Campo elettrico di una sfera

Il campo elettrico generato da una sfera conduttrice uniformemente carica si calcola con formule differenti a seconda che la sfera sia cava o piena. In entrambi i casi il campo elettrico in un punto sulla superficie o esterno ad essa si comporta come se la carica fosse concentrata nel centro della sfera.

 

In questa lezione mostreremo come calcolare il campo elettrico di una sfera conduttrice cava o piena, dotata di una carica elettrica distribuita uniformemente: nel primo caso sulla superficie, nel secondo sull'intero volume. In particolare useremo il teorema di Gauss per il campo elettrico e ricaveremo le formule per il modulo del campo elettrico in ciascuna delle due eventualità.

 

Nel corso della spiegazione approfondiremo inoltre il comportamento del modulo del campo elettrico in funzione della distanza dal centro della sfera.

 

Campo elettrico generato da una sfera conduttrice cava

 

Un breve riepilogo: conosciamo la formula generale per il campo elettrico e sappiamo che richiede di saper calcolare la forza elettrica esercitata dalla carica generatrice. Poiché la legge di Coulomb si applica solamente a cariche elettriche puntiformi, per il momento sappiamo calcolare il modulo del campo elettrico solo nel caso di una carica puntiforme.

 

Ora vogliamo provare a capire come cambia la formula di E nel caso in cui la carica abbia una configurazione superficiale o volumetrica, e in particolare sia distribuita su una sfera. Procederemo servendoci del teorema di Gauss per il campo elettrico.

 

Cominciamo a vedere come calcolare il campo elettrico di una sfera conduttrice cava di raggio R dotata di una carica omogenea. Supponiamo dunque che tutta la carica elettrica Q sia distribuita uniformemente sulla superficie della sfera, come realmente accade. In una delle lezioni successive vedremo infatti che in un conduttore la carica si dispone solo sulla superficie, e non al suo interno.

 

L'avverbio uniformemente in questo frangente si riferisce al fatto che la densità superficiale di carica \sigma è sempre la stessa in qualunque punto della superficie della sfera

 

\sigma=\frac{Q}{S}\ \ \mbox{costante}

 

Tale grandezza è definita come carica per unità di superficie, e si misura in coulomb su metri quadrati \frac{\mbox{C}}{\mbox{m}^2}

 

Quanto vale il campo elettrico all'interno della sfera cava? Il teorema di Gauss viene in nostro soccorso: consideriamo una superficie sferica di raggio r<R concentrica alla sfera conduttrice, e calcoliamo il flusso del campo elettrico \vec{E} attraverso tale superficie immaginaria. Gauss stabilisce che il flusso dipende solamente dalla carica interna alla superficie scelta, secondo la legge:

 

\Phi(\vec{E})=\frac{Q_{int}}{\varepsilon_m}

 

Poiché all'interno della sfera non è presente alcuna carica, abbiamo

 

Q_{int}=0

 

Il flusso è dunque nullo e ciò implica che sia nullo il campo elettrico, infatti il flusso è definito come il prodotto scalare del campo elettrico per la superficie. Come abbiamo visto nella dimostrazione del teorema di Gauss i vettori \vec{E},\vec{S} sono paralleli, per cui il flusso si riduce al semplice prodotto del modulo E per la superficie S. Poiché il risultato è zero e chiaramente non può essere nulla la superficie scelta, il campo elettrico deve necessariamente essere nullo.

 

E=0\ \ (\mbox{interno di una sfera cava})

 

Ora spostiamoci e calcoliamo il campo elettrico sulla superficie della sfera cava. A tal proposito determiniamone il flusso attraverso una superficie sferica che ha lo stesso raggio R della sfera conduttrice. Sulla base di ciò che abbiamo visto nelle precedenti lezioni:

 

- se la carica è positiva, il campo elettrico e il vettore superficie sono entrambi uscenti, dunque paralleli e concordi

 

\Phi(\vec{E}) = ES = E \cdot 4 \pi R^2

 

- se la carica è negativa, il campo elettrico e il vettore superficie sono rispettivamente entrante e uscente, dunque paralleli e discordi

 

\Phi(\vec{E}) = -ES = -E \cdot 4 \pi R^2

 

Se uguagliamo l'espressione del flusso con quella data dalla legge di Gauss, possiamo riassumere il tutto con l'ausilio di un valore assoluto (in caso di dubbi ricordate che E è un modulo, dunque necessariamente non negativo)

 

E \cdot 4 \pi R^2 = \frac{|Q_{int}|}{\varepsilon_m}

 

Da qui, la formula per il modulo del campo elettrico sulla superficie della sfera carica:

 

E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_m}\frac{|Q|}{R^2}\ \ (\mbox{superficie di una sfera cava})

 

Nell'ultimo passaggio abbiamo sostituito la generica carica interna del teorema di Gauss con la carica Q presente sulla superficie della sfera conduttrice, perché la superficie da noi scelta racchiude interamente la carica della sfera. Tale risultato è del tutto simile alla formula del campo elettrico generato da una carica puntiforme.

