Principio di sovrapposizione delle cariche elettriche

Il principio di sovrapposizione delle cariche elettriche (o delle forze elettriche) stabilisce che, in un sistema di cariche puntiformi, la forza risultante agente su una carica elettrica è data dalla somma vettoriale delle forze esercitate dalle altre cariche su di essa, considerate singolarmente e calcolate indipendentemente l'una dalle altre.

 

Dopo aver studiato la legge di Coulomb per la forza elettrica esercitata tra due cariche puntiformi, vogliamo estendere l'applicazione della formula al caso di sistemi costituiti da più cariche puntiformi. Il principio di sovrapposizione delle forze elettriche ci permetterà di raggiungere l'obiettivo in modo semplice, perché di fatto ridurrà il calcolo della forza elettrica totale esercitata su ciascuna carica a una mera somma vettoriale.

 

Come vedremo, l'enunciato del principio di sovrapposizione delle cariche di per sé è semplice. Nella spiegazione ci concentreremo sugli aspetti pratici e mostreremo come semplificare il calcolo vettoriale della forza risultante, prendendo come riferimento alcuni esempi svolti. In particolare spiegheremo come comportarsi con configurazioni monodimensionali, dunque con cariche elettriche allineate, e con configurazioni di cariche bidimensionali, ad esempio disposte sui vertici di una figura piana.

 

Sovrapposizione di cariche elettriche e di forze elettriche

 

Nella lezione sulla legge di Coulomb abbiamo scoperto come calcolare la forza elettrostatica esercitata tra due cariche elettriche puntiformi che interagiscono tra loro. Come possiamo calcolare la forza di Coulomb totale in presenza di tre o più cariche elettriche?

 

Negli esercizi e nelle applicazioni ci capiterà spessissimo di dover sommare più forze elettriche tra di loro, e dunque di dover calcolare la forza risultante. Bisogna sempre tenere a mente che sommare più forze significa calcolarne la somma vettoriale, tenendo conto di tutte le direzioni e i versi.

 

D'altro canto la legge della forza di Coulomb si applica sempre su coppie di cariche elettriche per cui, se abbiamo più di due cariche, dobbiamo calcolare le forze per tutte le coppie di cariche coinvolte prima di procedere con la somma vettoriale.

 

Il metodo di calcolo della forza elettrica risultante con tre o più cariche puntiformi si rifà al cosiddetto principio di sovrapposizione delle cariche elettriche (o equivalentemente principio di sovrapposizione delle forze elettriche). Esso stabilisce che in un sistema di cariche puntiformi la forza di Coulomb risultante, ossia esercitata su una carica da tutte le altre, è data dalla somma vettoriale delle forze esercitate dalle singole cariche sulla carica scelta, considerandole a coppie e indipendentemente le une dalle altre.

 

Proviamo a scrivere la formula del principio di sovrapposizione delle forze elettriche. Consideriamo un sistema di n cariche puntiformi Q_1,Q_2,...Q_n e soffermiamoci per semplicità sulla carica Q_1: la forza risultante agente su Q_1 è data da

 

\vec{F}_{ris,1}=\vec{F}_{12}+\vec{F}_{13}+\vec{F}_{14}+...+\vec{F}_{1n}

 

Generalizzando il discorso alla carica Q_j con 1\leq j\leq n, e utilizzando il simbolo di sommatoria:

 

\vec{F}_{ris,j}=\sum_{i=1..n,\ i\neq j}\vec{F}_{ji}

 

A ben vedere gli effetti di sovrapposizione delle cariche elettriche sono semplici dal punto di vista teorico:

 

- nei sistemi di tre cariche elettriche ci troveremo a calcolare la somma di due forze

 

\vec{F}_{ris,1}=\vec{F}_{12}+\vec{F}_{13}

 

- con più di tre cariche, invece, potremo ridurre coppie di forze a una sola sommandole vettorialmente, e reiterare il procedimento

 

\vec{F}_{ris,1}=\overbrace{\vec{F}_{12}+\vec{F}_{13}}^{\vec{F}_{123}}+\vec{F}_{14}+...+\vec{F}_{1n}=\\ \\ = \overbrace{\vec{F}_{123}+\vec{F}_{14}}^{\vec{F}_{1234}}+...+\vec{F}_{1n}=...

