Campo elettrico di un piano infinito di carica

Il campo elettrico generato da un piano infinito uniformemente carico ha un modulo che è costante e che non dipende dalla distanza dal piano; la relativa formula può essere utilizzata anche nel caso di una superficie finita purché la distanza del punto sia trascurabile rispetto alle dimensioni della superficie.

 

L'ultimo caso che ci resta da analizzare è quello delle distribuzioni di carica piane e infinite. In questa lezione presenteremo la formula per il campo elettrico generato da un piano infinito dotato di carica omogenea, e la ricaveremo sia ricorrendo del teorema di Gauss, sia servendoci dei risultati già noti relativi al campo elettrico di un disco.

 

Per concludere analizzeremo i casi limite e spiegheremo come e perché il modello infinito può essere utilizzato anche nel caso di superfici finite.

 

Campo elettrico generato da un piano infinito uniformemente carico

 

C'è una particolare distribuzione di carica che si rivela piuttosto interessante, specialmente quando studieremo i condensatori piani. Vediamo come calcolare il campo elettrico generato da un piano infinitamente esteso e carico in modo uniforme.

 

Ci sono due modi per procedere:

 

- il primo facendo ricorso al teorema di Gauss per il campo elettrico;

 

- il secondo appoggiandosi ai risultati trovati per il campo elettrico generato da un disco uniformemente carico.

 

Calcolo del campo elettrico di un piano con il teorema di Gauss

 

Consideriamo un piano dotato di una carica omogenea, ossia in modo che la sua densità superficiale di carica sia costante e dunque tale da assumere lo stesso valore in ogni punto del piano. Non devono quindi esserci zone della superficie in cui la carica è più concentrata rispetto ad altre.

 

Ricordiamo che la densità superficiale di carica, indicata con la lettera greca \sigma, è definita come rapporto tra la carica elettrica e l'area della superficie su cui la carica è disposta. Tale grandezza assume il significato di quantità di carica per unità di superficie e si misura in coulomb su metri quadrati.

 

Nella nostra ipotesi:

 

\sigma=\frac{Q}{S}\ \ \ \mbox{costante}

 

Dobbiamo poi immaginare che la superficie del piano sia infinita e che la carica sia distribuita su entrambe le facce della superficie.

 

Per calcolare il campo elettrico generato da tale piano supponiamo, per fissare le idee, che la carica sia positiva (Q>0). Vogliamo usare il teorema di Gauss, quindi consideriamo una superficie chiusa attraverso cui calcolare il flusso del campo elettrico.

 

La superficie gaussiana più conveniente da scegliere in questo caso è quella di un cilindro con le basi parallele al piano, e che racchiuda al suo interno una porzione circolare del piano carico come in figura.

 

 

Campo elettrico di un piano infinito di carica

Campo elettrico generato da un piano infinito
con una carica uniforme e positiva.

 

 

Richiamiamo la definizione di flusso

 

\Phi(\vec{E})=\vec{E}\cdot\vec{S}

 

e ricordiamo che il prodotto scalare va calcolato tra il vettore campo elettrico \vec{E} e il vettore superficie \vec{S}. Quest'ultimo è sempre perpendicolare alla superficie e, nel caso di superfici chiuse, è diretto verso l'esterno.

 

Per calcolare il flusso del campo elettrico attraverso la superficie cilindrica osserviamo che la carica interna è quella di un disco. Di conseguenza le uniche parti del cilindro che ci interessano sono le due basi in quanto, per quello che abbiamo visto nello studio del campo elettrico generato da un disco carico, il campo elettrico è perpendicolare alla superficie del piano. Ne deduciamo che:

 

- il campo elettrico è perpendicolare alle basi del cilindro, quindi \vec{E} è ivi parallelo a \vec{S};

 

- il campo elettrico è parallelo alla superficie laterale ("non la attraversa"), quindi \vec{E} è ivi perpendicolare a \vec{S};

 

