Legge di Coulomb e forza di Coulomb

La legge di Coulomb consiste in una formula per il calcolo della forza elettrostatica (detta anche forza di Coulomb) esercitata tra due cariche elettriche che interagiscono tra di loro. La relativa formula permette di calcolare la forza elettrica nel vuoto o in un materiale, rispettivamente mediante la costante dielettrica del vuoto o del mezzo.

 

In questa lunga lezione affronteremo la prima, vera formula di Elettrostatica. La legge di Coulomb ci permetterà di calcolare la forza elettrica esercitata tra due cariche, e di comprendere finalmente perché cariche con segni opposti si attraggono e cariche con segni concordi si respingono.

 

Dapprima presenteremo la formula della legge di Coulomb per l'intensità della forza elettrica nel vuoto. Passeremo quindi ad analizzare l'enunciato, alla versione vettoriale della legge e alla versione semplificata per sistemi di riferimento a una dimensione.

 

Nella seconda parte della lezione vedremo come calcolare la forza di Coulomb nella materia introducendo due apposite costanti: la costante dielettrica relativa del mezzo e la costante dielettrica assoluta del mezzo.

 

Enunciato e formula della legge di Coulomb

 

Finora ci siamo occupati in modo qualitativo dei fenomeni di elettrizzazione e abbiamo parlato in modo generico della forza elettrica, o più precisamente della forza elettrostatica, ma non abbiamo mai fatto riferimento a una legge che ci permettesse di capire da cosa dipende, né che ci desse la possibilità di calcolarla.

 

Quello che sappiamo è che, data una coppia di cariche elettriche, esse esercitano una forza l'una sull'altra, e che tale forza elettrostatica può essere attrattiva o repulsiva a seconda del segno delle cariche interagenti.

 

La legge che permette di calcolare la forza elettrica esercitata tra due cariche è detta legge di Coulomb, in onore del fisico e ingegnere francese Charles Augustin de Coulomb (1736 - 1806). Essa stabilisce che la forza elettrostatica che si esercita tra due cariche puntiformi è direttamente proporzionale alle cariche e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.

 

Alla luce di tale enunciato possiamo riferirci alla forza elettrostatica con il nome di forza di Coulomb, e possiamo scrivere agevolmente la formula della legge di Coulomb per il modulo F della forza:

 

F=k_{0}\frac{|Q_1| \cdot |Q_2|}{r^2}\ \ \ (\mbox{modulo})

 

Tale formula consente di calcolare l'intensità della forza elettrica esercitata dalla prima carica sulla seconda o, equivalentemente, dalla seconda carica sulla prima:

 

- con Q_1,Q_2 indichiamo le cariche elettriche coinvolte, che come già sappiamo si misurano in coulomb (\mbox{C}). Da notare che ci stiamo riferendo a una formula per l'intensità della forza, motivo per cui stiamo considerando i valori assoluti delle cariche;

 

- con r indichiamo la distanza reciproca tra le cariche, espressa in metri;

 

- con k_0 denotiamo la costante di proporzionalità a cui si riferisce l'enunciato. Attenzione al pedice "con zero", su cui torneremo nel prosieguo della lezione: il simbolo k_0 si riferisce a una costante tale per cui la legge di Coulomb è valida nel vuoto, vale a dire supponendo che le due cariche interagiscano tra loro nel vuoto, e prende il nome di costante di Coulomb nel vuoto. Il suo valore viene determinato sperimentalmente ed è dato da:

 

k_0= 8,987\ 551\ 787\ 368\ 176 \cdot 10^9\ \frac{\mbox{N}\cdot \mbox{m}^2}{\mbox{C}^2}

 

Se preferite, con un'approssimazione alla seconda cifra decimale

 

k_0\simeq 8,99 \cdot 10^9\ \frac{\mbox{N}\cdot \mbox{m}^2}{\mbox{C}^2}

 

Da notare che l'unità di misura della costante di Coulomb è coerente con la formula, e che mettendo tutto assieme otteniamo come unità di misura della forza di Coulomb il newton (\mbox{N}).