 

La pratica però nasconde qualche insidia. Bisogna infatti procedere con cautela e non confondere moduli, vettori e forma scalare dei vettori (segno e modulo). Dedichiamo il resto della spiegazione ad esempi svolti nel dettaglio considerando configurazioni di cariche monodimensionali e bidimensionali. ;)

 

Sovrapposizione di tre cariche elettriche allineate (configurazione monodimensionale)

 

Supponiamo di avere tre cariche elettriche, allineate come in figura.

 

 

Principio di sovrapposizione delle cariche elettriche

Sovrapposizione di tre cariche elettriche allineate.

 

 

Le cariche valgono

 

Q_1=+2\ \mu\mbox{C},\ Q_2=-3\ \mu\mbox{C},\ \mbox{Q}_3=+4\ \mu\mbox{C}

 

mentre le distanze valgono r_{12}=4\mbox{ cm},\ r_{23}=8\mbox{ cm}. Vogliamo stabilire a quale forza è sottoposta la carica Q_2.

 

Innanzitutto procediamo con il diagramma delle forze che si applicano alla sola carica Q_2; le altre non ci interessano.

 

 

Principio di sovrapposizione delle forze elettriche

Sovrapposizione di due forze elettriche parallele.

 

 

La carica elettrica Q_2 è soggetta a due diverse forze, i cui versi si stabiliscono considerando i segni delle cariche:

 

- la forza \vec{F}_{21} esercitata da Q_1 su Q_2 è attrattiva, in quanto le due cariche hanno segni opposti;

 

- la forza \vec{F}_{23} esercitata da Q_3 su Q_2 è altresì attrattiva, per lo stesso motivo.

 

Complessivamente la carica elettrica Q_2 si sentirà tirata verso sinistra dalla forza \vec{F}_{21} e verso destra dalla forza \vec{F}_{23}.

 

Prima di calcolare le due forze con la legge di Coulomb, ragioniamo. Poiché le tre cariche sono allineate potremmo considerare un sistema di riferimento monodimensionale, applicare la formula in versione scalare e semplificare la notazione vettoriale mediante i segni.

 

D'altronde le due forze hanno versi opposti e quindi dobbiamo prestare attenzione proprio ai segni, per cui procediamo con cautela e partiamo dai moduli delle due forze:

 

F=k_0\frac{|Q_1||Q_2|}{r^2}\\ \\ \\ F_{21} \simeq \left(8,99\cdot 10^9 \ \frac{\mbox{N}\cdot\mbox{m}^2}{\mbox{C}^2}\right)\cdot \frac{(2 \cdot 10^{-6}\ \mbox{C}) \cdot (3 \cdot 10^{-6}\ \mbox{C}) }{(0,04 \mbox{ m})^2} \simeq 33,7 \mbox{ N}\\ \\ \\ F_{23} \simeq \left(8,99\cdot 10^9 \ \frac{\mbox{N}\cdot\mbox{m}^2}{\mbox{C}^2}\right)\cdot \frac{(3 \cdot 10^{-6}\ \mbox{C}) \cdot (4 \cdot 10^{-6}\ \mbox{C}) }{(0,08 \mbox{ m})^2} \simeq 16,9 \mbox{ N}

 

Scriviamo l'espressione forza elettrica risultante come somma vettoriale e indichiamo la forza totale agente sulla carica Q_2 con \vec{F}_{ris,2}

 

\vec{F}_{ris,2}=\vec{F}_{21}+\vec{F}_{23}

 

Se fissiamo il sistema di riferimento monodimensionale con verso delle coordinate crescenti da sinistra verso destra, allora possiamo riscrivere la notazione vettoriale affiancando gli opportuni segni ai moduli.

 

In tal caso la forza esercitata da Q_1 su Q_2 è negativa mentre quella di Q_3 su Q_2 è positiva

 

F_{ris,2}=-F_{21}+F_{23}

 

In definitiva

 

F_{ris,2}=-33,7\ \mbox{N}+16,9\ \mbox{N}=-16,8\mbox{ N}

 

Siccome il risultato è negativo, la forza elettrica risultante attira la carica Q_2 verso Q_1.

 

Altro esempio di sovrapposizione di tre cariche allineate

 

Consideriamo un esercizio simile, ma con una richiesta diversa. Abbiamo nuovamente tre cariche allineate con Q_1=+4\ \mu\mbox{C},\ Q_3=+6\ \mu\mbox{C},\ Q_2<0; la distanza tra Q_1 e Q_3 è r_{13}=d=20\mbox{ cm}.

