Confronto tra forza elettrica e forza gravitazionale

Quando abbiamo trattato per la prima volta la legge di Coulomb abbiamo accennato di sfuggita alle somiglianze della formula rispetto a quella per la forza gravitazionale. In altri termini, rispetto alla legge di gravitazione universale.

Prima di proseguire con l'introduzione di ulteriori concetti sui fenomeni elettrici è opportuno approfondire il discorso. In questa lezione effettueremo un confronto dettagliato tra la forza di Coulomb e la forza di gravitazione universale, e metteremo in evidenza le analogie e le differenze tra le due leggi che le descrivono.

Forza elettrica e forza gravitazionale: analogie e differenze

I più attenti di voi avranno sicuramente notato che la struttura della legge di Coulomb è identica a quella della legge di gravitazione universale di Newton. Per chi non ci avesse fatto caso, riportiamo qui le due leggi così da confrontarle agevolmente.

Consideriamo due cariche e due corpi di massa . Per evitare di fare confusione con i pedici e con le diverse notazioni che si possono adottare al riguardo, limitiamoci a indicare con $\vec{F}_e$ la forza di Coulomb esercitata dalla carica sulla carica , e con $\vec{F}_g$ la forza gravitazionale esercitata dal corpo sul corpo .

Indichiamo con $\vec{r}$ il vettore con direzione congiungente le due cariche (i due corpi) e verso diretto dalla carica (dal corpo ) alla carica (al corpo ). Possiamo esprimere tale vettore come differenza dei vettori posizione delle due cariche (dei due corpi):

$\vec{r}=\vec{r}_2-\vec{r}_1$

e denotare con il suo modulo. In forma vettoriale:

$\vec{F}_e=k_0\frac{Q_1Q_2}{r^2}\frac{\vec{r}}{r}\ \ \ \mbox{elettrica}\\ \\ \\ \vec{F}_g=-G\frac{m_1m_2}{r^2}\frac{\vec{r}}{r}\ \ \ \mbox{gravitazionale}$

Con riferimento ai moduli delle forze:

$F_e=k_0\frac{|Q_1||Q_2|}{r^2}\ \ \ \mbox{elettrica}\\ \\ \\ F_g = G \frac{m_1m_2}{r^2}\ \ \ \mbox{gravitazionale}$

Analogie tra la forza di Coulomb e la forza gravitazionale

Vediamo subito quali sono gli aspetti in comune tra la legge di Coulomb e la legge di gravitazione universale.

A-1) Entrambe le forze dipendono da una costante universale, ossia da una costante che ha un valore fisso (se consideriamo la forza elettrica nel vuoto).

A-2) Entrambe le forze si esercitano su una coppia di corpi che interagiscono tra di loro.

A-3) Entrambe le forze sono direttamente proporzionali alle rispettive proprietà dei corpi che generano la forza: le cariche elettriche per la forza di Coulomb e le masse per quella gravitazionale.

A-4) Entrambe le forze sono inversamente proporzionali al quadrato della distanza tra i due corpi che interagiscono. Per entrambe si può dire che, ad esempio, se la distanza raddoppia, la forza diventa quattro volte meno intensa; se la distanza triplica, la forza diventa nove volte meno intensa. Il valore delle forze tende ad annullarsi quando la distanza tende all'infinito, ossia per valori enormemente grandi.

A-5) Entrambe le forze si esercitano a distanza. Non c'è bisogno di alcun contatto fisico tra i corpi affinché tali forze esistano e non necessitano nemmeno di un mezzo, tant'è vero che entrambe le forze si esercitano anche nel vuoto. Inoltre le due forze agiscono lungo la direzione data dal segmento che congiunge i corpi interagenti.

Differenze tra la forza di Coulomb e la forza gravitazionale

Veniamo ora alle differenze tra la legge di Coulomb e la legge di gravitazione universale.

