Lavoro della forza elettrica

Con lavoro di una forza elettrica, o equivalentemente lavoro di un campo elettrico, si intende il lavoro da compiere per spostare tra due punti una carica q immersa in un campo elettrico generato da un'altra carica Q. Se la carica generatrice Q è ferma il lavoro non dipende dal percorso, e dunque la forza elettrica che essa esercita è conservativa.

 

Proseguiamo con l'analisi dei fenomeni elettrici. Memori sin dagli studi della Dinamica della relazione che lega il concetto di forza a quello di lavoro, in questa lezione ricaveremo la formula del lavoro della forza elettrica. Il calcolo ci permetterà di mostrare che la forza elettrica è conservativa e che tale è anche il campo elettrico, purché la carica generatrice sia ferma.

 

Il risultato ha valenza generale, ma per semplificare la spiegazione ci concentreremo sulla forza elettrica esercitata da una carica puntiforme ferma su un'altra carica puntiforme che si sposta tra due punti.

 

Premesse per il lavoro della forza elettrica

 

Come sappiamo sin dagli studi di Dinamica, se una forza produce uno spostamento allora si parla di lavoro. Cosa succede nel caso dei fenomeni elettrici, e come si caratterizza il lavoro della forza elettrica?

 

Partiamo da un breve ripasso. In Meccanica il lavoro di una forza è definito come il prodotto scalare tra il vettore forza \vec{F} e il vettore spostamento \vec{s}, purché lo spostamento venga effettuato lungo un percorso rettilineo

 

L = \vec{F} \cdot \vec{s}

 

Nel caso più generale il lavoro è dato dall'integrale del prodotto scalare della forza \vec{F} per lo spostamento infinitesimo \vec{ds} sul percorso tra i punti A e B

 

L = \int_A^B\vec{F} \cdot \vec{ds}

 

Sappiamo infine che una forza conservativa è tale se il lavoro compiuto da essa per spostare un corpo da un punto iniziale A a un punto finale B non dipende dal percorso seguito.

 

Un esempio di forza conservativa è dato dalla forza di gravità. Per avere un'idea concreta, il lavoro che essa compie per far cadere verticalmente un oggetto che si trova su una mensola a 2 metri di altezza dal pavimento equivale al lavoro compiuto per far scivolare lo stesso oggetto su un piano inclinato che parte dalla mensola e che raggiunge il pavimento. Abbiamo seguito due percorsi diversi che però congiungono i medesimi punti di partenza e di arrivo: poiché la forza di gravità è una forza conservativa, il lavoro non cambia.

 

Formula e calcolo del lavoro della forza elettrica

 

Possiamo affermare che anche la forza di Coulomb (o più in generale la forza elettrica) è conservativa, infatti se la carica generatrice è ferma risulta che il lavoro della forza elettrica non dipende dal cammino percorso.

 

Consideriamo due cariche elettriche Q e q, di cui:

 

- Q ferma e non necessariamente puntiforme;

 

- q puntiforme e soggetta a spostamento tra due punti A e B.

 

La carica Q esercita su q una forza \vec{F} attrattiva o repulsiva a seconda dei loro segni, e poiché q si sposta tra A e B ne consegue che Q compie necessariamente del lavoro su di essa.

 

Per dimostrare che \vec{F} è conservativa nel caso generale ci basterebbe applicare la definizione di lavoro; facendo i calcoli otterremo un'espressione in cui intervengono solamente la posizione iniziale e la posizione finale della seconda carica, indipendentemente dal tragitto che ha percorso.

 

In generale la forza elettrica può essere scritta in funzione del campo elettrico secondo la relazione:

 

\vec{F} = q \vec{E}

 

dove con q indichiamo la carica di prova. Dimostrare che la forza elettrica è conservativa e che il suo lavoro non dipende dal cammino percorso equivale di fatto a dimostrare che il campo elettrico è conservativo (in questo contesto si parla di lavoro del campo elettrico). Ricordiamo infatti che non solo le forze possono essere conservative ma, più in generale, possono essere conservativi i campi vettoriali, quindi è corretto parlare di campo elettrico conservativo.