 

Per quanto riguarda le formule inverse della legge di Coulomb per ciascuna delle due cariche elettriche (c'è perfetta simmetria) e per la distanza:

 

|Q_1|=\frac{F \cdot r^2}{k_0 \cdot |Q_2|}\ \ \ ;\ \ \ r=\sqrt{k_0 \frac{|Q_1| \cdot |Q_2|}{F}}

 

Significato della legge di Coulomb e caratteristiche della forza di Coulomb

 

Analizziamo nel dettaglio la legge per la forza di Coulomb tra due cariche elettriche in modo da comprenderne il significato. La legge di Coulomb stabilisce che:

 

1) quanto maggiore è il valore delle cariche elettriche, tanto maggiore è l'intensità della forza con cui esse si attraggono o si respingono;

 

2) a parità di cariche elettriche, a una maggiore distanza corrisponde una minore forza elettrostatica.

 

Ad esempio se manteniamo fisso il valore di Q_1 e di r e raddoppiamo il valore di Q_2, l'intensità della forza raddoppia. Se raddoppiamo il valore di entrambe le cariche, la forza diventa quattro volte maggiore.

 

Se invece manteniamo fissi i valori delle cariche Q_1,Q_2 e raddoppiamo la distanza r, la forza diventa quattro volte meno intensa; se la distanza triplica, la forza diventa nove volte meno intensa. Questo è il tipico comportamento che si ritrova in una relazione di proporzionalità quadratica inversa, che tra l'altro avevamo già riscontrato nella legge di gravitazione universale.

 

In effetti, a ben vedere, la legge di Coulomb presenta parecchie analogie rispetto alla legge per l'interazione gravitazionale tra due corpi... Ma è presto per effettuare un confronto. Ce ne occuperemo in seguito. ;)

 

A questo punto è bene specificare una condizione che potrebbe essere passata sotto traccia nella lettura dell'enunciato: la legge di Coulomb si applica su cariche puntiformi. Ciò non implica che essa abbia una valenza solamente teorica; piuttosto, la condizione di cariche puntiformi significa che le dimensioni delle cariche devono essere trascurabili rispetto alla loro distanza reciproca r.

 

Inoltre la forza di Coulomb si esercita a distanza, per cui non è necessario che i due corpi carichi entrino in contatto affinché si generi la forza. Il suo raggio di azione è infinito, pertanto la forza elettrica è comunque presente anche per distanze molto grandi, seppur con un valore sempre più piccolo. A tal proposito si dice che la forza di Coulomb si annulla completamente quando le due cariche si trovano a distanza infinita l'una dall'altra.

 

Un'ulteriore proprietà della forza elettrica è che essa si genera a coppie, per cui la carica Q_1 risente della stessa identica forza (in modulo) alla quale è soggetta anche Q_2 (principio di azione e reazione).

 

Da ultimo, sappiamo che cariche dello stesso segno si attraggono e che cariche di segni opposti si respingono. Per comprendere il motivo di tale proprietà è però necessario considerare la forma vettoriale della legge di Coulomb, che vedremo tra un istante.

 

Forza di coulomb

Forza di Coulomb attrattiva o repulsiva e segno delle cariche.

 

Legge di Coulomb in forma vettoriale

 

In precedenza abbiamo scritto la legge di Coulomb per il modulo della forza, ma la formulazione più completa è data dall'equazione in versione vettoriale. Premettiamo che questa parte della lezione si rivolge a chi ha dimestichezza con il calcolo vettoriale; tutti gli altri possono passare direttamente alla versione scalare, oppure leggere a titolo di curiosità. ;)

 

Consideriamo un generico sistema di riferimento tridimensionale e supponiamo che le cariche siano puntiformi. La formula vettoriale della legge di Coulomb per la forza esercitata sulla carica Q2 dalla carica Q1 nel vuoto è data da

 

\vec{F}_{21}=k_0Q_1Q_2\frac{P_2-P_1}{||P_2-P_1||^3}\ \ \ (\mbox{vettoriale})

 

dove P_2,P_1 sono rispettivamente i vettori delle coordinate cartesiane (vettori posizione) delle cariche Q_2,Q_1 nel sistema di riferimento considerato, e ||\cdot|| indica la norma vettoriale.

