Campo elettrico

Il campo elettrico generato da una carica Q è una grandezza vettoriale (indicata con il simbolo E) definita in ogni punto dello spazio come rapporto tra: la forza di Coulomb esercitata da Q su una carica di prova q collocata nel punto; il valore della carica di prova q.

 

Nella prima parte di questa lezione affronteremo la nozione di campo elettrico da un punto di vista concettuale. Ci soffermeremo in particolare sulle esigenze che portano a introdurre questa nuova grandezza, sfruttando il parallelismo con la forza gravitazionale e con il campo gravitazionale.

 

Nel corso della spiegazione presenteremo la definizione e la formula del campo elettrico generato da una carica qualsiasi, e la useremo per analizzare le principali proprietà di questa nuova grandezza.

 

Ove possibile scenderemo nel caso particolare del campo elettrico generato da una carica puntiforme, l'unico che al momento siamo in grado di studiare nel dettaglio.

 

Il concetto di campo elettrico

 

Per introdurre la nozione di campo elettrico riprendiamo il confronto tra forza di Coulomb e forza gravitazionale che abbiamo trattato nella precedente lezione.

 

Sappiamo che la forza elettrostatica e la forza gravitazionale sono accomunate dalla caratteristica di agire a distanza. Una forza a distanza gode per definizione di una proprietà particolare: affinché essa si eserciti non è necessario che i due corpi vengano a contatto. Nei casi considerati è sufficiente che i due corpi interagenti possiedano rispettivamente una carica elettrica (forza di Coulomb) o una massa (forza gravitazionale).

 

Anche se siamo abituati a questo concetto, talvolta può apparirci ancora strano. Come è possibile che una forza possa esercitarsi a distanza?

 

C'è anche un ulteriore aspetto da prendere in considerazione. Supponiamo di avere due conduttori carichi con cariche elettriche di segni opposti e collocati a grande distanza, diciamo uno sulla Terra e l'altro su Marte. Tra di loro ci sarà sicuramente una forza elettrica che tenderà ad attrarli, per quanto debole possa essere (data la distanza Terra-Marte).

 

Immaginiamo di disperdere la carica elettrica del conduttore sulla Terra, ad esempio mettendolo a contatto col terreno così da renderlo elettricamente neutro. Cosa succede alla carica su Marte? In teoria la forza elettrica tra i due conduttori dovrebbe svanire, visto che il conduttore terrestre è diventato neutro; di conseguenza il conduttore marziano non dovrebbe più risentire di alcuna forza elettrica.

 

In questo modo dobbiamo ipotizzare che la forza si estingua ovunque, anche su Marte, nell'istante stesso in cui il conduttore terrestre diventa neutro. Ciò implica che l'interazione debba propagarsi a velocità infinita. La stessa cosa dovrebbe accadrebbe se il conduttore sulla Terra venisse caricato nuovamente: all'improvviso ricomparirebbe la forza anche su Marte, a svariati milioni di chilometri di distanza.

 

Questo semplice esperimento mentale ci fa scontrare con un problema non da poco: niente è più veloce della luce, come ci ha insegnato Einstein con le leggi della relatività ristretta. E allora come fa l'interazione elettrica a raggiungere istantaneamente corpi che si trovano a grandi distanze, quando la luce impiegherebbe alcuni minuti o anche di più? È evidente che qualcosa non torna... ;)


Lo stesso identico problema si riscontra anche con la forza gravitazionale. Il modo che abbiamo per superare le incongruenze appena viste è quello di concludere che non esiste una forza a distanza senza l'intervento di una grandezza fisica che funge da intermediario, ed è qui che fa la sua comparsa il concetto di campo.

 

Forze a distanza e campi: campo gravitazionale, campo elettrico

 

Ragioniamo nel caso gravitazionale, a noi già familiare. La massa della Terra genera attorno ad essa un campo di forze, per l'appunto il campo gravitazionale; in qualche modo la Terra conferisce allo spazio che la circonda la proprietà di attrarre verso di sé altri corpi dotati di massa che si trovano nel suo raggio d'azione.

