Formulario di Dinamica

In questa pagina riepiloghiamo tutte le principali formule di Dinamica presentate, spiegate e dimostrate nella sezione di Dinamica presente su YouMath.it.

 

Questo formulario è da intendersi come la seconda parte di un più ampio formulario di Meccanica, in cui la prima parte è data dal formulario di Cinematica.

 
 
 

Formule della Dinamica

 

Attenzione: non tutti gli argomenti, le definizioni e le applicazioni della Dinamica possono essere riassunti in una formula! Vi consigliamo di maneggiare il formulario con cautela e di usarlo non prima di aver acquisito solide basi teoriche. Cliccando sui vari link potete accedere alle lezioni relative a ciascun argomento.

 

Seconda legge di Newton

 

 \vec{F} = m \vec{a}

 

Terza legge di Newton (principio di azione e reazione)

 

 \vec{F}_{AB} = - \vec{F}_{BA}

 

Forza risultante di n forze

 

\vec{F}_{ris}=\vec{F}_1+\vec{F}_2+...+\vec{F}_n

 

Forza peso e accelerazione di gravità

 

 \vec{F}_{P} = m \vec{g} \\ \\ g_{Terra}\simeq 9,81\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}

 

Forza d'attrito (coefficiente d'attrito statico / dinamico)

 

F_{A}=\mu\cdot F_{\perp}\ \ \ \begin{cases}\mu_s\ \ \mbox{statico}\\ \mu_d\ \ \mbox{dinamico}\end{cases}

 

Piano inclinato (senza attrito)

 

Accelerazione perpendicolare al piano

a_y=0

Accelerazione parallela al piano

 a_{x} = g \sin (\alpha)

Angolo da altezza e lunghezza

\sin(\alpha)=\frac{h}{l}

Angolo da base e lunghezza

\cos(\alpha)=\frac{d}{l}

Angolo da altezza e base

\tan(\alpha)=\frac{h}{d}

 

Piano inclinato con attrito

 

Accelerazione perpendicolare al piano
(corpo inizialmente fermo)

a_y=0

Accelerazione parallela al piano
(corpo inizialmente fermo)

 a_{x} = g \sin (\alpha)-\mu_sg\cos(\alpha)

Angolo critico per l'equilibrio
(corpo inizialmente fermo)

\alpha=\arctan(\mu_{s})

Accelerazione perpendicolare al piano
(corpo inizialmente in moto)

a_y=0

Accelerazione parallela al piano
(corpo inizialmente in moto)

 a_{x} = g \sin (\alpha)-\mu_dg\cos(\alpha)

Angolo critico
(corpo inizialmente in moto)

\alpha=\arctan(\mu_{d})

Angolo da altezza e lunghezza

\sin(\alpha)=\frac{h}{l}

Angolo da base e lunghezza

\cos(\alpha)=\frac{d}{l}

Angolo da altezza e base

\tan(\alpha)=\frac{h}{d}

 

Forza elastica (legge di Hooke)

 

\vec{F}_{e} = - k \vec{x} \\ \\  x =L-L_{0}

 

Forza centripeta

 

Forza centripeta (con \vec{a} accelerazione centripeta): \vec{F}=m\vec{a}

Forza centripeta (in modulo): F_{c} = m \frac{v^{2}}{r}

Forza centripeta (in modulo): F_{c} = m \cdot \omega^{2} \cdot r

NB: per gli esercizi, tenere a mente le formule del moto circolare uniforme!

 

Condizione di equilibrio

 

 \vec{F}_{ris} = 0

 

Lavoro (forza costante in una dimensione)

 

 L = \vec{F} \cdot \vec{s} \\ \\ L = F s \cos(\alpha)

 

Lavoro (forza costante in due dimensioni)

 

 L = F_{x} \Delta x + F_{y} \Delta y

 

Lavoro (forza costante in tre dimensioni)

 

 L = F_{x} \Delta x + F_{y} \Delta y + F_{z} \Delta z

 

Lavoro (forza variabile in una dimensione)

 

 L = \int_{x_{i}}^{x_{f}}{F(x) \: dx}

 

Espressione generale del lavoro (forza variabile, traiettoria qualsiasi)

 

L=\int_{A}^{B}{\vec{F} \cdot d \vec{ r}}

 

Lavoro di n forze

 

L_{tot}=L_{F_1}+L_{F_2}+...+L_{F_n}

 

Lavoro della forza peso

 

L=-mg(y_f-y_i)

 

Lavoro della forza elastica

 

L= - \frac{1}{2} k \left( x^{2}_{f} - x^{2}_{i}  \right)\\ \\ x_i=L_i-L_0\ \ \ ;\ \ \ x_f=L_f-L_0

 

Energia cinetica

 

K=\frac{1}{2}mv^2

 

Teorema dell'energia cinetica

 

L=K_f-K_i\ \to\ L = \frac{1}{2}mv^{2}_{f} - \frac{1}{2}mv^{2}_{i}

 

Forze conservative

 

\oint_{\gamma} \vec{F}\cdot \vec{s}=0

Lavoro nullo su un qualsiasi percorso chiuso \gamma

\overbrace{\int_{A}^{B}{\vec{F} \cdot \vec_{s}}}^{\mbox{percorso }1}=\overbrace{\int_{A}^{B}{\vec{F} \cdot \vec_{s}}}^{\mbox{percorso }2}