 

Attenzione alle notazioni sui pedici: noi per comodità indicheremo sempre la carica su cui viene esercitata la forza con il primo pedice e la carica da cui viene esercitata la forza con il secondo pedice. In generale può capitare di imbattersi in testi che utilizzano la notazione inversa. Non è importante: ciò che conta è tenere a mente i concetti e rimanere sempre coerenti con la notazione che si adotta. ;)

 

\vec{F}_{\bullet\ \bullet}\ =\ \vec{F}_{\mbox{sulla carica - dalla carica}}

 

La forza di Coulomb esercitata sulla carica Q_1 dalla carica Q_2 è quella opposta alla precedente, e ha una formulazione perfettamente simmetrica

 

\vec{F}_{12}=-\vec{F}_{21}=k_0Q_1Q_2\frac{P_1-P_2}{||P_1-P_2||^3}

 

Consideriamo la prima delle due formule, per la seconda varrà un ragionamento analogo. La differenza tra i vettori posizione P_2-P_1 corrisponde al vettore che, tipicamente, denoteremmo con \overrightarrow{P_1P_2}

 

\overrightarrow{P_1P_2}=P_2-P_1

 

ossia al vettore che parte da P_1 e che punta a P_2.

 

 

Legge di Coulomb

Legge di Coulomb in forma vettoriale.

 

 

Da qui si capisce perché il segno delle cariche determina una forza elettrica attrattiva o repulsiva:

 

- se le cariche hanno segni concordi, la forza di Coulomb \vec{F}_{21} esercitata su Q_2 da Q_1 punta verso Q_2 lungo la direzione che le congiunge. Ciò significa che la forza elettrostatica tende ad allontanare le cariche, che quindi si respingono;

 

- se le cariche hanno segni discordi, la forza di Coulomb \vec{F}_{21} esercitata su Q_2 da Q_1 punta verso Q_1 lungo la direzione che le congiunge. Ciò significa che la forza elettrostatica tende ad avvicinare le cariche, che dunque si attraggono.

 

Indicando con

 

\vec{r}:=\overrightarrow{P_1P_2}=P_2-P_1

 

il vettore che congiunge le due cariche e che punta dalla prima alla seconda, e con r il suo modulo, possiamo scrivere

 

\vec{F}_{21}=k_0Q_1Q_2\frac{\vec{r}}{r^3}=k_0\frac{Q_1Q_2}{r^2}\frac{\vec{r}}{r}

 

Il rapporto tra il vettore e il suo modulo individua il corrispondente versore \hat{r}, ossia il vettore con la medesima direzione e lo stesso verso, ma di norma 1

 

\vec{F}_{21}=k_0\frac{Q_1Q_2}{r^2}\hat{r}\ \ \ (\mbox{vettoriale})

 

Legge di Coulomb in forma scalare

 

Vi ricordate le applicazioni che abbiamo affrontato in Dinamica? Il calcolo vettoriale spesso e volentieri può essere semplificato scomponendo le forze lungo le direzioni degli assi di un sistema di riferimento opportunamente scelto; in casi particolari, determinati problemi possono essere ridotti a sistemi di riferimento in una singola dimensione.

 

Anche nel caso della legge di Coulomb possiamo semplificare un po' le cose: mettendoci nella "giusta prospettiva" possiamo riscrivere la formula vettoriale in una versione semplificata, prestando sempre attenzione ai segni, rimanendo coerenti con la scelta del sistema di riferimento e ricordando la differenza tra vettore e modulo di un vettore.

 

Date due cariche puntiformi Q_1,Q_2 possiamo considerare un opportuno sistema di riferimento monodimensionale, con direzione data dalla congiungente tra le due cariche. In questo modo abbiamo due possibilità di scelta sul verso:

 

(1) verso diretto da Q_1 a Q_2;

 

(2) verso diretto da Q_2 a Q_1;

 

Ci proponiamo di scrivere la legge di Coulomb in forma scalare, ossia di esprimere \vec{F}_{21} mediante il suo modulo F_{21} e individuandone il verso mediante segno. Ricordando che il modulo della forza è non negativo, ci sono quattro possibilità.