 

Riprendiamo la definizione generale di lavoro in forma integrale e sostituiamo alla forza generica l'espressione della forza elettrica in termini di campo elettrico

 

L = \int_A^B q \vec{E} \cdot \vec{ds}

 

Da qui ricaviamo la formula per il lavoro della forza elettrica esercitata da una carica Q su una carica di prova q che si sposta tra due punti A e B

 

L = q \int_A^B \vec{E} \cdot \vec{ds}

 

A titolo didattico dimostriamo la conservatività del campo elettrico in un caso particolare, e supponiamo che:

 

- la carica Q che genera il campo elettrico sia ferma e puntiforme;

 

- la carica q che si sposta tra i punti A e B sia puntiforme.

 

Con queste ipotesi possiamo esplicitare i calcoli, infatti possiamo sostituire \vec{E} con la formula del campo elettrico generato da una carica puntiforme. Supponiamo per semplicità di ragionare nel vuoto, e dunque consideriamo la costante dielettrica del vuoto \varepsilon_0

 

\vec{E}=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \vec{u}

 

Indichiamo con \vec{u} il versore (vettore unitario di norma 1) che individua la direzione del vettore campo elettrico e con verso uscente da Q, così che il verso del campo elettrico sia determinato dal segno di Q (positiva - uscente / negativa - entrante)

 

L = q \int_A^B{ \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \vec{u} \cdot \vec{ds}}

 

In accordo con la definizione di prodotto scalare, \vec{u}\cdot \vec{ds} corrisponde alla componente di \vec{ds} lungo la direzione di \vec{u}. Chiamiamola dr. Ricordiamo che il prodotto scalare tra due vettori restituisce la lunghezza della proiezione di un vettore sull'altro.

 

L = q \int_A^B{ \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} dr}

 

Calcoliamo l'integrale nella variabile r: estraiamo le costanti ed esprimiamo opportunamente gli estremi di integrazione

 

L = q \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{r_A}^{r_B}{ \frac{1}{r^2} dr} =

 

Ci siamo così ridotti al semplice integrale di una potenza

 

=\frac{qQ}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ - \frac{1}{r} \right]_{r_A}^{r_B}

 

Da notare che abbiamo indicato con r_A,r_B rispettivamente la distanza della carica q dalla carica Q nei punti iniziale e finale. Abbiamo così ricavato la formula per il lavoro della forza elettrica esercitata da una carica puntiforme Q ferma su un'altra carica puntiforme q che si sposta da un punto A a un punto B:

 

L = \frac{qQ}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{r_A} - \frac{1}{r_B} \right)

 

Questa può anche intendersi come la formula per calcolare il lavoro necessario per spostare una carica q tra due punti quando è soggetta al campo elettrico generato da un'altra carica puntiforme Q. Da qui in particolare si vede che il lavoro dipende solo dalla posizione iniziale e da quella finale: non compare nessuna variabile riconducibile al particolare percorso seguito da A e B.

 

Considerazioni generali sul lavoro della forza elettrica

 

Concludiamo con alcune osservazioni:

 

- ciò che è conservativo è il campo elettrostatico, cioè il campo elettrico generato dalla carica ferma Q. Con cariche in movimento vedremo che il campo elettrico non è più conservativo.

 

- Per semplicità abbiamo esplicitato il calcolo del lavoro della forza elettrica nel caso di una carica puntiformi (Q generatrice ferma, q soggetta a spostamento). La conservatività della forza elettrica, o se preferite del campo elettrico, valgono in generale per cariche generatrici su distribuzioni qualsiasi, purché siano ferme.

 

- Esattamente come in Dinamica la conservatività di una forza ci consente di definire un'energia potenziale. A tal proposito nella lezione successiva affronteremo la nozione di energia potenziale elettrica e, successivamente, quella di potenziale elettrico.

 

 


 

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Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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