 

 

Esempio di sovrapposizione delle forze elettriche

Altro esempio sulla sovrapposizione di due forze elettriche.

 

 

Questa volta vogliamo sapere a quale distanza da Q_1 è necessario collocare la carica Q_2 per fare in modo che essa sia in equilibrio, ossia che la forza risultante agente su Q_2 sia nulla.

 

L'esercizio ci sta chiedendo di calcolare la distanza x tale per cui le forze \vec{F}_{21},\vec{F}_{23} che si esercitano su Q_2 siano uguali e opposte.

 

È chiaro che per realizzare tale condizione Q_2 deve necessariamente trovarsi in una posizione intermedia tra le altre due cariche. Poiché non riusciamo a calcolare nessuna delle due forze per mancanza di dati (non conosciamo le distanze r_{12},r_{23} né la carica Q_2), dobbiamo procedere impostando l'equazione

 

\vec{F}_{ris,2}=0

 

ossia

 

\vec{F}_{21}+\vec{F}_{23}=0

 

Attenzione: in questo frangente è importante non fare confusione tra le intensità delle forze, non negative per definizione, e le notazioni vettoriali semplificate tipiche dei problemi monodimensionali (vale a dire i moduli con segno). Fissiamo per semplicità un riferimento monodimensionale con coordinate crescenti verso destra, per cui possiamo riscrivere l'equazione vettoriale nella forma

 

-F_{21}+F_{23}=0

 

Non conosciamo il valore della carica Q_2, ma non importa. Esplicitiamo i moduli delle forze nella precedente equazione

 

-k_0 \frac{|Q_1||Q_2|}{r_{12}^2} + k_0 \frac{|Q_2||Q_3|}{r_{23}^2}=0

 

ossia

 

k_0 \frac{|Q_1||Q_2|}{r_{12}^2} = k_0 \frac{|Q_2||Q_3|}{r_{23}^2}

 

Se chiamiamo x la distanza tra Q_1 e Q_2, allora la distanza tra Q_2 e Q_3 può essere scritta come d-x

 

r_{12}:=x\ \ \to\ \ r_{23}=r_{13}-r_{12}=d-x

 

da cui

 

k_0 \frac{|Q_1||Q_2|}{x^2} = k_0 \frac{|Q_2||Q_3|}{(d - x)^2}

 

Ci siamo ricondotti a un'equazione di secondo grado nell'incognita x. Semplifichiamo la costante k_0 e |Q_2|, eliminiamo i moduli sulle cariche Q_1,Q_3 (in quanto positive) e svolgiamo i calcoli.

 

\frac{Q_1}{x^2}=\frac{Q_3}{(d-x)^2}\\ \\ \\ Q_1(d-x)^2=Q_3x^2

 

Ora sviluppiamo il quadrato di binomio al primo membro:

 

Q_1(d^2-2dx+x^2)=Q_3x^2\\ \\ Q_1d^2 - 2Q_1dx + Q_1x^2 - Q_3x^2 = 0

 

Riordiniamo i termini e applichiamo la formula del discriminante

 

(Q_1 - Q_3)x^2  - 2Q_1dx + Q_1d^2 = 0\\ \\ x_{1,2} = \frac{2Q_1d \pm \sqrt{4Q_1^2d^2 - 4Q_1d^2(Q_1 - Q_3)}}{2(Q_1 - Q_3)} = \\ \\ \\ =\frac{2Q_1d \pm \sqrt{4Q_1^2d^2 - 4Q_1^2d^2 + 4d^2Q_1Q_3}}{2(Q_1 - Q_3)} = \\ \\ \\ =\frac{2Q_1d \pm 2d \sqrt{Q_1Q_3}}{2(Q_1 - Q_3)} = \\ \\\ \\ =\frac{d(Q_1 \pm \sqrt{Q_1Q_3})}{ Q_1 - Q_3}

 

Sostituendo i dati otteniamo due possibili risultati:

 

x_1 \simeq - 0,89 \mbox{ m}\ \ \ ;\ \ \ x_2 \simeq 0,09 \mbox{ m}

 

Il primo risultato va scartato, dal momento che stiamo calcolando una distanza e in quanto tale non può essere negativa. Concludiamo quindi che collocando la carica Q_2 a una distanza di 9 centimetri a destra della carica Q_1, la forza risultante che si eserciterà su di essa è nulla.

 

Sovrapposizione di quattro cariche elettriche (configurazione bidimensionale)

 

Vediamo un esempio con una configurazione bidimensionale costituita da quattro cariche elettriche disposte ai vertici di un quadrato.

