Campo elettrico di un disco

Il campo elettrico di un disco uniformemente carico generato in un qualsiasi punto dell'asse di simmetria si ricava determinando il campo elettrico di un contributo infinitesimo di carica, considerato puntiforme, ed estendendo il calcolo mediante integrazione all'intero disco.

 

In questa lezione mostreremo come ricavare la formula per il campo elettrico generato da un disco carico. Una configurazione di questo tipo è da intendersi come una carica distribuita su un cerchio, dunque su una superficie piana priva di spessore.

 

Analogamente ai modelli della distribuzione lineare di carica e dell'anello carico, il metodo si baserà sull'analisi dei contributi infinitesimi, che ci permetterà di determinare il campo totale risultante in un generico punto sull'asse di simmetria, mediante integrazione. Come di consueto supporremo che la carica sia omogenea, cioè distribuita in modo uniforme sull'intera superficie.

 

Campo elettrico generato da un disco uniformemente carico

 

Vediamo come calcolare il campo elettrico per un'altra possibile distribuzione continua di carica. Consideriamo un disco sottile di raggio R, carico in modo uniforme. Con "sottile" intendiamo che il disco è da intendersi privo di spessore, e che la carica elettrica sia distribuita quindi su una superficie piana.

 

Affermare che la carica sul disco è uniforme, o omogenea, significa che la densità superficiale di carica è costante e che assume lo stesso valore in ogni punto. Ricordiamo che la densità superficiale di carica si indica con la lettera greca \sigma e che è definita come il rapporto tra la carica Q e la superficie S

 

\sigma=\frac{Q}{S}\ \ \ \mbox{costante}

 

Il nostro obiettivo è ricavare un'espressione che ci permetta di calcolare il campo elettrico in un qualsiasi punto dell'asse di simmetria del disco. Nel nostro caso l'asse è la retta che passa per il centro del disco e che è perpendicolare alla sua superficie.

 

 

Campo elettrico generato da un disco carico uniforme

Campo elettrico generato da un disco uniformemente carico
lungo l'asse di simmetria.

 

 

Come ormai ben sappiamo non possiamo determinare il modulo del campo elettrico con la definizione generale, in quanto essa richiede di calcolare la forza elettrica esercitata dalla carica, e l'unico caso in cui possiamo procedere in questo senso è quello delle cariche puntiformi (legge di Coulomb).

 

D'altra parte possiamo impostare il calcolo partendo da elementi infinitesimi di carica, approssimabili in quanto tali a cariche puntiformi, e ricavare l'espressione del modulo del campo elettrico con un opportuno integrale.

 

Il campo elettrico complessivo nel punto P è dato dal contributo di ogni singola infinitesima frazione di carica del disco, ognuna delle quali concorre in P con un campo elettrico di diverso valore e direzione a seconda della propria posizione sul disco.

 

Supponiamo per fissare le idee che la carica del disco sia positiva (Q>0). Per affrontare al meglio il problema la cosa più conveniente da fare è considerare una corona circolare di raggio r<R e di larghezza infinitesima dr.

 

 

Calcolo del campo elettrico generato da un disco carico uniforme

Contributi infinitesimi al campo elettrico generato dal disco.

 

 

Se vogliamo trovare il valore del campo elettrico generato dalla corona nel punto P possiamo suddividerla in tanti piccoli tratti con carica dQ e di lunghezza dl (tratto infinitesimo di circonferenza). Dato che stiamo ragionando in termini infinitesimi possiamo calcolare l'area di tale elemento come area di un rettangolo:

 

dS=dr\cdot dl

 

Il modulo del campo elettrico generato dalla carica dQ nel punto P è dato da:

 

dE=\frac{dQ}{4 \pi \varepsilon_m d^2}=\frac{\sigma dr dl}{4 \pi \varepsilon_m d^2}

 

Osserviamo che ogni tratto infinitesimo di corona genera un campo elettrico che è identico in modulo a quello generato dal tratto di corona diametralmente opposto. La geometria della configurazione ci permette di ragionare in un sistema di riferimento bidimensionale: i due vettori formano lo stesso identico angolo con l'orizzontale, uno al di sopra dell'asse e l'altro al di sotto, cosicché le due componenti verticali si annullano mentre le due componenti orizzontali si sommano. È esattamente ciò che accade nel calcolo del campo elettrico generato da un anello carico.

 

 

Scriviamo la sola componente orizzontale del contributo infinitesimo, servendoci dei teoremi trigonometrici:

 

dE_x=\frac{\sigma dr dl}{4 \pi \varepsilon_m d^2} \cos(\theta)

 

Se adesso vogliamo individuare il modulo del campo elettrico in P dovuto all'intera corona circolare - chiamiamolo dE_r - dobbiamo integrare rispetto alla variabile l sull'intera lunghezza \mathcal{L}. Portiamo fuori dall'integrale tutti gli altri termini, in quanto costanti

 

dE_r=\int_{\mathcal{L}}dE_x=\\ \\ \\ =\int_{\mathcal{L}}{\frac{\sigma dr dl}{4 \pi \varepsilon_m d^2} \cos(\theta)}=\\ \\ \\ =\frac{\sigma dr}{4 \pi \varepsilon_m d^2} \cos(\theta) \int_{l}{dl}

 

L'integrale ora risulta semplice da calcolare, perché ci dà la lunghezza della circonferenza della corona circolare di raggio r:

 

dE_r=\frac{\sigma dr}{4 \pi \varepsilon_m d^2} \cos(\theta) 2 \pi r=\\ \\ \\ =\frac{\sigma r dr}{2 \varepsilon_m d^2} \cos(\theta)

 

Ora dobbiamo cercare di esprimere il coseno dell'angolo \theta in funzione di grandezze note, quali x ed r. Con l'aiuto della Trigonometria ci basta osservare che il coseno di un angolo è definito come il rapporto tra il cateto adiacente e l'ipotenusa

 

\cos(\theta)=\frac{x}{d}

 

Per l'ipotenusa d possiamo ricorrere al teorema di Pitagora:

 

d=\sqrt{x^2 + r^2}

 

Di conseguenza:

 

\cos(\theta)=\frac{x}{\sqrt{x^2 + r^2}}

 

e così possiamo arrivare a scrivere la versione definitiva del campo elettrico generato dalla corona in P:

 

dE_r=\frac{\sigma r dr}{2 \varepsilon_m d^2} \frac{x}{\sqrt{x^2 + r^2}}=\\ \\ \\ =\frac{\sigma r dr}{2 \varepsilon_m} \frac{x}{\left( x^2 + r^2 \right)^{\frac{3}{2}}}

 

Per ottenere il campo elettrico generato dall'intero disco \mathcal{D} dobbiamo integrare la precedente espressione rispetto al raggio r, con estremi di integrazione tra 0 e R.

 

E=\int_{\mathcal{D}}dE_r=\\ \\ \\ =\int_0^R{\frac{\sigma r dr}{2 \varepsilon_m} \frac{x}{\left( x^2 + r^2 \right)^{\frac{3}{2}}}}=\\ \\ \\ =\frac{\sigma x}{2 \varepsilon_m} \int_0^R{\frac{r}{\left( x^2 + r^2 \right)^{\frac{3}{2}}} dr}=

 

Quello che abbiamo ottenuto è un integrale notevole semplice da calcolare:

 

\int_0^R{\frac{r}{\left( x^2 + r^2 \right)^{\frac{3}{2}}} dr}=\\ \\ \\ =\int_0^R{r \left( x^2 + r^2 \right)^{- \frac{3}{2}} dr}=\\ \\ \\ =\frac{1}{2} \int_0^R{2r \left( x^2 + r^2 \right)^{- \frac{3}{2}} dr}=\\ \\ \\ =\frac{1}{2}\left[ \frac{\left( x^2 + r^2 \right)^{- \frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} \right]_0^R= \\ \\ \\ =\frac{1}{2}\left[ \frac{-2}{\sqrt{ x^2 + r^2 }} \right]_0^R=\\ \\ \\ =\left( -\frac{1}{\sqrt{ x^2 + R^2 }} + \frac{1}{x} \right)

 

Nell'ultimo passaggio abbiamo implicitamente considerato x> 0: se P si trovasse a sinistra del disco, sarebbe sufficiente ragionare per simmetria. Ecco allora l'equazione per il modulo del campo elettrico generato da un disco uniformemente carico in un punto del suo asse ad una distanza x dal suo centro:

 

E=\frac{\sigma x}{2 \varepsilon_m} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{\sqrt{ x^2 + R^2 }} \right)=\\ \\ \\=\frac{\sigma}{2 \varepsilon_m} \left( 1 - \frac{x}{\sqrt{ x^2 + R^2 }} \right)

 

Questa formula si applica nel caso di una carica positiva Q>0. Se vogliamo generalizzare su una carica di segno qualsiasi, dobbiamo ricordare che il modulo E è non negativo per definizione. Dobbiamo quindi considerare il valore assoluto della densità superficiale di carica: la formula per il modulo del campo elettrico generato da un disco uniformemente carico in un punto dell'asse è data da

 

E(x)=\frac{|\sigma|}{2 \varepsilon_m} \left( 1 - \frac{x}{\sqrt{ x^2 + R^2 }} \right)\ \ \ (x>0)

 

La direzione di \vec{E} è quella dell'asse. Se il disco è carico positivamente allora il verso è uscente, mentre è entrante se il disco è carico negativamente.

 

 

Casi limite: campo elettrico a grandi e piccole distanze dal disco

 

1) Se la distanza x del punto P dal disco è molto maggiore rispetto al raggio R, o equivalentemente se R è trascurabile rispetto a x, otteniamo un campo elettrico approssimativamente nullo

 

E(x)\simeq 0\ \ \ (x>>R)

 

2) Se la distanza x del punto P dal disco è molto minore rispetto al raggio R, o equivalentemente se x è trascurabile rispetto a R, la formula si riduce a

 

E(x)=\frac{|\sigma|}{2 \varepsilon_m}\ \ \ (x<<R)

 

 


 

È tutto! Chi ha già studiato Analisi 2 si sarà sicuramente accorto che, nel mezzo dei calcoli, abbiamo "mascherato" il calcolo di un integrale doppio. ;) Ci vediamo nella prossima lezione, dove tratteremo le distribuzioni piane di carica. Se siete in cerca di approfondimenti o di esercizi svolti, non esitate: qui su YM potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. :)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

Lezione precedente.....Lezione successiva

 
 

Tags: formula per il campo elettrico generato da una distribuzione di carica uniforme su un disco lungo l'asse di simmetria dell'anello - campo elettrico di un disco carico e omogeneo.