Flusso del campo elettrico

Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie è dato dall'integrale del campo elettrico sulla superficie considerata; nel caso di un campo elettrico uniforme e di una superficie piana si riduce al prodotto scalare tra il vettore campo elettrico e il vettore superficie.

 

Ci apprestiamo a studiare una nuova nozione che ha risvolti fondamentali nel contesto della teoria dell'elettricità: il concetto di flusso del campo elettrico.

 

Gli argomenti che tratteremo in questa lezione e nella successiva possono essere affrontati in due modi: in una forma edulcorata, tipica dell'ultimo anno delle scuole superiori e dei corsi "semplificati" di Fisica all'università, o in una forma matematicamente avanzata, come avviene nei corsi universitari delle facoltà di Matematica e Fisica.

 

Ovviamente la trattazione più esaustiva è la seconda; sfortunatamente è anche quella meno accessibile, in quanto la definizione del flusso del campo elettrico non può prescindere da svariate nozioni di Analisi 2. Tenendo conto degli obiettivi del corso di Elettrostatica seguiremo il primo approccio garantendo la massima precisione consentita, e proponendo qui e là spunti di approfondimento verso i requisiti matematici richiesti dall'approccio più avanzato.

 

Premesse per il flusso del campo elettrico

 

Abbiamo visto che il campo elettrico è un campo vettoriale nello spazio. In termini semplificati è una grandezza che individua un'infinità di vettori: considerato un punto nello spazio, il campo elettrico si traduce in tale punto in uno specifico vettore con modulo, direzione e verso dati dalla definizione.

 

In sintesi il campo elettrico associa a ogni vettore posizione in tre dimensioni un altro vettore in tre dimensioni. In matematichese possiamo scrivere

 

\vec{E}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\\ \\ \vec{E}:\vec{r}\mapsto\vec{E}(\vec{r}).

 

Un discorso analogo vale anche nel caso del campo gravitazionale.

 

Per scrivere la definizione di flusso del campo elettrico abbiamo bisogno di due ulteriori ingredienti: una superficie limitata nello spazio e la nozione di vettore superficie in un punto (detto anche vettore area). Senza scendere in dettagli matematicamente troppo impegnativi, con vettore superficie in un punto P di una data superficie limitata \mathcal{S} ci riferiamo al vettore \vec{S}(P):

 

- che ha come modulo l'area della superficie;

 

- che ha come direzione quella della retta normale (perpendicolare) alla superficie nel punto;

 

- riguardo al verso, abbiamo due possibilità lungo la direzione considerata. Se la superficie è aperta possiamo considerare indistintamente come vettore superficie ciascun vettore con uno dei due versi; nel caso di una superficie chiusa, invece, definiamo il vettore area in un punto come quello avente verso uscente dalla superficie.

 

Vediamo un paio di esempi. Per una superficie piana, come ad esempio un rettangolo, il vettore superficie in uno qualsiasi dei suoi punti è un vettore che ha modulo dato dall'area della superficie, direzione perpendicolare ad essa e verso arbitrario. Questo vuol dire che, presa una superficie piana qualsiasi, il vettore superficie può presentarsi in questi due modi:

 

 

Vettore superficie in un punto con superficie piana

Vettore superficie in un punto di una superficie piana rettangolare.

 

 

Se però la superficie è chiusa, come nel caso di un cubo, allora il vettore area ha sempre verso uscente per definizione.

 

 

Flusso del campo elettrico

Vettore superficie - Superficie chiusa.

 

Definizione di flusso del campo elettrico

 

Il flusso del campo elettrico \Phi(\vec{E}) attraverso una superficie qualsiasi esprime, in un certo modo, una misura delle linee di campo elettrico che attraversano la superficie considerata, indipendentemente che essa sia aperta o chiusa, piana o "ricurva".

 

Vi ricordante come abbiamo definito il lavoro in Dinamica? Siamo partiti da un caso specifico e abbiamo generalizzato di volta in volta la definizione. Qui ci comporteremo in modo analogo: per arrivare a una definizione generale procediamo per passi, cominciando dal caso di un campo elettrico uniforme e di una superficie piana.

