Campo elettrico di una distribuzione lineare

Il campo elettrico generato da una distribuzione lineare di carica uniforme, finita o infinita, si calcola mediante una formula che si ricava analizzando i contributi infinitesimi al campo elettrico e applicando la legge di Coulomb per cariche puntiformi.

 

Nella precedente lezione abbiamo mostrato come calcolare il campo elettrico di una sfera conduttrice uniformemente carica, rispettivamente nei casi in cui essa sia cava o piena. Il procedimento con cui abbiamo ricavato le formule si basa sul teorema di Gauss per il campo elettrico.

 

In questa e nelle prossime lezioni ci serviremo di metodi più evoluti e complessi per il calcolo di campi elettrici generati da particolari distribuzioni di carica, e che in particolare prevedono il ricorso al calcolo differenziale e integrale. L'intento è fornire un modello da replicare in altri contesti simili. Qui mostriamo come ricavare la formula per il campo elettrico generato da una distribuzione lineare di carica omogenea.

 

Campo elettrico generato da una distribuzione lineare di carica

 

Consideriamo un filo di lunghezza 2l su cui è distribuita una carica elettrica Q in modo uniforme, e supponiamo senza ledere in generalità che tale carica sia positiva. Il motivo per cui indichiamo la lunghezza con 2l e non semplicemente con l risulterà chiaro tra un istante.

 

Analogamente a quanto visto con la densità volumica e con la densità superficiale di carica, usate nel caso di una carica distribuita rispettivamente su un volume o su una superficie, è possibile definire anche una densità lineare di carica, indicata con la lettera greca \lambda. Tale densità esprime la quantità di carica per unità di lunghezza e si misura in coulomb su metri \left(\frac{C}{m}\right).

 

Con l'aggettivo uniforme, o se preferite omogeneo, intendiamo che la densità lineare di carica è costante e quindi che assume lo stesso valore in ogni punto della distribuzione:

 

\lambda=\frac{Q}{2l}\ \ \ \mbox{costante}

 

L'obiettivo è trovare l'espressione per il modulo del campo elettrico in un punto P dello spazio che si trovi sull'asse di simmetria del filo, ossia sulla retta perpendicolare al filo e passante per il suo punto medio, come in figura.

 

 

Distribuzione lineare di carica e punto sull'asse

Distribuzione lineare di carica e punto sull'asse.

 

 

Non possiamo appoggiarci alle formule del campo elettrico che già conosciamo: una è quella della definizione generale, non utilizzabile perché non sapremmo come esprimere la forza elettrica; un'altra è quella che vale per le cariche puntiformi, e che discende dalla legge di Coulomb; la terza è quella relativa alle sfere conduttrici cariche, vista nella precedente lezione. Dobbiamo perciò ricavarla ragionando in un altro modo.

 

Dividiamo il filo per tutta la sua lunghezza in tratti infinitesimi, lunghi ciascuno dx. Ogni tratto contiene una frazione dQ della carica totale del filo, e ovviamente genera un proprio campo elettrico in P. A seconda della posizione del tratto dx che consideriamo, il vettore campo elettrico in P avrà un diverso valore e una diversa direzione.

 

 

Campo elettrico generato dalle cariche infinitesime di una distribuzione lineare omogenea

Campo elettrico generato dalle cariche infinitesime
di una distribuzione lineare uniforme (ipotesi di carica positiva).

 

 

Dato che ciascun tratto dx è infinitesimo possiamo trattarlo come una carica puntiforme; scriviamo l'espressione del modulo del campo elettrico che genera in P, e omettiamo il valore assoluto della carica in quanto positiva per ipotesi:

 

dE=\frac{dQ}{4\pi\varepsilon_m r^2}

 

dove con r indichiamo la distanza variabile tra il tratto dx e il punto P. Usando la definizione della densità lineare di carica \lambda possiamo esprimere la carica dQ come prodotto tra \lambda e il tratto dx

 

dE = \frac{\lambda dx}{4 \pi \varepsilon_m r^2}

 

Tale campo ha una sua particolare direzione; se però consideriamo il tratto dx_1 simmetrico di dx rispetto al punto medio della distribuzione lineare, ci accorgiamo che il modulo del suo campo elettrico in P è lo stesso. Riguardo alla direzione, ha componente orizzontale uguale e opposta a quella del campo generato da dx. Al contrario le due componenti verticali sono uguali e concordi, e dunque possono essere sommate.

 

 

Campo elettrico di una distribuzione lineare di carica uniforme e limitata

Contributi al campo elettrico di due elementi infinitesimi simmetrici.

 

 

In accordo con i teoremi trigonometrici la componente lungo l'asse y del campo elettrico è data dal valore trovato in precedenza moltiplicato per il coseno dell'angolo \theta.