D-1) Sappiamo che entrambe le forze dipendono da una costante; la differenza riguarda i loro valori. Mettiamole a confronto considerando i valori approssimati

$k_0\simeq 8,99 \cdot 10^9 \ \frac{\mbox{N}\cdot\mbox{m}^2}{\mbox{C}^2}\\ \\ \\ G \simeq 6,67 \cdot 10^{-11} \ \frac{\mbox{N}\cdot\mbox{m}^2}{\mbox{kg}^2}$

La costante di Coulomb è di 20 ordini di grandezza più grande della costante di gravitazione universale. Ciò lascia intendere che la forza elettrica è di gran lunga più intensa della forza gravitazionale, al punto che quest'ultima spesso non viene presa in considerazione.

Per fare un esempio pratico, proviamo a calcolare il modulo della forza elettrica che si genera tra un protone e un elettrone in un atomo di raggio pari a 1 angstrom (10^-10 m). Ricordiamo che la carica dell'elettrone vale $q_e\simeq -1,6\cdot 10^{-19}\mbox{ C}$ , mentre la carica del protone ha lo stesso modulo e segno positivo

$F_e = k_0\frac{|Q_1||Q_2|}{r^2}\simeq\\ \\ \\ \simeq \left(8,99 \cdot 10^9 \ \frac{\mbox{N}\cdot\mbox{m}^2}{\mbox{C}^2}\right) \cdot \frac{(1,6 \cdot 10^{-19} \mbox{ C}) \cdot (1,6 \cdot 10^{-19} \mbox{ C}) }{(10^{-10}\mbox{ m})^2} =\\ \\ \\ \simeq 2,3 \cdot 10^{-8} \mbox{ N}$

Ora calcoliamo quanto vale la forza gravitazionale tra elettrone e protone, ricordando che la massa dell'elettrone vale $m_e\simeq 9,11\cdot 10^{-31}\mbox{ kg}$ , mentre la massa del protone vale $m_p\simeq 1,67\cdot 10^{-27}\mbox{ kg}$

$F_g = G \frac{m_1m_2}{r^2} \simeq \\ \\ \\\ \simeq \left(6,67 \cdot 10^{-11} \ \frac{\mbox{N}\cdot\mbox{m}^2}{\mbox{kg}^2}\right) \cdot \frac{(9,11 \cdot 10^{-31} \mbox{ kg}) \cdot (1,67 \cdot 10^{-27} \mbox{ kg}) }{(10^{-10}\mbox{ m})^2} =\\ \\ \\ \simeq 1,02 \cdot 10^{-47} \mbox{ N}$

La differenza tra le intensità delle due forze è abissale! Nel mondo atomico e subatomico la forza gravitazionale è trascurabile, ma d'altra parte spesso non viene presa in considerazione neanche nel mondo macroscopico.

Per fare un esempio, la forza gravitazionale che attrae ciascuno di noi al frigorifero di casa YouMath esiste, ma è insignificante e non viene considerata nei problema di Dinamica. Ecco allora la prima differenza: l'intensità intrinseca delle due forze.

D-2) Se da un lato la forza gravitazionale è sempre e solo attrattiva, dall'altro la forza di Coulomb può essere attrattiva o repulsiva a seconda del segno delle cariche. A questo proposito si evidenzia che le cariche elettriche possono essere positive o negative, mentre le masse sono sempre positive.

D-3) Come ultima differenza possiamo affermare che la forza gravitazionale si esercita su qualunque coppia di corpi perché dipende unicamente dalla loro massa; la forza elettrica si manifesta invece solo tra corpi dotati di carica elettrica. Tra corpi neutri infatti non vi è alcuna interazione di natura elettrica.

Nella lezione successiva introdurremo un nuovo, fondamentale concetto nella descrizione dei fenomeni elettrici, o più precisamente una nuova grandezza fisica: il campo elettrico. Vi aspettiamo là! ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

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