 

 

Principio di sovrapposizione delle cariche elettriche in un quadrato

Sovrapposizione di cariche elettriche ai vertici di un quadrato.

 

 

Abbiamo quattro cariche disposte ai vertici di un quadrato di lato l=10\mbox{ cm}, con i seguenti valori:

 

Q_1=Q_3=+4\ \mu\mbox{C}\ \ ;\ \ Q_2=Q_4=-4\ \mu\mbox{C}

 

Vogliamo calcolare la forza risultante sulla carica Q_1.

 

Cominciamo con un disegno di tutte che le forze che agiscono sulla carica Q_1, individuando di volta in volta il verso delle forze dai segni delle coppie di cariche che consideriamo. Ad esempio tra Q_1 e Q_2 la forza è attrattiva perché le due cariche hanno segno opposto, pertanto Q_1 verrà attratta verso destra.

 

 

Principio di sovrapposizione delle forze elettriche in un quadrato

Sovrapposizione di forze elettriche con configurazione a quadrato.

 

 

Calcoliamo il modulo della forza esercitata su Q_1 da Q_2:

 

F_{12}=k_0 \frac{|Q_1||Q_2|}{l^2}\simeq \\ \\ \\ \simeq \left(8,99\cdot 10^9 \ \frac{\mbox{N}\cdot\mbox{m}^2}{\mbox{C}^2}\right) \cdot \frac{(4 \cdot 10^{-6}\ \mbox{C}) \cdot (4 \cdot 10^{-6}\ \mbox{C})}{(0,10 \mbox{ m})^2} \simeq 14,4\ \mbox{N}

 

Poiché abbiamo gli stessi valori di carica e la stessa distanza, la forza su Q_1 da parte di Q_4 è anche'essa di 14,4 C. Cambia invece il valore della forza tra Q_1 e Q_3: i valori delle cariche sono gli stessi ma cambia la distanza, che in questo caso è data dalla misura della diagonale del quadrato d\simeq 0,14\mbox{ m}.

 

F_{13} \simeq \left(8,99\cdot 10^9 \ \frac{\mbox{N}\cdot\mbox{m}^2}{\mbox{C}^2}\right) \cdot \frac{(4 \cdot 10^{-6}\ \mbox{C}) \cdot (4 \cdot 10^{-6}\ \mbox{C})}{(0,14 \mbox{ m})^2} \simeq 7,34\ \mbox{N}

 

Ora dobbiamo sommare vettorialmente tutte le forze: cominciamo con F_{12} e F_{14}. Poiché le due forze sono uguali e perpendicolari, la risultante allora sarà diretta lungo la diagonale e punterà verso il centro del quadrato, in accordo con la regola del parallelogramma. Possiamo calcolarne il modulo col teorema di Pitagora, oppure ricordandoci che la diagonale del quadrato è pari al lato moltiplicato per la radice di 2.

 

F_{124} = \sqrt{2} F_{12} \simeq 20,4\ \mbox{N}

 

Le forze F_{124} e F_{13} sono parallele e discordi, quindi per trovare la forza risultante dobbiamo sottrarle. Impostiamo il calcolo scegliendo come verso di coordinate crescenti quello che punta verso il centro del quadrato

 

F = +F_{124} - F_{13} \simeq 13,1\ \mbox{N}

 

In conclusione la forza risultante esercitata su Q_1 dalle altre tre cariche è diretta lungo la diagonale del quadrato e punta verso il centro.

 

Da notare che nello svolgimento abbiamo ragionato sulle coppie di cariche e successivamente sulle coppie di forze. Non abbiamo fissato un vero e proprio sistema di riferimento bidimensionale e abbiamo calcolato le somme vettoriali con un'impostazione geometrica. In modo del tutto equivalente avremmo potuto fissare un piano cartesiano, esprimere i vettori mediante le loro componenti ed effettuare i calcoli; così facendo saremmo giunti al medesimo risultato.

 

 


 

Più avanti nel corso di Elettrostatica tratteremo un altro importante principio di sovrapposizione: dopo aver studiato il concetto di campo elettrico, vedremo infatti il principio di sovrapposizione dei campi elettrici. Nel mentre vi raccomandiamo di usare la barra di ricerca interna per trovare le risposte a tutte le vostre domande; qui su YM ci sono tantissimi esercizi svolti e spiegati nel dettaglio. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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