Principio di sovrapposizione dei campi elettrici

Il principio di sovrapposizione dei campi elettrici stabilisce che il campo elettrico generato da un sistema di cariche in un punto è dato dalla somma vettoriale dei campi elettrici generati dalle singole cariche, dove ciascun campo elettrico va calcolato indipendentemente dagli altri.

 

Dopo aver visto la definizione di generale di campo elettrico, e dopo aver spiegato come calcolarlo nel caso di una carica puntiforme, vogliamo capire come determinare il campo elettrico generato da un sistema di cariche in un punto. La risposta è data dal principio di sovrapposizione: in modo analogo al calcolo della forza risultante mostreremo come calcolare nella pratica il campo elettrico risultante (o campo elettrico totale).

 

Nel corso della spiegazione ci concentreremo su esempi ed esercizi svolti in dettaglio dal momento che il principio di sovrapposizione è semplice nella teoria, ma nella pratica richiede dimestichezza con il calcolo vettoriale. ;)

 

Sovrapposizione di campi elettrici in un punto

 

Abbiamo visto che il campo elettrico in un punto è una grandezza vettoriale e quindi possiede tutte le caratteristiche di un vettore. Una descrizione completa del campo generato da una carica elettrica in un punto richiede pertanto tre informazioni: modulo, direzione e verso.

 

Conosciamo inoltre la formula che ci permette di calcolare il campo elettrico generato da una carica puntiforme, ma come facciamo a calcolare il campo in un punto dello spazio se siamo in presenza di più cariche? La risposta a tale domanda è data dal principio di sovrapposizione dei campi elettrici, che discende direttamente dal principio di sovrapposizione delle forze elettriche.

 

Vediamone l'enunciato: data una configurazione di n cariche elettriche Q_1,Q_2,...,Q_n (qualsiasi, non necessariamente puntiformi), il campo elettrico totale in un punto P è dato dalla somma vettoriale dei campi elettrici \vec{E}_1,\vec{E}_2,...,\vec{E}_n generati in P da ciascuna delle cariche e calcolati indipendentemente dagli altri.

 

Dall'enunciato si ricava con facilità la formula per la sovrapposizione dei campi elettrici:

 

\vec{E}_{ris}=\vec{E}_{1}+\vec{E}_{2}+\vec{E}_{3}+...+\vec{E}_{n}

 

In forma più sintetica e con l'ausilio del simbolo di sommatoria:

 

\vec{E}_{ris}=\sum_{i=1}^{n}\vec{E}_{i}

 

L'effetto di sovrapposizione dei campi elettrici è immediato:

 

- nei sistemi di due cariche elettriche ci troveremo a calcolare la somma di due campi elettrici

 

\vec{E}_{ris}=\vec{E}_{1}+\vec{E}_{2}

 

- con più di due cariche invece potremo ridurre coppie di campi elettrici a uno solo sommandoli vettorialmente, e reiterare il procedimento

 

\vec{E}_{ris}=\overbrace{\vec{E}_{1}+\vec{E}_{2}}^{\vec{E}_{12}}+\vec{E}_{3}+...+\vec{E}_{n}=\\ \\ = \overbrace{\vec{E}_{12}+\vec{E}_{3}}^{\vec{E}_{123}}+...+\vec{E}_{n}=...

 

Esattamente come nella sovrapposizione di forze elettriche abbiamo a che fare con un principio semplice dal punto di vista teorico, che però può creare qualche grattacapo per chi non ha dimestichezza con le somme tra vettori.

 

A tal proposito dedichiamo il resto della lezione a esempi di applicazione: vedremo come si sovrappongono i campi elettrici con sistemi di cariche puntiformi (unico caso in cui sappiamo calcolare esplicitamente i moduli, per il momento) in configurazioni monodimensionali e bidimensionali, scegliendo opportuni sistemi di riferimento che permettono di effettuare il calcolo con considerazioni di tipo geometrico.

 

Sovrapposizione di campi elettrici con due cariche puntiformi in un punto allineato

 

Consideriamo due cariche disposte come in figura:

 

 

Configurazione con due cariche elettriche

Configurazione monodimensionale con due cariche elettriche.

 

 

Le cariche Q_1,Q_2 valgono rispettivamente +3,2 e -2,1 microcoulomb e sono poste a una distanza reciproca d pari a 0,95 metri. Vogliamo calcolare il valore del campo elettrico nel punto P che si trova a 0,30 metri da Q_1, allineato e interposto tra le due cariche.