 

(A) Sistema di riferimento con verso da Q_1 a Q_2. Cariche con lo stesso segno (Q_1Q_2>0). In tal caso la forza esercitata su Q_2 da Q_1 è repulsiva e concorde al verso del SdR

 

\vec{F}_{21}=+F_{21}

 

(B) Sistema di riferimento con verso da Q_1 a Q_2. Cariche con segni opposti (Q_1Q_2<0). In tal caso la forza esercitata su Q_2 da Q_1 è attrattiva e discorde al verso del SdR

 

\vec{F}_{21}=-F_{21}

 

Quali che siano i segni delle cariche in (1), possiamo riassumere i due casi (A) e (B) con la formula

 

\vec{F}_{21}=k_0\frac{Q_1Q_2}{r^2}

 

(C) Sistema di riferimento con verso da Q_2 a Q_1. Cariche con lo stesso segno (Q_1Q_2>0). In tal caso la forza esercitata su Q_2 da Q_1 è repulsiva e discorde al verso del SdR

 

\vec{F}_{21}=-F_{21}

 

(D) Sistema di riferimento con verso da Q_2 a Q_1. Cariche con segni opposti (Q_1Q_2<0). In tal caso la forza esercitata su Q_2 da Q_1 è attrattiva e concorde al verso del SdR

 

\vec{F}_{21}=+F_{21}

 

Indipendentemente dai segni delle cariche in (2), possiamo riassumere i due casi (C) e (D) con la formula

 

\vec{F}_{21}=-k_0\frac{Q_1Q_2}{r^2}

 

Negli esercizi prediligeremo ovviamente (1) come sistema di riferimento, in modo che il verso punti alla carica su cui viene esercitata la forza elettrica. In ogni caso la scelta è arbitraria: l'importante è che il ragionamento e i calcoli siano coerenti con essa.

 

 

Legge di Coulomb in forma scalare

Legge di Coulomb in forma scalare.

 

Esempi di applicazione della legge di Coulomb

 

Proviamo a calcolare la forza di Coulomb in un esempio. Consideriamo due cariche elettriche Q_1=+2,3\ \mu\mbox{C} e Q_2=+1,4\ \mu\mbox{C} a una distanza reciproca di r=0,85\mbox{ m}. In accordo con i prefissi del Sistema Internazionale, il simbolo \mu\mbox{C} va letto come microcoulomb.

 

Limitiamoci al calcolo del modulo della forza. La forza elettrostatica che agisce tra le due cariche ha un'intensità data da:

 

F=k_{0}\frac{|Q_1| \cdot |Q_2|}{r^2}=\\ \\ \\ \simeq 8,99 \cdot 10^{9}\ \frac{\mbox{N}\cdot \mbox{m}^2}{\mbox{C}^2} \cdot \frac{(2,3 \cdot 10^{-6} \mbox{ C}) \cdot (1,4 \cdot 10^{-6} \mbox{ C})}{(0,85 \mbox{ m})^2}\simeq 0,04 \mbox{ N}

 

Poiché le due cariche hanno segni concordi possiamo affermare che la forza elettrostatica, in questo caso, è repulsiva.

 

Ora proviamo a calcolare il modulo della forza che si esercita tra due cariche di 1 coulomb poste alla distanza di 1 metro:

 

F=k_{0}\frac{|Q_1| \cdot |Q_2|}{r^2}=\\ \\ \\ \simeq \left(8,99 \cdot 10^9\ \frac{\mbox{N}\cdot \mbox{m}^2}{\mbox{C}^2}\right)\cdot \frac{(1 \mbox{ C}) \cdot (1 \mbox{ C})}{(1 \mbox{ m})^2}=8,99 \cdot 10^9\mbox{ N}

 

Quasi 9 miliardi di newton: con una forza simile potremmo sollevare un oggetto da 900 000 tonnellate! Questo ci dice che una carica di 1 C è davvero enorme, e che il Coulomb è un'unità di misura tale per cui i valori con cui ci si confronta richiedono spesso l'uso dei prefissi del Sistema Internazionale.

