Teorema di Gauss per il campo elettrico

Il teorema di Gauss per il campo elettrico stabilisce che il flusso di un campo elettrico attraverso una superficie chiusa è dato dal rapporto tra la carica elettrica totale interna alla superficie e la costante dielettrica assoluta del mezzo; qualsiasi carica esterna alla superficie non concorre in alcun modo al flusso totale.

 

Stiamo per presentare uno dei più importanti risultati del corso di Elettrostatica: il teorema di Gauss per il campo elettrico. In questa lezione ne proponiamo l'enunciato, la formula generale e una dimostrazione di carattere fisico in un caso molto particolare.

 

Prima di procedere vi raccomandiamo di leggere la precedente lezione, casomai non l'abbiate già fatto. Nella spiegazione sul flusso del campo elettrico ci siamo infatti soffermati sui vari aspetti che caratterizzano questa nuova grandezza, nonché sui possibili approcci con cui si può trattare (semplificato o avanzato).

 

Premessa sul teorema di Gauss per il campo elettrico

 

Come abbiamo già anticipato una trattazione approfondita del teorema di Gauss per il campo elettrico richiede parecchi prerequisiti di Analisi 2: la nozione di campo vettoriale, quella di integrale di superficie, il concetto generale di flusso di un campo vettoriale, l'operatore di divergenza il teorema della divergenza (i.e., il teorema di Gauss per campi vettoriali qualsiasi)... Insomma, tanti argomenti non accessibili a chi non ha un solido background matematico.

 

D'altra parte il teorema di Gauss ha un'utilità estremamente pratica. Nella sua formulazione fisica relativa ai campi elettrici si traduce in ultima istanza in una formula semplice, utilizzabile da tutti e con implicazioni pratiche molto significative.

 

Questa premessa ci serve per spiegare perché non forniremo una dimostrazione generale del teorema di Gauss per il campo elettrico. Piuttosto partiremo dall'enunciato, che ha comunque una validità generale, lo commenteremo spiegandone l'utilità e ne daremo la dimostrazione in un caso particolare, con un'impostazione più fisica che matematica e tale da essere compresa da tutti.

 

Chiunque volesse approfondire il discorso può integrare lo studio consultando (o ripassando) le lezioni di Analisi 2 menzionate in precedenza, tenendo a mente che considerazioni del tutto analoghe varranno anche quando ci occuperemo del teorema di Gauss per il campo magnetico. ;)

 

Enunciato e formula del teorema di Gauss per il campo elettrico

 

Ecco l'enunciato del teorema di Gauss per il campo elettrico: il flusso di un campo elettrico attraverso una superficie chiusa è dato dal rapporto tra la carica elettrica totale interna alla superficie e la costante dielettrica assoluta del mezzo.

 

Per quanto riguarda la formula del teorema di Gauss per il campo elettrico, possiamo scrivere

 

\Phi (\vec{E})=\frac{Q_{int}}{\varepsilon_m}

 

L'enunciato di Gauss fornisce un modo facile e veloce per calcolare il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa. Non c'è bisogno di ricorrere alla definizione di flusso che abbiamo visto nella precedente lezione: basta semplicemente calcolare la somma algebrica di tutte le cariche che si trovano all'interno della superficie e dividerla per la costante dielettrica assoluta \varepsilon_m.

 

È importante sottolineare alcuni aspetti:

 

1) se ragioniamo nel vuoto (come spesso accadrà negli esercizi) possiamo sostituire la costante dielettrica assoluta del mezzo \varepsilon_m con la costante dielettrica del vuoto \varepsilon_0, di cui conosciamo il valore.

 

2) Per calcolare la somma algebrica di tutte le cariche interne bisogna tener conto dei segni delle cariche, che possono essere positive o negative. Ciò implica che tale somma possa anche dare un risultato pari a zero qualora le cariche positive eguaglino quelle negative.

 

3) La superficie può avere qualsiasi forma purché sia chiusa, dunque il teorema non è applicabile nel caso di una superficie aperta né in particolare nel caso di una superficie piana.