 

Cominciamo col disegnare i vettori dei campi elettrici in P generati singolarmente dalle due cariche, ricordandoci che il vettore \vec{E} è uscente per le cariche positive ed entrante per le cariche negative. Di conseguenza il campo \vec{E}_1 generato in P da Q_1 è uscente mentre il campo \vec{E}_2 generato in P da Q_2 è entrante.

 

 

Sovrapposizione di due campi elettrici

Sovrapposizione di due campi elettrici generati da cariche puntiformi
in un punto allineato.

 

 

La particolare configurazione di cariche e la posizione del punto P considerato fanno sì che, in tale punto, i due campi elettrici siano paralleli e concordi.

 

Calcoliamo il modulo dei due campi elettrici, ricordando la formula per il campo elettrico generato da una carica puntiforme in un punto:

 

E_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|Q_1|}{r_1^2} \simeq \\ \\ \\ \simeq \frac{1}{4 \pi \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \ \frac{\mbox{C}^2}{\mbox{N}\cdot\mbox{m}^2}} \cdot \frac{3,2 \cdot 10^{-6} \mbox{ C}}{(0,30 \mbox{ m})^2} \simeq 3,2 \cdot 10^5 \ \frac{\mbox{N}}{\mbox{C}}\\ \\ \\ E_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|Q_2|}{r_2^2} \simeq \\ \\ \\ \simeq \frac{1}{4 \pi \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot \frac{\mbox{C}^2}{\mbox{N}\cdot\mbox{m}^2}} \cdot \frac{2,1 \cdot 10^{-6} \mbox{ C}}{(0,65 \mbox{ m})^2} \simeq 4,5 \cdot 10^4 \ \frac{\mbox{N}}{\mbox{C}}

 

Il campo elettrico totale in P è dato dalla somma tra \vec{E}_1 e \vec{E}_2. Poiché i due vettori sono paralleli e concordi, e poiché la configurazione è sostanzialmente unidimensionale, possiamo fissare un sistema di riferimento con coordinate crescenti da sinistra verso destra, e riscrivere la somma vettoriale come somma dei moduli con segni (positivi)

 

\vec{E}_{ris} = \vec{E_1} + \vec{E_2} = +E_1 +E_2 \simeq \\ \\ \simeq 3,2 \cdot 10^5 \ \frac{\mbox{N}}{\mbox{C}} + 4,5 \cdot 10^4 \ \frac{\mbox{N}}{\mbox{C}} = 3,65 \cdot 10^5 \ \frac{\mbox{N}}{\mbox{C}}

 

Il campo elettrico risultante \vec{E}_{ris} in P è diretto lungo la congiungente le due cariche e punta verso la carica Q_2.

 

Sovrapposizione di campi elettrici con due cariche puntiformi in un punto non allineato

 

Proviamo a calcolare il campo elettrico risultante in un punto non allineato alle due cariche puntiformi. Consideriamo ad esempio un punto P posto nel vertice superiore di un triangolo equilatero di lato l=0,85\mbox{ m}, come in figura.

 

 

Sovrapposizione di campi elettrici generati da due cariche in un punto non allineato

Sovrapposizione di due campi elettrici generati da cariche puntiformi
in un punto non allineato.

 

 

Le cariche valgono Q_1=+5,4\ \mu\mbox{C},\ Q_2=-5,4\ \mu\mbox{C}. Come dobbiamo comportarci con la somma vettoriale dei campi elettrici generati nel punto P dalle due cariche?

 

Per cominciare calcoliamo le intensità dei campi elettrici E_1,E_2 generati da ciascuna carica. Ovviamente i due valori saranno uguali in modulo perché sono uguali sia le cariche, sia la loro distanza da P.

 

E_1 = E_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|Q_1|}{l^2} \simeq \\ \\ \\ \simeq \frac{1}{4 \pi \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \ \frac{\mbox{C}^2}{\mbox{N}\cdot\mbox{m}^2}} \cdot \frac{5,4 \cdot 10^{-6} \mbox{ C}}{(0,85 \mbox{ m})^2} \simeq 6,7 \cdot 10^4 \ \frac{\mbox{N}}{\mbox{C}}

 

Le direzioni dei due campi elettrici sono date dalle congiungenti tra il punto P e le rispettive cariche, dunque non sono più parallele. Riguardo ai versi, \vec{E}_1 è uscente da Q_1 mentre \vec{E}_2 è entrante verso Q_2.

 

 

Direzioni e versi per la sovrapposizione dei due campi elettrici.

Direzioni e versi per la sovrapposizione dei due campi elettrici.