 

Forza di Coulomb nella materia

 

Come abbiamo già visto, la costante di proporzionalità che compare nelle precedenti formule (k_0) prende il nome di costante di Coulomb nel vuoto. Quando scriviamo la formula con tale costante stiamo considerando la forza che si esercita tra due cariche elettriche poste nel vuoto. È chiaro però che il vuoto è una condizione estrema da realizzare, perché normalmente i corpi sono sempre immersi in un materiale (come ad esempio l'aria).

 

La domanda sorge spontanea: come possiamo modificare la legge di Coulomb quando le cariche non si trovano nel vuoto?

 

Torniamo per un momento alla costante k_0. Lo sviluppo della teoria dell'elettricità ha indotto i fisici a proporne una diversa formulazione introducendo una costante nuova, per motivi che ci saranno chiari in seguito:

 

k_0=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}

 

La nuova costante \varepsilon_0 prende il nome di costante dielettrica del vuoto. Il suo valore è

 

\varepsilon_0 =8,854\ 187\ 817\ 6\cdot 10^{-12}\ \frac{\mbox{ C}^2}{\mbox{N}\cdot \mbox{m}^{2}}

 

o, in forma approssimata

 

\varepsilon_0 \simeq 8,85\cdot 10^{-12}\ \frac{\mbox{ C}^2}{\mbox{N}\cdot \mbox{m}^{2}}

 

Essa ci permette di esprimere il modulo della forza di Coulomb nel modo seguente

 

F=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|Q_1|\cdot |Q_2|}{r^2}

 

e di riscriverne la forma vettoriale di conseguenza. Sottolineiamo che usare la formula con la costante di Coulomb nel vuoto k_0 o quella con la costante dielettrica nel vuoto \varepsilon_0 è del tutto indifferente.

 

Con questa premessa ci proponiamo di stabilire come cambia la legge di Coulomb con due cariche nella materia. Consideriamo due cariche elettriche dentro un materiale, come l'acqua ad esempio, e misuriamo sperimentalmente la forza elettrica con la quale interagiscono. Si osserva che tale forza è inferiore rispetto alla forza che si misurerebbe tra le stesse cariche nel vuoto.

 

Costante dielettrica relativa del mezzo

 

Quale che sia il mezzo interposto tra le due cariche, esso attenua l'intensità della forza elettrica rendendola più debole. Ma di quanto? Ogni volta che si lavora con diversi materiali, ci si imbatte spesso con qualche costante il cui valore varia a seconda del materiale considerato.

 

È così anche in questo caso: per capire di quanto si attenua la forza elettrica in un mezzo possiamo calcolare il rapporto tra la forza nel vuoto (F_0) e quella nel mezzo (F_m). Denotiamo tale rapporto con il simbolo \varepsilon_{r,m} e lo chiamiamo costante dielettrica relativa del mezzo

 

\varepsilon_{r,m}=\frac{F_0}{F_m}

 

Poiché la forza di Coulomb nel vuoto è sempre maggiore della forza di Coulomb in qualsiasi mezzo, ne consegue che la costante dielettrica relativa sarà sempre maggiore di 1

 

F_0>F_m\ \ \Rightarrow\ \ \varepsilon_{r,m}>1

 

Nel caso particolare in cui ci trovassimo nel vuoto, le due forze coinciderebbero e otterremmo una costante dielettrica relativa pari a 1

 

F_m=F_0\ \ \Rightarrow\ \ \varepsilon_{r,0}=1

 

Trattandosi di un rapporto tra due grandezze dello stesso tipo, \varepsilon_{r,m} è un numero puro e non ha unità di misura.