 

Se inseriamo un corpo qualsiasi nella regione di spazio in cui è presente il campo gravitazionale terrestre, esso sarà soggetto a una forza che tende ad accelerarlo verso il centro della Terra. Dunque non è la Terra che fa cadere una pietra in modo diretto: la Terra genera un campo di forze (gravitazionale) e il campo agisce sulla pietra, determinandone la caduta.

 

Allo stesso modo possiamo affermare che anche una carica genera attorno a sé un campo di forze: il campo elettrico. La carica conferisce allo spazio circostante una proprietà che prima non aveva, e lo trasforma in una sede di forze elettriche. Il campo elettrico generato dalla carica interagisce con altre cariche presenti nello spazio circostante dando origine alla forza di Coulomb. Da qui si vede la funzione di intermediario del campo tra due (e più) cariche.

 

In che modo allora il concetto di campo ci permette di superare le difficoltà che abbiamo esposto in precedenza? Per rispondere è necessaria un'anticipazione degli studi sull'Elettromagnetismo, in cui scopriremo che il campo elettrico, il campo magnetico e il campo gravitazionale si propagano alla velocità della luce.

 

Per tornare all'esempio Terra-Marte, se la carica sulla Terra dovesse improvvisamente scomparire, la carica su Marte continuerebbe a risentire della forza elettrica ancora per poco più di 4 minuti, che è il tempo che impiega il campo per propagarsi dalla Terra a Marte. L'informazione "la carica terrestre è scomparsa" ha bisogno di tempo per raggiungere quella marziana, e fintanto che l'informazione non sarà arrivata la carica su Marte continuerà a risentire dell'azione della forza elettrica. In quel lasso di tempo il campo elettrico generato dalla carica che si trovava sulla Terra continuerà a manifestare i propri effetti sulla carica marziana.

 

Definizione di campo elettrico


Per fornire la definizione di campo elettrico consideriamo una carica Q. La sola presenza di tale carica genera attorno ad essa un campo elettrico nello spazio che la circonda. Qualsiasi altra carica q che venga introdotta nella regione di spazio in cui agisce il campo generato da Q risentirà di una forza di Coulomb, attrattiva o repulsiva a seconda del segno delle cariche interagenti.

 

Per definizione il campo elettrico generato da una carica Q in un punto dello spazio circostante è dato dal rapporto tra la forza che la carica Q eserciterebbe su una carica q^+ collocata in tale punto, detta carica di prova e considerata convenzionalmente positiva.

 

Da qui possiamo scrivere la prima formula del campo elettrico, che indichiamo con il simbolo \vec{E}. Detta \vec{F} la forza elettrica esercitata dalla carica Q sulla carica di prova q^+:

 

\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q^+}\ \ \ (\mbox{definizione generale})

 

La definizione è simile a quella che abbiamo già visto a suo tempo per il campo gravitazionale, e in una delle lezioni successive avremo modo di approfondire il confronto.

 

Per il momento siamo in grado di lavorare solamente con cariche puntiformi ma osserviamo che la precedente definizione non pone alcun vincolo sulla carica Q che genera il campo elettrico. In altre parole, si tratta di una definizione generale. Se però ragioniamo nel caso di una carica puntiforme Q, è possibile ricavare una formula particolare per il campo elettrico. In questo caso infatti possiamo applicare la legge di Coulomb e sostituire l'espressione di \vec{F}.

 

Se indichiamo con \vec{r} il vettore che congiunge Q con q^+ e diretto verso q^+, possiamo scrivere

 

\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q^+}=\frac{\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \dfrac{Qq^+}{r^2}\dfrac{\vec{r}}{r}}{q^+}

 

e dunque

 

\vec{E}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}\frac{\vec{r}}{r}\ \ \ (Q\mbox{ carica puntiforme})

 

Nell'ultimo passaggio abbiamo semplificato la carica di prova q^+: questo ci dice che il campo elettrico dipende solo dalla carica che lo genera, e non dalla carica di prova scelta per misurarlo. La definizione dunque è ben posta.

 

Campo elettrico VS campo elettrico in un punto

 

Continuiamo a ragionare per semplicità nel caso di una carica Q puntiforme, anche se ciò che stiamo per vedere vale in generale.