 

4) Ciò che conta è la carica totale Q_{int} interna alla superficie. Se ci fossero altre cariche collocate al di fuori superficie non andrebbero considerate ai fini del calcolo del flusso. In altri termini le cariche esterne alla superficie chiusa non contribuiscono al flusso del campo elettrico.

 

5) Il teorema è valido per qualsiasi tipo di campo elettrico, non necessariamente uniforme nello spazio. La formula inoltre vale per qualsiasi configurazione di carica: una carica puntiforme, più cariche puntiformi, distribuzioni continue di carica monodimensionali, bidimensionali e tridimensionali.

 

Dimostrazione del teorema di Gauss per il campo elettrico (caso particolare)

 

Ragioniamo in un caso particolare. Consideriamo una superficie sferica e dimostriamo il teorema:

 

(A) con una carica puntiforme interna, collocata al centro della sfera. Ricordando l'espressione del campo elettrico generato da una carica puntiforme, ciò ci permetterà di lavorare con un campo elettrico con modulo costante sulla superficie della sfera. In tal caso calcoleremo esplicitamente il flusso del campo elettrico e giungeremo alla formula del teorema di Gauss.

 

(B) Con una carica puntiforme esterna alla sfera. In tal caso mostreremo che il flusso del campo elettrico è nullo.

 

Cominciamo con (A). Consideriamo una carica elettrica Q e supponiamo che sia positiva (con una carica negativa sarebbero necessari ovvi e semplici adeguamenti). Racchiudiamola all'interno di una superficie sferica di raggio r con centro nella carica.

 

 

Teorema di Gauss per il campo elettrico con carica interna

Dimostrazione del teorema di Gauss per il campo elettrico:
carica puntiforme nel centro di una sfera.

 

 

Qualche considerazione sui vettori campo elettrico e superficie. Indipendentemente dal punto che si considera sulla superficie sferica:

 

- visto che la carica è positiva, le linee di campo sono uscenti, dunque tale è anche il verso di \vec{E}. Il modulo E è costante e la direzione è radiale;

 

- riguardo al vettore superficie \vec{S}, il modulo è pari all'area della superficie e la direzione è radiale. Il verso è uscente, in quanto tale deve essere per definizione nel caso di una superficie chiusa.

 

Immaginiamo di dividere la superficie sferica in N parti \mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2,...,\mathcal{S}_N, ciascuna delle quali sarà inevitabilmente una superficie aperta.

 

 

Teorema di Gauss per il campo elettrico - Dimostrazione con carica interna

Direzioni e versi dei vettori campo elettrico e dei vettori superficie.

 

 

Il flusso del campo elettrico attraverso la superficie sferica sarà dato dalla somma degli N contributi, ciascuno calcolato sulla relativa porzione di superficie

 

\Phi=\Phi_1+\Phi_2+...+\Phi_N

 

Se ragioniamo su una superficie infinitesima d\mathcal{S} possiamo considerare il relativo contributo al flusso d\Phi. La riduzione a un elemento infinitesimo, d'altro canto, ci permette di considerarlo localmente come una superficie piana.

 

Se la cosa vi appare strana, pensate alla forma della Terra. Sappiamo tutti che è indicativamente sferica (esclusi i terrapiattisti) ma siccome ognuno di noi ne vede una porzione molto piccola, ci appare localmente piatta. Questo tipo di approssimazione è utilissima per applicare la definizione di flusso che conosciamo, in quanto prevede proprio che la superficie sia piana.

 

Detto d\vec{S} il vettore superficie della superficie infinitesima, possiamo scrivere

 

d\Phi=\vec{E}\cdot d\vec{S}

 

Poiché i vettori campo elettrico e superficie sono paralleli e concordi, possiamo riscrivere il prodotto scalare nella forma

 

d\Phi=E\cdot dS

 

Per estendere il calcolo all'intera superficie dobbiamo semplicemente integrare il contributo infinitesimo di flusso

 

\Phi(\vec{E})=\int_{\mathcal{S}}d\Phi=\int_{\mathcal{S}}E\cdot dS=

 

Poiché il modulo del campo elettrico è costante sulla superficie sferica, in quanto generato da una carica puntiforme, possiamo estrarlo dall'integrale. L'integrale rimanente equivale all'area di \mathcal{S}, infatti si tratta di integrare l'area dS su tutta \mathcal{S}.