 

Flusso di un campo elettrico uniforme attraverso una superficie piana

 

Consideriamo una superficie piana e limitata \mathcal{S}. Se fissiamo uno dei due possibili versi per il vettore superficie \vec{S}(P), otteniamo un vettore con lo stesso modulo, la stessa direzione e lo stesso verso indipendentemente dal punto P che consideriamo

 

\vec{S}(P)=\vec{S}\ \ \ \forall P\in \mathcal{S}

 

Supponiamo che \vec{E} sia un campo elettrico uniforme, vale a dire un campo elettrico che ha in ogni punto lo stesso modulo, la stessa direzione e lo stesso verso

 

\vec{E}(\vec{r})=\vec{E}\ \ \ \forall\vec{r}

 

Con queste ipotesi definiamo il flusso del campo elettrico \vec{E} attraverso la superficie \mathcal{S} come il prodotto scalare del vettore \vec{E} per il vettore superficie \vec{S}.

 

\Phi(\vec{E})=\vec{E}\cdot\vec{S}

 

Si vede subito che l'unità di misura del flusso del campo elettrico è il newton per metro quadrato su coulomb

 

\Phi(\vec{E})\ \to\ \frac{\mbox{N}\cdot \mbox{m}^2}{\mbox{C}}

 

In base alla definizione il flusso è una grandezza scalare e non vettoriale. Ricordiamo inoltre che il prodotto scalare si può esprimere come prodotto tra i moduli dei due vettori per il coseno dell'angolo compreso tra essi

 

\Phi(\vec{E})=ES\cos(\alpha)

 

dove S è l'area della superficie.

 

Poiché stiamo considerando una superficie piana non abbiamo un verso prestabilito per il vettore superficie \vec{S}, quindi il flusso può essere positivo o negativo, o eventualmente nullo:

 

0\leq\alpha\leq 180^{\circ}\ \to\ -ES\leq \Phi(\vec{E})\leq ES

 

Ecco un esempio grafico dove abbiamo scelto il verso di \vec{S} in modo che sia 0\leq \alpha\leq 90^{\circ}

 

 

Flusso di un campo elettrico uniforme attraverso una superficie piana

Flusso di un campo elettrico uniforme
attraverso una superficie piana (0≤α≤90°).

 

 

Il flusso del campo elettrico ha valore assoluto massimo quando i vettori campo elettrico e superficie sono paralleli, vale a dire se \alpha=0 (paralleli e concordi) o se \alpha=-180^{\circ} (paralleli e discordi).

 

Se invece i due vettori sono perpendicolari (\alpha=90^{\circ}), allora il flusso vale zero. In tal caso infatti il campo elettrico è parallelo alla superficie, dunque le linee di campo elettrico non la attraversano: ecco perché il flusso è nullo.

 

 

Flusso del campo elettrico con superficie parallela al campo

Flusso nullo: campo elettrico uniforme
parallelo a una superficie piana.

 

 

Significato fisico del flusso del campo elettrico

 

Che senso ha il flusso in termini fisici? Pensiamo a un tubo in cui scorre dell'acqua in regime stazionario con una certa velocità \vec{v}. Ora immaginiamo di voler calcolare il flusso del "campo vettoriale della velocità" attraverso una sezione piana del tubo. Supponiamo per semplicità che il valore della velocità sia costante in ogni punto della superficie.

 

Applichiamo la regola vista in precedenza sostituendo il campo elettrico \vec{E} con la velocità \vec{v}

 

\phi(\vec{v})=\vec{v}\cdot\vec{S}=

 

Considerando che i vettori \vec{v},\vec{S} sono paralleli, e scegliendo il verso di \vec{S} in modo che siano concordi

 

=vS\cos(\alpha)=vS

 

Per quanto sappiamo sul moto dei fluidi il prodotto della velocità per la sezione equivale alla portata, che ci dice quanti metri cubi di acqua attraversano la sezione ogni secondo.

 

Per tornare al campo elettrico possiamo dire che il suo flusso ci dice "quanto campo elettrico attraversa una certa superficie". Chiaramente questa non è una spiegazione rigorosa e ha il solo scopo di dare un'idea spannometrica. ;)

 

Esempio: flusso di un campo elettrico uniforme attraverso una superficie piana

 

Vediamo un esempio numerico. Supponiamo di avere una campo elettrico uniforme con intensità pari a 45 N/C, e di volerne calcolare il flusso attraverso una superficie piana di 2,3 m2 inclinata di 30° rispetto al vettore campo elettrico.

 

 

Esempio: flusso del campo elettrico attraverso una superficie piana

Esempio: calcolo del flusso di un campo elettrico uniforme
attraverso una superficie piana.

