quattro cariche.

 

 

Calcoliamo la misura della diagonale del rettangolo, che corrisponde alla distanza tra le cariche 1-3 e 2-4.

 

d=\sqrt{r_1^2 + r_2^2}=\\ \\ =\sqrt{(0,09\mbox{ m})^2 + (0,14\mbox{ m})^2}\simeq 0,17\mbox{ m}

 

Avremo:

 

U_{1,2}=\frac{Q_1Q_2}{4 \pi \varepsilon_0 r_1}=\\ \\ \\ \simeq \frac{(5,1 \cdot 10^{-6}\ \mbox{C}) \cdot \left( - 2,5 \cdot 10^{-6}\ \mbox{C} \right)}{4 \pi \cdot \left( 8,85 \cdot 10^{-12}\ \frac{\mbox{ C}^2}{\mbox{N}\cdot \mbox{m}^2}\right) \cdot (0,09\mbox{ m})}\simeq -1,27\mbox{ J}\\ \\ \\ U_{2,3}=\frac{Q_2Q_3}{4 \pi \varepsilon_0 r_2}=\\ \\ \\ \simeq \frac{\left(- 2,5 \cdot 10^{-6}\ \mbox{C} \right)\cdot (7,3 \cdot 10^{-6}\ \mbox{C})}{4 \pi \cdot \left( 8,85 \cdot 10^{-12}\ \frac{\mbox{ C}^2}{\mbox{N}\cdot \mbox{m}^2}\right) \cdot (0,14\mbox{ m})}\simeq-1,17\mbox{ J}\\ \\ \\ U_{3,4}=\frac{Q_3Q_4}{4 \pi \varepsilon_0 r_1}=\\ \\ \\ \simeq \frac{(7,3 \cdot 10^{-6}\ \mbox{C}) \cdot \left(- 4,6 \cdot 10^{-6}\ \mbox{C} \right)}{4 \pi \cdot \left( 8,85 \cdot 10^{-12}\ \frac{\mbox{ C}^2}{\mbox{N}\cdot \mbox{m}^2}\right) \cdot (0,09\mbox{ m})}\simeq -3,35\mbox{ J}\\ \\ \\ U_{1,4}=\frac{Q_1Q_4}{4 \pi \varepsilon_0 r_1}=\\ \\ \\ \simeq \frac{(5,1 \cdot 10^{-6}\ \mbox{C}) \cdot \left( - 4,6 \cdot 10^{-6}\ \mbox{C} \right)}{4 \pi \cdot \left( 8,85 \cdot 10^{-12}\ \frac{\mbox{ C}^2}{\mbox{N}\cdot \mbox{m}^2}\right) \cdot (0,14\mbox{ m})}\simeq -1,51\mbox{ J}\\ \\ \\ U_{2,4}=\frac{Q_2Q_4}{4 \pi \varepsilon_0 d}=\\ \\ \\ \simeq \frac{\left(- 2,5 \cdot 10^{-6}\ \mbox{C} \right) \cdot \left( - 4,6 \cdot 10^{-6}\ \mbox{C}\right)}{4 \pi \cdot \left( 8,85 \cdot 10^{-12}\ \frac{\mbox{ C}^2}{\mbox{N}\cdot \mbox{m}^2}\right) \cdot (0,17\mbox{ m})}\simeq 0,61\mbox{ J}\\ \\ \\ U_{1,3}=\frac{Q_1Q_3}{4 \pi \varepsilon_0 d}=\\ \\ \\ \simeq \frac{5,1 \cdot 10^{-6}\ \mbox{C}) \cdot (7,3 \cdot 10^{-6}\ \mbox{C})}{4 \pi \cdot \left( 8,85 \cdot 10^{-12}\ \frac{\mbox{ C}^2}{\mbox{N}\cdot \mbox{m}^2}\right) \cdot (0,17\mbox{ m})}\simeq 1,97\mbox{ J}

 

L'energia totale è dunque:

 

U_{tot}=U_{1,2} + U_{2,3} + U_{3,4} + U_{1,4} + U_{2,4} + U_{1,3}= \\ \\ \simeq (- 1,27 - 1,17 - 3,35 - 1,51 + 0,61 + 1,97)\mbox{ J}=- 4,72\mbox{ J} 

 

 


 

La prossima lezione sarà interamente dedicata al concetto di potenziale elettrico, una nozione che ci accompagnerà costantemente nel prosieguo dello studio dei fenomeni elettrici... E non solo. ;) Nel frattempo vi ricordiamo che, in caso di dubbi o per eventuali esercizi svolti e spiegati nel dettaglio, potete fare affidamento alla barra di ricerca interna. :)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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