 

=E\int_{\mathcal{S}}dS=ES

 

Ricapitolando

 

\Phi(\vec{E})=ES

 

A questo punto possiamo sostituire l'espressione del campo elettrico generato da una carica puntiforme e l'espressione dell'area della superficie sferica. Poiché la carica è positiva, possiamo omettere il valore assoluto nella formula di E

 

\Phi(\vec{E})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_m}\frac{Q}{r^2}\cdot 4\pi r^2

 

In definitiva, con le opportune semplificazioni giungiamo alla formula della legge di Gauss:

 

\Phi(\vec{E})=\frac{Q}{\varepsilon_m}

 

Passiamo a (B). Consideriamo una carica puntiforme Q esterna alla sfera, come in figura, e supponiamo senza ledere in generalità che sia positiva. Proiettiamo a partire da essa un angolo solido infinitesimo d\Omega che intersechi la sfera

 

 

Teorema di Gauss per il campo elettrico con carica esterna

Dimostrazione del teorema di Gauss per il campo elettrico:
carica puntiforme esterna alla sfera.

 

 

Siano dS_1,dS_2 le superfici infinitesime intercettate dall'angolo solido e d\vec{S}_1,d\vec{S}_2 i rispettivi vettori superficie. Siano inoltre R_1,R_2 le distanze della carica rispettivamente da dS_1,dS_2.

 

Grazie a un'importante proprietà degli angoli solidi, sappiamo che l'ampiezza equivale al rapporto tra l'area della porzione di superficie sferica sottesa dall'angolo solido e il quadrato del raggio della sfera

 

\Omega=\frac{S}{R^2}

 

 

Angolo solido nel teorema di Gauss per il campo elettrico

Angolo solido.

 

 

Tornando alla configurazione con carica esterna, poiché l'angolo solido d\Omega è sempre lo stesso possiamo scrivere

 

\frac{dS_1}{R_1^2}=\frac{dS_2}{R_2^2}

 

Calcoliamo i contributi infinitesimi di flusso del campo elettrico. Attenzione perché qui \vec{E}_1,\vec{E}_2 non hanno affatto lo stesso modulo!

 

d\Phi_1=\vec{E}_1\cdot d\vec{S}_1\\ \\ d\Phi_2=\vec{E}_2\cdot d\vec{S}_2

 

Poiché abbiamo supposto Q>0, nel primo caso abbiamo un prodotto scalare tra vettori paralleli e discordi; nel secondo, tra vettori paralleli e concordi

 

d\Phi_1=-E_1\cdot dS_1\\ \\ d\Phi_2=E_2\cdot dS_2

 

Sostituiamo le espressioni dei moduli dei campi elettrici generati dalla carica puntiforme. I valori assoluti sono ridondanti, in quanto Q>0

 

d\Phi_1=-\frac{Q}{4\pi \varepsilon_m R_1^2}\cdot dS_1\\ \\ d\Phi_2=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_m R_2^2}\cdot dS_2

 

ossia

 

d\Phi_1=-\frac{Q}{4\pi \varepsilon_m}d\Omega\\ \\ d\Phi_2=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_m}d\Omega

 

I due contributi sono quindi opposti. Nel calcolo del flusso totale si annullano a vicenda, e lo stesso dicasi per qualsiasi altra possibile coppia di contributi intercettata mediante angoli solidi

 

d\Phi_1=-d\Phi_2\ \ \to\ \ \Phi(\vec{E})=0

 

In conclusione il flusso totale del campo elettrico generato dalla carica esterna vale zero, e ciò conclude la dimostrazione.

 

 


 

Ribadiamo che, nonostante la dimostrazione del teorema si riferisca al caso particolare di una sfera e di un campo elettrico generato da una carica, l'enunciato ha comunque validità generale.

 

Per il momento è tutto! A partire dalla lezione successiva studieremo i campi elettrici generati da diverse distribuzioni di carica. Nel frattempo in caso di dubbi potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti e spiegati nel dettaglio. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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