Nel secondo caso il prodotto scalare è nullo, poiché i due vettori campo elettrico e superficie sono perpendicolari; gli unici contributi al flusso sono dati dalle due superfici di base del cilindro. Dato che \vec{E}//\vec{S} il prodotto scalare si riduce alla semplice moltiplicazione dei moduli; inoltre poiché nella nostra ipotesi è Q>0, ne consegue che \vec{E} è uscente e dunque \vec{E},\vec{S} sono concordi

 

\Phi(\vec{E})=ES

 

Se chiamiamo la superficie di base del cilindro con A, allora il flusso complessivo attraverso tutta la superficie cilindrica è dato da:

 

\Phi(\vec{E})=2EA

 

Adesso possiamo calcolare il flusso con il teorema di Gauss, così da confrontarne l'espressione con quella che abbiamo appena ottenuto. Gauss stabilisce che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è uguale al rapporto tra la carica interna Q_{int} e la costante dielettrica \varepsilon_m

 

\Phi(\vec{E})=\frac{Q_{int}}{\varepsilon_m}

 

La carica interna è quella disposta sulla superficie di area A ritagliata dal cilindro sul piano. Dalla formula inversa della definizione di \sigma scritta all'inizio, ricaviamo:

 

\Phi(\vec{E})=\frac{\sigma A}{\varepsilon_m}

 

Uguagliamo le due espressioni del flusso e ricaviamo il modulo del campo elettrico E:

 

2EA=\frac{\sigma A}{\varepsilon_m}

 

da cui la formula per il modulo del campo elettrico:

 

E=\frac{\sigma}{2 \varepsilon_m}

 

La formula generale per il modulo del campo elettrico generato da un piano infinito di carica uniforme, dunque tale da contemplare anche l'eventualità di una carica negativa, si ottiene considerando il valore assoluto della densità superficiale di carica

 

E=\frac{|\sigma|}{2 \varepsilon_m}

 

La direzione è sempre perpendicolare al piano, mentre il verso è uscente se Q>0, entrante se Q<0. Da notare che il campo elettrico è uniforme perché assume lo stesso valore in qualunque punto dello spazio, indipendentemente dalla distanza del punto dal piano. Non vi è alcuna differenza nel valore del campo a destra e a sinistra del piano.

 

Calcolo del campo elettrico di un piano dal modello del disco

 

Vediamo come ottenere l'equazione del modulo del campo elettrico E con il secondo metodo. Quando abbiamo calcolato il campo elettrico generato da un disco uniformemente carico, abbiamo ricavato la formula:

 

E(x)=\frac{|\sigma|}{2 \varepsilon_m} \left( 1 - \frac{x}{\sqrt{ x^2 + R^2 }} \right)

 

Se vogliamo considerare un piano infinito non ci resta che far tendere +\infty il raggio R del disco

 

\lim_{R \to +\infty}{\frac{|\sigma|}{2 \varepsilon_m} \left( 1 - \frac{x}{\sqrt{ x^2 + R^2 }} \right)}=\frac{|\sigma|}{2 \varepsilon_m}

 

Ed ecco che siamo giunti alla medesima espressione.

 

 

Osservazioni (Superfici finite e casi limite)

 

Si intuisce facilmente che nella realtà non avremo mai a che fare con un piano dall'estensione infinita. Ciononostante il modello del piano infinito con carica uniforme ha utilità pratica: si può infatti utilizzare per superfici di dimensioni finite nel momento in cui ci troviamo a una distanza molto minore rispetto alle dimensioni della superficie. In tale approssimazione possiamo fare uso della precedente formula.

 

È interessante notare che si arriva alla stessa equazione anche facendo tendere a zero la distanza x nella formula per il campo elettrico di un disco. Ciò conferma quanto detto in precedenza, ossia che la formula del campo elettrico di un piano infinito con carica uniforme è valida anche per una superficie carica di dimensioni finite, purché la distanza da tale superficie sia trascurabile rispetto alle sue dimensioni.

 

 


 

Nella prossima lezione studieremo l'esperimento di Millikan; nel mentre non dimenticate che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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