 

Lo scopo della carica di prova q^+ consiste nel poterla collocare in qualsiasi punto dello spazio: collocandola in un punto A, avremo un determinato vettore \vec{r}, una determinata forza \vec{F} e un determinato vettore di campo elettrico \vec{E}. Collocandola in un altro punto B, avremo altri vettori \vec{r},\vec{F},\vec{E}, e così via...

 

Il nocciolo della questione è che il campo elettrico generato da una carica corrisponde a un "insieme di vettori", perché per ogni punto dello spazio otteniamo un diverso vettore \vec{E}.

 

Per chi ha dimestichezza con Analisi 2, \vec{E} non è altro che un campo vettoriale (da cui l'appellativo di campo), ossia una funzione che a ogni vettore \vec{r} dello spazio associa un vettore \vec{E}(\vec{r}) dello spazio

 

\vec{E}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\\ \\ \vec{E}:\vec{r}\mapsto\vec{E}(\vec{r})

 

Lo si capisce facilmente dalla formula nel caso puntiforme:

 

\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}\frac{\vec{r}}{r}\ \ \ (Q\mbox{ carica puntiforme})

 

Ad ogni modo non addentriamoci in questo livello di trattazione matematica. Per il momento ci basta sapere che il campo elettrico generato da una carica è una grandezza che si manifesta nello spazio circostante, e che si descrive in ogni punto dello spazio con uno specifico vettore dato dalla definizione.

 

Caratteristiche e proprietà del campo elettrico

 

Proseguiamo e analizziamo le principali proprietà che caratterizzano i campi elettrici. ;)

 

 

1) Unità di misura del campo elettrico

 

L'unità di misura del campo elettrico discende direttamente dalla formula ed è data dal rapporto tra newton e coulomb:

 

E\ \to\ \frac{\mbox{N}}{\mbox{C}}

 

Nonostante la sua fondamentale importanza nella teoria dell'Elettromagnetismo, stranamente la Comunità Scientifica Internazionale non ha mai ritenuto di assegnare un nome all'unità di misura del campo elettrico, come ad esempio è successo per la forza o per la pressione.

 

 

2) Modulo del campo elettrico in un punto - Indipendenza del campo elettrico dal valore della carica di prova

 

Collocando la carica di prova in un punto dello spazio individuato da un vettore \vec{r} il campo elettrico si traduce in un vettore \vec{E}(\vec{r}). Il campo elettrico in un punto è dunque una grandezza vettoriale, per cui non basta indicarne il valore numerico (intensità) e bisogna anche specificarne la direzione e il verso.

 

Riguardo al modulo del campo elettrico potremo essere più precisi man mano che contestualizzeremo la definizione generale a varie configurazioni di carica, ma in ciascun caso esso non dipende dalla carica di prova q^+. Nel caso di una carica puntiforme Q è dato da:

 

E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{|Q|}{r^2}\ \ \ (Q\mbox{ carica puntiforme})

 

È possibile allora calcolare il modulo del campo E in un punto in cui non vi è alcuna carica di prova: basta solo conoscere il valore della carica Q che genera il campo e la distanza r che lo separa da essa. Ad esempio calcoliamo il campo elettrico a una distanza di 23 centimetri da una carica puntiforme di +34 nanocoulomb nel vuoto:

 

E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|Q|}{r^2}\simeq \\ \\ \\ \simeq \frac{1}{4 \pi \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \ \frac{\mbox{C}^2}{\mbox{N}\cdot \mbox{m}^2}} \cdot \frac{34 \cdot 10^{-9} \mbox{ C}}{(0,23\mbox{ m})^2} \simeq 5,8 \cdot 10^3\ \frac{\mbox{N}}{\mbox{C}}

 

In questo esempio abbiamo usato la formula per il campo elettrico esplicitando la forza di Coulomb con costante dielettrica del vuoto \varepsilon_0. Se invece ci trovassimo in un materiale, basterebbe sostituire \varepsilon_0 con la costante dielettrica assoluta del mezzo \varepsilon_m

 

E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_m}\frac{|Q|}{r^2}

 

Se sul fronte teorico il valore della carica di prova è irrilevante, va sottolineato che a livello sperimentale le cose cambiano. Soffermiamoci per un attimo sulla relazione tra campo elettrico e carica di prova.