 

 

I due vettori sono uguali in modulo e hanno entrambi un'inclinazione di 60° rispetto all'orizzontale per via della geometria del problema (gli angoli interni di un triangolo equilatero misurano 60°). Così, ora che dobbiamo procedere con la somma vettoriale dei due campi elettrici, possiamo applicare la regola del parallelogramma: otteniamo un campo elettrico risultante che ha direzione orizzontale, parallela alla linea che congiunge le due cariche.

 

In formule e in componenti:

 

\vec{E}_{ris,x}=\vec{E}_{1x}+\vec{E}_{2x}\\ \\ \vec{E}_{ris,y}=\vec{E}_{1y}+\vec{E}_{2y}

 

Dato che ci siamo ricondotti alle componenti, possiamo riscrivere i vettori mediante i moduli e specificando i segni. Per i moduli delle componenti orizzontali \vec{E}_{1x},\vec{E}_{2x} possiamo sfruttare i teoremi trigonometrici; le componenti verticali sono uguali in modulo, parallele e discordi, dunque si annullano.

 

\vec{E}_{ris,x}=\vec{E}_{1x}+\vec{E}_{2x}=+E_{1x}+E_{2x}=\\ \\ =2E_{1x}=2E_1\cos (60^{\circ})\simeq 2\cdot 3,4 \cdot 10^4 \ \frac{\mbox{N}}{\mbox{C}}\\ \\ \vec{E}_{ris,y}=\vec{E}_{1y}+\vec{E}_{2y}=+E_{1y}-E_{2y}=E_{1y}-E_{1y}=0

 

In definitiva \vec{E}_1,\vec{E}_2 si sovrappongono in P in un campo elettrico che è parallelo alla congiungente tra le due cariche, con verso che punta a destra e modulo dato da

 

E_{ris}\simeq 6,8 \cdot 10^4 \ \frac{\mbox{N}}{\mbox{C}}

 

Sovrapposizione di campi elettrici con quattro cariche puntiformi (configurazione bidimensionale)

 

Passiamo a un altro esempio. Calcoliamo il campo elettrico totale nel centro di un quadrato di lato l=0,60\mbox{ m} ai cui vertici sono disposte quattro cariche, come in figura.

 

 

Configurazione bidimensionale con quattro cariche elettriche

Configurazione bidimensionale con quattro cariche elettriche.

 

 

Le cariche hanno tutte le stesso valore Q=6,35\ \mu\mbox{C} e sono tutte positive, tranne Q_4 che è l'unica negativa.

 

La distanza tra una qualsiasi delle quattro cariche e il centro corrisponde a metà della diagonale del quadrato d. La distanza r tra ciascuna delle cariche e il centro è quindi

 

r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2} l}{2} = \frac{\sqrt{2} \cdot 0,60 \mbox{ m}}{2} \simeq 0,42 \mbox{ m}

 

Con queste premesse possiamo determinare modulo, direzione e verso dei campi elettrici generati da ciascuna delle quattro cariche in C. Per come si presenta la configurazione è chiaro che i quattro campi elettrici avranno tutti lo stesso modulo; le direzioni sono date dalle congiungenti tra il centro e le rispettive cariche; i versi invece sono uscenti nel caso delle cariche positive ed entrante per la carica negativa.

 

 

Sovrapposizione di campi elettrici

Sovrapposizione di quattro campi elettrici generati da cariche puntiformi.

 

 

Ogni vettore giace quindi lungo una diagonale del quadrato. I campi valgono:

 

E_1 = E_2 = E_3 = E_4 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|Q|}{r^2} \simeq \\ \\ \\ \simeq \frac{1}{4 \pi \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \ \frac{\mbox{C}^2}{\mbox{N}\cdot\mbox{m}^2}} \cdot \frac{6,35 \cdot 10^{-6} \mbox{ C}}{(0,42 \mbox{ m})^2} \simeq 1,35 \cdot 10^5 \ \frac{\mbox{N}}{\mbox{C}}

 

Dalla rappresentazione dei vettori si vede che i campi \vec{E}_1,\vec{E}_3 sono uguali e opposti, pertanto si annullano. Ci interessano invece i campi \vec{E}_2,\vec{E}_4, che sono paralleli e concordi. Per calcolare il campo risultante ci basta determinarne il modulo

 

E_{ris,C}=E_2+E_4= 2 \cdot E_2 \simeq 2,70 \cdot 10^5 \ \frac{\mbox{N}}{\mbox{C}}

 

Esercizio: campo elettrico risultante nullo

 

Per concludere proviamo a lavorare con la condizione di campo elettrico totale nullo. Abbiamo due cariche Q_1,Q_2 dello stesso segno, che valgono rispettivamente +12 e +8,5 nanocoulomb. Le cariche sono disposte lungo l'orizzontale a una distanza reciproca d pari a 0,70 metri.