 

 

Attenzione al fatto che nella formula del flusso ci serve il valore dell'angolo compreso tra il vettore \vec{E} e il vettore \vec{S}, mentre noi disponiamo dell'angolo tra il vettore \vec{E} e la superficie piana. Se scegliamo il verso del vettore superficie in modo che esso formi un angolo 0\leq \alpha\leq 90^{\circ} con il vettore campo elettrico, dal disegno si capisce che l'angolo che ci interessa è di 60°

 

\alpha=60^{\circ}

 

Applichiamo la formula per il flusso di un campo elettrico uniforme attraverso una superficie piana:

 

\Phi (\vec{E}) = ES \cos(\alpha) = \\ \\ =\left(45\ \frac{\mbox{N}}{\mbox{C}}\right) \cdot (2,3\mbox{ m}^2)\cdot \cos (60^{\circ}) \simeq 51,8\ \frac{\mbox{N}\cdot\mbox{m}^2}{\mbox{C}}

 

e abbiamo esaudito la richiesta dell'esercizio.

 

Generalizzazione della definizione di flusso del campo elettrico

 

La formula che abbiamo scritto in precedenza vale sotto due condizioni specifiche: il campo elettrico deve essere uniforme e la superficie deve essere piana. D'altro canto tali ipotesi sono particolarmente restrittive, per cui ci domandiamo: come ci si comporta con superfici aperte? E con superfici chiuse? E ancora, che dire dell'eventualità di campi elettrici non uniformi?

 

A ben vedere la definizione "base" consente di coprire un maggior numero di casi. In realtà, tutti. :)

 

1) Innanzitutto osserviamo che essa ci permette di determinare il flusso di un campo elettrico uniforme attraverso superfici chiuse con una geometria semplice, come ad esempio i poliedri o i solidi di rotazione.

 

Consideriamo un cubo:

 

 

Esempio: flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa

Esempio: calcolo del flusso di un campo elettrico uniforme
attraverso una superficie chiusa.

 

 

Per una superficie chiusa, i vettori superficie sono sempre diretti verso l'esterno per convenzione. Calcoliamo il flusso di \vec{E} attraverso il cubo:

 

- le facce laterali del cubo indicate in bianco non concorrono al flusso in quanto i relativi contributi sono nulli, infatti i vettori \vec{E},\vec{S} sono ivi ortogonali;

 

- ci interessano solo le facce evidenziate in grigio, per le quali \vec{E},\vec{S} sono paralleli. Per la faccia di sinistra il flusso è negativo, perché i vettori \vec{E},\vec{S} sono discordi; per quella di destra invece il flusso è positivo, perché \vec{E},\vec{S} sono concordi. In entrambi i casi i due vettori hanno lo stesso modulo, per cui ci ritroviamo con un contributi di flusso uguali e opposti.

 

È chiaro allora che il flusso totale è nullo.

 

L'esempio mette in luce come la geometria della superficie chiusa può ricondurre a un'analisi del flusso sulle singole facce o su coppie di facce opposte; in entrambi i casi a superfici piane.

 

 

2) In generale il campo elettrico può non essere uniforme e la superficie può assumere svariate forme. Come accennavamo a inizio lezione, la definizione generale di flusso del campo elettrico richiede nozioni matematiche avanzate e presuppone di conoscere la teoria dei campi vettoriali, la teoria delle superfici e il concetto di integrale di superficie. Nell'insieme tali prerequisiti permettono di definire il flusso di un campo vettoriale qualsiasi attraverso una superficie.

 

A fronte degli obiettivi del corso di Elettrostatica, non riporteremo qui la formula generale per il flusso del campo elettrico. Per i nostri scopi è sufficiente sapere che:

 

- l'idea fisica che permette di passare dalla definizione particolare a quella generale si basa, al solito, sui contributi infinitesimi. Si ragiona su una superficie infinitesima, che in quanto tale può essere considerata come piana e che al contempo permette di considerare localmente il campo elettrico come uniforme, e si estende il calcolo all'intera superficie mediante integrazione;

 

- esiste un teorema matematico, il cosiddetto teorema della divergenza (o teorema di Gauss), che semplifica notevolmente il calcolo del flusso dei campi vettoriali qualsiasi. Tale risultato si applica anche nel caso dei campi elettrici e si traduce in una formula meravigliosamente comoda dal punto di vista fisico, che prende il nome di teorema di Gauss per il campo elettrico e di cui parleremo nella lezione successiva.

 

 


 

Non abbiamo altro da aggiungere, se non che qui su YM ci sono migliaia di risorse e di esercizi risolti dallo Staff. Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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