 

dE_y=\frac{\lambda dx}{4\pi\varepsilon_m r^2}\cos(\theta)

 

Per il principio di sovrapposizione dei campi elettrici, il campo elettrico risultante generato dalla coppia dx,dx_1 è

 

dE_{ris,y}=\frac{\lambda dx }{2 \pi \varepsilon_m r^2} \cos(\theta)

 

L'obiettivo è quello di integrare su tutta la lunghezza del filo in modo da sommare i contributi di tutti i tratti infinitesimi dx, così da ottenere il campo elettrico totale. Per agevolare il calcolo sfruttiamo la simmetria della configurazione e ci limitiamo a integrare su metà filo, ad esempio sulla parte destra; in tal caso però dobbiamo integrare dE_{ris,y} e non dE_y

 

E=\int_{0}^{l}dE_{ris,y}

 

Se osserviamo attentamente l'espressione di dE_{ris,y} ci accorgiamo che conviene esprimere l'integrale in termini di \theta. Per ricavare gli estremi di integrazione notiamo che l'angolo può variare da 0 fino all'angolo che individua l'estremo destro del filo; chiamiamolo \theta_L

 

E=\int_{0}^{\theta_L}dE_{ris,y}

 

A questo punto dobbiamo esprimere le grandezze variabili che compaiono nell'espressione di dE_{ris,y} in funzione dell'angolo \theta usando un po' di Trigonometria. Indichiamo con y la distanza del punto P dal punto medio del filo e con x la distanza del contributo infinitesimo dx dal punto medio del filo. Esprimiamo r in funzione di \theta

 

r = \frac{y}{\cos(\theta)}

 

e successivamente x in funzione di \theta

 

x = y \tan(\theta)

 

Poiché l'elemento infinitesimo è dx, differenziamo la precedente relazione (ricordiamoci come si calcola la derivata della tangente)

 

dx = \frac{y d\theta}{\cos^2(\theta)}

 

Sostituiamo il tutto nell'espressione di dE_{ris,y}

 

dE_{ris,y} = \frac{\lambda dx }{2 \pi \varepsilon_m r^2} \cos(\theta)=\\ \\ \\ =\frac{\lambda \frac{y d\theta}{\cos^2(\theta)}}{2 \pi \varepsilon_m \left( \frac{y}{\cos(\theta)} \right)^2} \cos(\theta)=\\ \\ \\ =\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_m y} \cos(\theta) d\theta

 

Ora abbiamo un'espressione con un'unica variabile: l'angolo \theta. Tutti gli altri termini sono costanti

 

E = \int_0^{\theta_L}dE_{ris,y}=\\ \\ \\=\int_0^{\theta_L}{\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_m y} \cos(\theta) d\theta } = \\ \\ \\ =\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_m y} \int_0^{\theta_L}{ \cos(\theta) d\theta } = \\ \\ \\ =\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_m y} \sin(\theta_L)

 

Non ci resta che esprimere l'angolo \theta_L in termini di l,y. Con riferimento alla figura iniziale si vede subito che l,y formano un triangolo rettangolo e che l'ipotenusa i si può scrivere grazie al teorema di Pitagora come:

 

i = \sqrt{l^2 + y^2}

 

Il seno di \theta_L è dato dal rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa:

 

\sin(\theta_L) = \frac{l}{\sqrt{l^2 + y^2}}

 

In conclusione il modulo del campo elettrico nel punto P generato dalla distribuzione lineare di carica è uguale a:

 

E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_m y} \frac{l}{\sqrt{l^2 + y^2}}

 

Tale formula vale se la carica Q è positiva. La formula generale per il modulo del campo elettrico di una distribuzione lineare e finita di carica uniforme lungo l'asse contempla anche l'eventualità di una carica negativa, e richiede il valore assoluto sulla densità lineare di carica

 

E(y)=\frac{|\lambda|}{2 \pi \varepsilon_m y} \frac{l}{\sqrt{l^2 + y^2}}\ \ \ (\mbox{uniforme, finita})

 

Riguardo a direzione e verso, il campo elettrico è un vettore diretto lungo l'asse y. Nel caso di una carica positiva (Q>0), come nella nostra ipotesi, il verso è uscente; supponendo che la carica sia negativa (Q<0) invece il verso sarebbe entrante.

 

Giunti a questo punto è bene puntualizzare un aspetto che non è scontato. La formula per le distribuzioni lineari di carica non vale solamente per configurazioni monodimensionali, che non esistono in natura, bensì anche per distribuzioni in cui una delle tre dimensioni ha una misura molto maggiore rispetto alle altre due, ossia tali da essere trascurabili rispetto alla lunghezza

 

\mbox{Lunghezza}>>\mbox{Larghezza, Altezza}

 
 

Campo elettrico generato da una distribuzione lineare di carica infinita

 

Nell'ipotesi di una distribuzione lineare di carica infinita e uniforme possiamo estendere il precedente ragionamento e concludere che il campo elettrico è sempre perpendicolare rispetto alla distribuzione lineare. Per comprenderlo basta osservare che lungo un filo infinito qualsiasi punto può intendersi come punto medio.

 

Per determinarne l'intensità in un punto P posto a una distanza y dal filo è sufficiente passare al limite per l\to +\infty nella precedente formula, e applicare le regole di confronto tra infiniti

 

E(y) = \lim_{l\to+\infty}\frac{|\lambda|}{2 \pi \varepsilon_m y} \frac{l}{\sqrt{l^2 + y^2}}

 

Da qui ricaviamo la formula per il campo elettrico di una distribuzione lineare infinita di carica uniforme in qualsiasi punto dello spazio

 

E(y) = \frac{|\lambda|}{2 \pi \varepsilon_m y}

 

 

Campo elettrico di una distribuzione lineare di carica infinita

 

 


 

Nella prossima lezione mostreremo come calcolare il campo elettrico generato da un anello carico. In caso di dubbi, o se volete consultare degli esercizi svolti, vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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