 

Vogliamo stabilire a quale distanza da Q_1 si trova il punto in cui il campo elettrico totale è nullo.

 

 

Sovrapposizione di campi elettrici con cariche di segni concordi

Sovrapposizione di due campi elettrici con cariche di segni concordi.

 

 

Indichiamo con x la distanza incognita tra Q_1 e P; di conseguenza la distanza tra Q_2 e P si può esprimere come d-x.

 

I campi elettrici generati dalle due cariche in P sono ovviamente paralleli e sono entrambi uscenti, in quanto le due cariche sono entrambe positive. Ne consegue che \vec{E}_1,\vec{E}_2 sono discordi. È possibile quindi che vi sia un punto in cui il campo rivolto verso destra, generato da Q_1, sia uguale a quello rivolto verso sinistra, generato da Q_2, così che la loro somma sia nulla.

 

In particolare è evidente che P può trovarsi solamente in una posizione intermedia tra le due cariche, e non a sinistra di Q_1 né a destra di Q_2: in queste zone infatti i due campi sono concordi e non si possono annullare.

 

 

Sovrapposizione di due campi elettrici con campo risultante nullo

Sovrapposizione di due campi elettrici con campo risultante nullo.

 

 

Visto che Q_1 è più intensa di Q_2 ci aspettiamo che il punto P sia più vicino alla carica Q_2; il campo elettrico infatti è direttamente proporzionale alla carica e inversamente proporzionale alla distanza: se vogliamo che i due campi siano uguali, alla carica minore deve corrispondere anche la distanza minore.

 

Per esaudire la richiesta dell'esercizio dobbiamo imporre la condizione di campo elettrico totale nullo in P

 

\vec{E}_{ris}=\vec 0

 

vale a dire

 

\vec{E}_1+\vec{E}_2=\vec{0}

 

Per le precedenti considerazioni possiamo riscrivere i vettori come moduli con segno. Scegliamo come verso delle coordinate crescenti quello che punta verso destra

 

E_1-E_2=0

 

ossia la condizione di uguaglianza tra i moduli

 

E_1=E_2\\ \\ \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|Q_1|}{x^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|Q_2|}{(d - x)^2}

 

Le due cariche sono positive, dunque possiamo eliminare i valori assoluti

 

\frac{Q_1}{x^2} = \frac{Q_2}{(d - x)^2}\\ \\ Q_1(d - x)^2 = Q_2x^2\\ \\ Q_1(d^2  - 2dx + x^2) = Q_2x^2\\ \\ Q_1d^2 - 2Q_1dx + Q_1x^2 - Q_2x^2 = 0\\ \\ (Q_1 - Q_2)x^2 - 2Q_1dx + Q_1d^2=0

 

Non ci resta che risolvere l'equazione di secondo grado

 

x_{1,2} = \frac{2Q_1d \pm \sqrt{4Q_1^2d^2 - 4Q_1d^2(Q_1 - Q_2)}}{2(Q_1 - Q_2)} = \\ \\ \\ =\frac{2Q_1d \pm \sqrt{4Q_1Q_2d^2}}{2(Q_1 - Q_2)} = \\ \\ \\ = \frac{2Q_1d \pm 2d \sqrt{Q_1Q_2}}{2(Q_1 - Q_2)} = \\ \\ \\ =\frac{d(Q_1 \pm \sqrt{Q_1Q_2})}{Q_1 - Q_2}

 

Sostituendo i relativi valori otteniamo due possibili soluzioni:

 

x_1 = 4,42 \mbox{ m}\ \ \ ;\ \ \ x_2 = 0,38 \mbox{ m}

 

La prima soluzione è da scartare, perché collocherebbe P a destra di Q_2. L'unica soluzione accettabile è la seconda e peraltro conferma quanto avevamo già intuito: il punto P è più vicino a Q_2.

 

 


 

Per il momento è tutto. :) Nella lezione successiva spiegheremo come fornire una rappresentazione generale (e non puntuale) dei campi elettrici, e a tal proposito introdurremo la nozione di linee di campo elettrico. Non perdetevela! ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

Lezione precedente.....Lezione successiva

 
 

Tags: definizione del principio di sovrapposizione dei campi elettrici - enunciato e formula del principio di sovrapposizione dei campi elettrici.