 

Lo stesso risultato si ottiene per punti che si trovano a una certa distanza dalla superficie della sfera conduttrice: calcoliamo il campo elettrico all'esterno della sfera cava. Facciamo riferimento a una superficie sferica di raggio r>R tale da contenere al proprio interno la sfera carica di raggio R. Con i medesimi passaggi, otteniamo:

 

E \cdot 4 \pi r^2 = \frac{|Q_{int}|}{\varepsilon_m}

 

da cui la formula

 

E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_m}\frac{|Q|}{r^2}\ \ (\mbox{esterno di una sfera cava})

 

Riassumendo, data una carica distribuita uniformemente sulla superficie di una sfera cava, il modulo del campo elettrico è nullo all'interno, mentre sulla superficie e al di fuori di essa ha la medesima espressione di quello per una carica puntiforme, dunque gode di una simmetria radiale:

 

E(r)=\begin{cases}0\ \ \ \mbox{se }r<R\\ \\ \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_m}\dfrac{|Q|}{r^2}\ \ \ \mbox{se }r\geq R\end{cases}

 

Abbiamo quindi scoperto che una sfera carica sulla superficie si comporta come se tutta la carica fosse concentrata nel suo centro.

 

Se vogliamo rappresentare su un grafico la dipendenza del modulo del campo elettrico dalla distanza r, e dunque disegnare il grafico della funzione E(r), avremo un tratto in cui il campo elettrico è nullo dal centro della sfera (r=0) fino al raggiungimento della superficie (r=R); qui il campo assume il proprio valore massimo, per poi calare secondo una funzione che descrive la dipendenza di E dall'inverso del quadrato della distanza r.

 

 

Campo elettrico di una sfera conduttrice cava

Grafico di E(r) in funzione della distanza
dal centro della sfera cava carica.

 

Campo elettrico generato da una sfera conduttrice piena

 

Ora vogliamo considerare una carica Q distribuita uniformemente su tutto il volume della sfera, quindi anche al suo interno e non solo sulla superficie. In questa eventualità, con l'avverbio uniformemente ci riferiamo al fatto che in qualunque punto della sfera la densità volumica di carica \rho è sempre la stessa

 

\rho=\frac{Q}{V}\ \ \mbox{costante}

 

Tale grandezza è definita come carica per unità di volume, e si misura in coulomb su metri cubi \frac{\mbox{C}}{\mbox{m}^3}.

 

Calcoliamo il campo elettrico all'interno della sfera piena. Se consideriamo una superficie sferica di raggio r<R, la carica interna alla superficie sarà data da:

 

Q_{int} = \rho V = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3

 

Applichiamo il teorema di Gauss per il calcolo del flusso di \vec{E} attraverso la superficie scelta:

 

\Phi(\vec{E}) = \frac{Q_{int}}{\varepsilon_m} = \frac{4 \pi \rho r^3}{3 \varepsilon_m}

 

Come abbiamo già visto, l'espressione del flusso attraverso una superficie sferica è:

 

- con carica positiva (Q>0\to\rho>0)

 

\Phi(\vec{E}) = ES = E \cdot 4 \pi r^2

 

- con carica negativa (Q<0\to\rho<0)

 

\Phi(\vec{E}) = -ES = -E \cdot 4 \pi r^2

 

Includiamo entrambi i casi per mezzo di un valore assoluto

 

E \cdot 4 \pi r^2=\frac{4 \pi |\rho| r^3}{3 \varepsilon_m}

 

da cui la formula per il modulo del campo elettrico all'interno di una sfera conduttrice piena e carica

 

E = \frac{|\rho| r}{3 \varepsilon_m}\ \ (\mbox{interno di una sfera piena})

 

All'interno della sfera piena il campo elettrico è direttamente proporzionale alla distanza r dal centro.

 

Riguardo al campo elettrico sulla superficie o all'esterno della sfera piena, consideriamo una superficie sferica di raggio r\geq R. In tal caso il campo elettrico torna ad essere quello che abbiamo già calcolato precedentemente nel caso della sfera cava, e dipende dalla totalità della carica Q presente sulla sfera.

 

Riassumendo:

 

E(r)=\begin{cases}\dfrac{|\rho| r}{3 \varepsilon_m}\ \ \ \mbox{se }r<R\\ \\ \\ \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_m}\dfrac{|Q|}{r^2}\ \ \ \mbox{se }r\geq R\end{cases}

 

Se vogliamo rappresentare su un grafico la dipendenza del modulo del campo elettrico in funzione della distanza, otterremo dapprima una retta crescente che descrive la legge di dipendenza lineare di E da r quando siamo dentro la sfera (r<R). Raggiungeremo quindi il valore massimo di E quando ci troviamo sulla superficie (r=R), per poi calare secondo una funzione che descrive la dipendenza di E dall'inverso del quadrato della distanza r quando siamo al di fuori della sfera carica (r>R).

 

 

Campo elettrico di una sfera conduttrice piena

Grafico di E(r) in funzione della distanza
dal centro di una sfera piena carica.

 

 


 

In una delle lezioni successive, dopo aver introdotto la definizione di potenziale elettrico, vedremo come calcolare il potenziale di una sfera carica. Nella prossima invece mostreremo come calcolare il campo elettrico generato da una distribuzione lineare di carica. :)

 

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Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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