Campo elettrico di un anello

Il campo elettrico di un anello uniformemente carico generato in un qualsiasi punto dell'asse di simmetria si calcola considerando i contributi dati da elementi infinitesimi di carica, considerati come puntiformi, e applicando la legge di Coulomb e il principio di sovrapposizione.

 

Proseguiamo nello studio dei campi elettrici generati da particolari distribuzioni di carica continue e uniformi. Nel caso di un anello, ossia di una configurazione monodimensionale data da un filo disposto lungo una circonferenza, possiamo applicare un metodo analogo rispetto a quello che abbiamo usato per le distribuzioni lineari di carica.

 

Così facendo potremo determinare facilmente l'espressione del modulo del campo elettrico in un punto qualsiasi dell'asse dell'anello, ipotizzando come di consueto che la distribuzione di carica sia omogenea.

 

Campo elettrico generato da un anello uniformemente carico

 

Vediamo come calcolare il campo elettrico per una particolare distribuzione continua di carica. Consideriamo un anello di raggio R uniformemente carico, e per semplificare il modello supponiamo che non abbia spessore né larghezza. In altri termini stiamo immaginando l'anello come un filo unidimensionale.

 

Poiché ipotizziamo che la carica sia uniforme, ne consegue che la densità lineare di carica è costante e che assume lo stesso valore in ogni punto dell'anello

 

\lambda=\frac{Q}{l}\ \ \ \mbox{costante}

 

Attenzione a non fraintendere il significato dell'aggettivo lineare: non abbiamo a che fare con una distribuzione lineare, intesa come distribuzione lungo una retta, in quanto la carica è distribuita lungo una linea curva. D'altra parte la nozione di densità lineare si riferisce alla monodimensionalità della distribuzione, nel nostro caso un filo, così che la densità di carica in questo caso si calcola come rapporto tra la carica totale e la lunghezza del filo.

 

Il nostro scopo è ricavare una formula che ci permetta di calcolare il valore del campo elettrico generato dall'anello in un punto P appartenente al suo asse di simmetria, ossia appartenente alla retta che passa per il centro dell'anello perpendicolarmente alla sua superficie.

 

 

Campo elettrico generato da un anello carico

Campo elettrico generato sull'asse
da un anello carico uniformemente.

 

 

In modo analogo a quanto fatto per la distribuzione lineare di carica bisogna procedere per passi e impostare un opportuno integrale, dato che la particolare distribuzione di carica non ci consente di utilizzare in modo immediato le semplici formule del campo elettrico valide per le cariche puntiformi. La definizione di campo elettrico infatti coinvolge la forza elettrica, e dal canto nostro siamo in grado di calcolare esplicitamente solo la forza di Coulomb tra cariche puntiformi.

 

Supponiamo per semplicità che la carica sia positiva, dunque Q>0. Nel caso di una carica negativa varrà un ragionamento analogo con le ovvie modifiche del caso. Immaginiamo di suddividere l'anello in tante piccole parti infinitesime di lunghezza dl, ognuna delle quali contiene una porzione infinitesima dQ della carica dell'anello. La carica dQ si può scrivere in funzione della densità lineare nel modo seguente:

 

dQ=\lambda dl

 

Ogni elemento dl può essere considerato come una carica puntiforme, che dunque genera nel punto P un proprio campo elettrico secondo la legge:

 

dE=\frac{dQ}{4 \pi \varepsilon_m r^2}=\\ \\ \\ =\frac{\lambda dl}{4 \pi \varepsilon_m r^2}

 

Tale campo è un vettore che giace sulla retta che congiunge il tratto dell'anello dl e il punto P. Se però consideriamo un tratto dl' diametralmente opposto a dl lungo l'anello, ci accorgiamo che esso genera un campo elettrico in P con la medesima intensità di quello generato da dl e che forma lo stesso angolo \theta rispetto all'asse.

 

 

La geometria della configurazione ci consente di ragionare in un sistema di riferimento bidimensionale. Se scomponiamo i due contributi infinitesimi di campo elettrico lungo i due assi cartesiani, otteniamo due componenti uguali e concordi sull'asse x e due componenti uguali e discordi lungo l'asse y.

 

 

Calcolo del campo elettrico generato da un anello carico

Calcolo del campo elettrico per contributi infinitesimi
(ipotesi di carica positiva).

 

 

Questo è vero per qualsiasi coppia di tratti dl diametralmente opposti. Dal principio di sovrapposizione dei campi elettrici è allora evidente che il vettore campo elettrico risultante sarà diretto lungo l'asse di simmetria e non avrà componente trasversale.