 

Da notare che la costante dielettrica relativa dipende solo dal mezzo, non dalle cariche elettriche coinvolte e nemmeno dalla loro distanza. È opportuno quindi che sia il problema a dirci quale valore utilizzare per il materiale considerato, o che ci sia data la possibilità di consultarne il valore su una apposita tabella (approfondimento: costante dielettrica). Per citarne due tra i più ricorrenti:

 

- la costante dielettrica relativa dell'acqua \varepsilon_{r,H_2O}=80;

 

- la costante dielettrica relativa dell'aria \varepsilon_{r,aria}=1,00054;

 

Nel caso dell'aria si capisce che, negli esercizi, si può calcolare la forza elettrostatica tra due cariche usando in buona approssimazione le costanti valide per il vuoto, ossia k_0 e \varepsilon_0.

 

La sintesi del discorso è che la legge di Coulomb nella materia si formula considerando il rapporto tra la forza di Coulomb nel vuoto e la costante dielettrica relativa del mezzo considerato

 

F_m=\frac{F_0}{\varepsilon_{r,m}}

 

Per ricavare l'intensità della forza in un materiale potremo quindi calcolarla nel vuoto e successivamente dividerla per la costante dielettrica relativa del mezzo.

 

Costante dielettrica assoluta del mezzo

 

Se riprendiamo l'ultima formula che abbiamo scritto

 

F_m=\frac{F_0}{\varepsilon_{r,m}}

 

notiamo che possiamo ricavarne un'ulteriore versione per la legge di Coulomb nella materia. L'idea è di metterci in condizione di calcolare direttamente F_m senza dover calcolare la forza elettrostatica nel vuoto F_0.

 

Sostituiamo a F_0 l'espressione della legge di Coulomb nel vuoto:

 

F_m=\frac{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|Q_1|\cdot |Q_2|}{r^2}}{\varepsilon_{r,m}}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0\varepsilon_{r,m}} \frac{|Q_1|\cdot |Q_2|}{r^2}

 

ossia

 

F_m=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0\varepsilon_{r,m}} \frac{|Q_1|\cdot |Q_2|}{r^2}

 

A partire da tale osservazione si è soliti definire un'ulteriore costante \varepsilon_m, detta costante dielettrica assoluta del mezzo, che è data semplicemente dal prodotto delle due costanti dielettriche \varepsilon_0 e \varepsilon_{r,m}. Poiché \varepsilon_{r,m} è un numero puro, \varepsilon_m ha la stessa unità di misura di \varepsilon_0.

 

\varepsilon_m=\varepsilon_0 \varepsilon_{r,m}

 

Facendo uso di questa nuova costante, la legge di Coulomb in un mezzo diventa:

 

F_m=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_m} \frac{|Q_1|\cdot |Q_2|}{r^2}

 

Calcoliamo ad esempio la forza di attrazione che si esercita tra le cariche Q_1=7\ \mu\mbox{C} e Q_2=5\ \mu\mbox{C} poste nel vetro (\varepsilon_{r,m}=7,5) alla distanza reciproca di r=20\mbox{ cm}.

 

Ricordando che \varepsilon_m=\varepsilon_0 \varepsilon_{r,m}:

 

F_m=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_m} \frac{|Q_1|\cdot |Q_2|}{r^2}\simeq \\ \\ \\ \simeq \frac{1}{4 \pi \cdot \left(8,85 \cdot 10^{-12} \cdot \frac{\mbox{C}^2}{\mbox{N}\cdot\mbox{m}^2}\right) \cdot 7,5} \cdot \frac{(7 \cdot 10^{-6} \mbox{ C}) \cdot (5 \cdot 10^{-6} \mbox{ C})}{(0,20 \mbox{ m})^2}\simeq 1,05 \mbox{ N}

 

 


 

Non lasciatevi spaventare dalla varietà di formule che abbiamo elencato nel corso della spiegazione: scegliete la variante della formula che più vi conviene in base ai dati, ricordate i concetti ed eventualmente ricavate le altre formule. ;) 

 

Qui abbiamo finito. Nella puntata successiva del corso vedremo come estendere la legge di Coulomb al caso di tre o più cariche elettriche; come di consueto vi ricordiamo che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e altrettanti approfondimenti, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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