 

Nella definizione si è soliti considerare come carica di prova una carica positiva, ed è questo il motivo per cui viene denotata con un esponente +. Da un punto di vista teorico il suo valore è irrilevante.

 

Nella pratica le cose cambiano: la carica di prova è da intendersi "piccola" rispetto a Q o, in termini più rigorosi, trascurabile. Ogni carica infatti genera attorno a sé un campo elettrico. Se il valore di q^+ non fosse trascurabile rispetto a quello di Q, non sarebbe trascurabile neppure il suo campo elettrico. Ciò comporterebbe un problema: i campi elettrici infatti si sovrappongono - ne parleremo nella prossima lezione - e il campo della carica di prova si sommerebbe al campo della carica Q.

 

Da un punto di vista sperimentale è bene allora che il valore di q^+ sia decisamente più piccolo di quello di Q, per evitare che la carica di prova disturbi il campo generato da Q che si intende misurare.

 

 

3) Direzione e verso del campo elettrico in un punto - Indipendenza del campo elettrico dal segno della carica di prova 

 

Possiamo affermare che la definizione di campo elettrico è indipendente anche dal segno della carica di prova? E che dire della sua direzione e del suo verso?

 

Immaginiamo di collocare una carica q non necessariamente positiva in un punto dello spazio circostante la carica Q. Riscriviamo la definizione di \vec{E}

 

\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q}

 

La direzione lungo cui si esercita la forza di Coulomb è data dalla retta che congiunge le cariche Q,q; questa è anche la direzione del vettore campo elettrico nel punto in cui è situata la carica di prova.

 

Il segno della carica di prova q regola il verso della forza di Coulomb \vec{F} in relazione al segno della carica Q, ma non quello del campo elettrico \vec{E}:

 

- con una carica di prova positiva il verso di \vec{E} coincide con il verso di \vec{F}

 

 

Campo elettrico

Campo elettrico con carica di prova positiva.

 

 

- con una carica di prova negativa il verso di \vec{E} è discorde rispetto al verso di \vec{F}

 

 

Campo elettrico con carica di prova negativa

Campo elettrico con carica di prova negativa.

 

 

Da questi disegni si vede che il verso del campo elettrico non dipende dal segno della carica di prova. Dipende solamente dal segno della carica Q:

 

- se la carica Q che genera il campo elettrico è positiva, il verso del campo elettrico è uscente;

 

- se la carica Q che genera il campo elettrico è negativa, il verso del campo elettrico è entrante;

 

Volendo disegnare il campo elettrico generato da una carica puntiforme potremmo fornire una rappresentazione di questo tipo (torneremo sull'argomento quando tratteremo le linee di campo elettrico):

 

 

Campo elettrico di una carica puntiforme

Campo elettrico generato da una carica puntiforme.

 

 

4) Campo elettrico e distanza dalla carica che lo genera

 

Il campo elettrico è inversamente proporzionale al quadrato della distanza del punto dalla carica, quindi la sua intensità diminuisce all'aumentare della distanza analogamente a quanto accade con la forza di Coulomb.

 

 

5) Campo elettrico uniforme

 

Da ultimo, diciamo che un campo elettrico \vec{E} è uniforme se in qualunque punto dello spazio assume sempre lo stesso modulo, la stessa direzione e lo stesso verso.

 

 


 

Nelle successive lezioni amplieremo il discorso. Se ci avete fatto caso, ci siamo focalizzati sulla nozione di campo elettrico generato da una carica puntiforme, ma come sappiamo le configurazioni di carica possono essere ben più variegate. Vedremo quindi come caratterizzare la formula del campo elettrico per alcune configurazioni notevoli:

 

- campo elettrico di una sfera carica

 

- campo elettrico di una distribuzione lineare di carica

 

- campo elettrico di un anello carico

 

- campo elettrico di un disco carico

 

- campo elettrico generato da un piano infinito di carica

 

Prima però abbiamo altri aspetti da trattare, cominciando dal principio di sovrapposizione dei campi elettrici. Per tutto il resto ricordatevi che qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti e altrettanti approfondimenti: potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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