 

Calcoliamo il modulo della componente orizzontale del campo elettrico dE. A tal proposito ci basta moltiplicarlo per il coseno di \theta, in forza dei teoremi trigonometrici:

 

dE_x=\frac{\lambda dl}{4 \pi \varepsilon_m r^2}\cos(\theta)

 

Per determinare il modulo del campo elettrico in P generato dall'anello nel suo complesso non ci resta che integrare rispetto alla variabile l sull'intero anello. Per evitare abusi di notazione indichiamo con \mathcal{L} l'intero anello

 

E=\int_{\mathcal{L}}dE_x=\\ \\ \\=\int_{\mathcal{L}}{\frac{\lambda dl}{4 \pi \varepsilon_m r^2} \cos(\theta)}=\\ \\ \\ =\frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_m r^2} \cos(\theta) \int_{\mathcal{L}}{dl}

 

Nell'ultimo passaggio abbiamo portato fuori dal segno di integrale tutte le grandezze costanti rispetto alla variabile l. L'integrale risulta ora molto semplice e fornisce la lunghezza dell'anello, che coincide con la lunghezza della circonferenza.

 

E=\frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_m r^2} \cos(\theta) 2 \pi R=\\ \\ \\ =\frac{\lambda R}{2 \varepsilon_m r^2} \cos(\theta)

 

L'ultima cosa che resta da fare è esprimere l'angolo \theta in funzione delle grandezze note x,R, rispettivamente la distanza di P dal centro dell'anello e il raggio dell'anello. Anche qui viene in nostro soccorso la Trigonometria, infatti il coseno di \theta è dato dal rapporto tra il cateto adiacente x e l'ipotenusa r (con riferimento alla prima delle due figure):

 

\cos(\theta)=\frac{x}{r}

 

Per l'ipotenusa facciamo riferimento al teorema di Pitagora:

 

r=\sqrt{x^2 + R^2}

 

Di conseguenza:

 

\cos(\theta)=\frac{x}{\sqrt{x^2 + R^2}}

 

In questo modo giungiamo all'espressione per il modulo del campo elettrico generato dall'anello in P dove, lo ricordiamo, si suppone che la carica Q sia positiva

 

E=\frac{\lambda R}{2 \varepsilon_m r^2} \frac{x}{\sqrt{x^2 + R^2}}=\\ \\ \\ =\frac{\lambda R}{2 \varepsilon_m} \frac{x}{\left( x^2 + R^2 \right)^{\frac{3}{2}}}

 

Per generalizzarla ci basta considerare il valore assoluto della densità lineare di carica. In questo modo otteniamo la formula per il modulo del campo elettrico generato da un'anello con carica uniforme lungo l'asse di simmetria

 

E(x)=\frac{|\lambda| R}{2 \varepsilon_m} \frac{x}{\left( x^2 + R^2 \right)^{\frac{3}{2}}}

 

Riguardo a direzione e verso, la direzione è chiaramente data dall'asse di simmetria dell'anello; il verso è uscente se la carica è positiva, entrante se la carica è negativa.

 

Osserviamo che il campo è direttamente proporzionale alla densità lineare di carica: al crescere di \lambda, il campo diventa più intenso. Il campo invece si attenua all'aumentare della distanza x.

 

Se volessimo scrivere una variante di questa formula per far comparire la carica Q ci basterebbe esplicitare la densità lineare e sostituirla nella precedente equazione

 

|\lambda|=\frac{|Q|}{l}\ \ \to\ \ \lambda=\frac{|Q|}{2 \pi R}

 

ottenendo così

 

E(x)=\frac{|Q|}{4 \pi \varepsilon_m} \frac{x}{\left( x^2 + R^2 \right)^{\frac{3}{2}}}

 

 

Casi limite: campo elettrico a grandi e piccole distanze dall'anello

 

1) È interessante notare che se ci troviamo a grande distanza dal centro dell'anello, e dunque possiamo considerare la distanza x molto maggiore del raggio dell'anello R\ (x>>R), il campo si approssima a:

 

E(x)\simeq \frac{|Q|}{4 \pi \varepsilon_m x^2}\ \ \ (x>>R)

 

ossia al campo elettrico generato da una carica puntiforme Q.

 

2) Dalla formula generale si ricava che il campo elettrico al centro dell'anello ha intensità nulla, e lo si evince anche osservando che i contributi diametralmente opposti si annullano.

 

E(0)=0

 

Un risultato analogo si ottiene anche considerando una distanza x trascurabile rispetto al raggio R dell'anello, dunque con x<<R. Dal punto di vista fisico ciò corrisponde al punto P che "collassa" sul centro dell'anello.

 

E(x)\simeq 0\ \ \ (x<<R)

 

 


 

Non scappate! ;) Nella prossima puntata del corso di Elettrostatica mostreremo come calcolare il campo elettrico di un disco uniformemente carico. Nel contempo potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti e altrettanti approfondimenti. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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