Indipendenza del lavoro dal cammino percorso

 

Energia potenziale (solo per forze conservative)

 

 \Delta U = - L

 

Energia potenziale gravitazionale

 

 U = mgh

 

Energia potenziale elastica

 

 U = \frac{1}{2} kx^{2}

 

Energia meccanica

 

 E=K+U

 

Principio di conservazione dell'energia meccanica (in assenza di forze non conservative)

 

E_i=E_f\ \to\ K_{i} + U_{i} = K_{f} + U_{f}

 

 

 

Potenza

 

Potenza (con forza costante)

P=\frac{L}{t}

Formule inverse

L=Pt\ \ \ ;\ \ \ t=\frac{L}{P}

Potenza (con forza costante)

\\ P=\vec{F}\cdot \vec{v}\\ \\ \mbox{se }\vec{F}\parallel\vec{v}\ \to\ P=Fv

Formule inverse con i moduli (con forza costante parallela alla velocità)

F=\frac{P}{v}\ \ \ ;\ \ \ v=\frac{P}{F}

Potenza media (con forza variabile)

\bar{P}=\frac{L}{t}

Formule inverse (con forza variabile)

L=\bar{P}t\ \ \ ;\ \ \ t=\frac{L}{\bar{P}}

Potenza istantanea (con forza variabile)

P=\frac{dL}{dt}

Potenza istantanea (con forza costante)

P=\bar{P}

 

Quantità di moto

 

 \vec{p} = m \vec{v}

 

Quantità di moto di un sistema di particelle

 

\vec{p}_{tot} = \sum_{k = 1}^{n}{\vec{p}_{k}}=\vec{p}_1+\vec{p}_2+...+\vec{p}_n

 

Seconda legge di Newton in forma generale (massa non necessariamente costante)

 

\vec{F}_{ris}=\frac{d \vec{p}}{dt}

 

Impulso (forza costante)

 

\vec{I}=\vec{F}_m\Delta t

 

Impulso (forza variabile)

 

\vec{I}=\int_{t_i}^{ t_f}\vec{F}dt

 

Teorema dell'impulso

 

 \vec{I} = \Delta \vec{p}

 

Principio di conservazione della quantità di moto

 

\vec{F}_{ris}=0\ \Rightarrow\ \vec{p}=\mbox{costante}

 

Urto elastico

 

 \begin{cases} m_{1} v_{1i} + m_{2} v_{2i} = m_{1} v_{1f} + m_{2} v_{2f} \\ \\ \frac{1}{2}m_{1}v_{1i}^{2} + \frac{1}{2}m_{2}v_{2i}^{2} = \frac{1}{2}m_{1}v_{1f}^{2} + \frac{1}{2}m_{2}v_{2f}^{2} \end{cases}

 

Urto anelastico

 

\begin{cases}p_{1,i}+p_{2,i}=p_{i,f}+p_{2,f}\\ \\ K_{1,i}+K_{2,i}=K_{1,f}+K_{2,f}\end{cases}

 

Urto completamente anelastico

 

 m_{1}v_{1i} + m_{2}v_{2i} = (m_{1} + m_{2})v_{f}

 

Centro di massa di un sistema di particelle (in una dimensione)

 

 x_{cm} = \frac{m_{1}x_{1} + m_{2}x_{2} + ... + m_{n}x_{n}}{m_{1} + m_{2} + ... + m_{n}}

 

Centro di massa di un sistema di particelle (in due dimensioni)

 

\\ x_{cm} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{m_{i}x_{i}}}{\sum_{i = 1}^{n}{m_{i}}}\ \ \ ;\ \ \ y_{cm} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{m_{i}y_{i}}}{\sum_{i = 1}^{n}{m_{i}}}

 

Centro di massa di un sistema di particelle (in tre dimensioni)

 

\\ x_{cm} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{m_{i}x_{i}}}{\sum_{i = 1}^{n}{m_{i}}}\ \ \ ;\ \ \ y_{cm} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{m_{i}y_{i}}}{\sum_{i = 1}^{n}{m_{i}}}\ \ \ ;\ \ \ z_{cm} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{m_{i}z_{i}}}{\sum_{i = 1}^{n}{m_{i}}}

 

Velocità del centro di massa di un sistema di particelle

 

 \vec{v}_{cm} = \frac{\vec{p}_{tot}}{M}

 

Accelerazione del centro di massa di un sistema di particelle

 

 \vec{a}_{cm} = \frac{\vec{F}_{tot}}{M}

 

Densità (di un corpo rigido omogeneo)

 

\rho=\frac{M}{V}

 

Densità media (di un corpo rigido omogeneo)

 

\overline{\rho}=\frac{M}{V}

 

Densità superficiale (di un corpo rigido omogeneo)

 

\rho_s=\frac{M}{S}

 

Densità lineare (di un corpo rigido omogeneo)

 

\rho_l=\frac{M}{L}

 

Centro di massa di un corpo rigido

 

\vec{r}_{cm} = \frac{1}{M} \int_V{\vec{r}\rho dv}

 

Momento di una forza (momento torcente)

 

 \vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} \\ \\ M=rF\sin(\theta)

 

Momento della forza peso

 

\vec{M} = \vec{r}_{cm} \times \vec{F}_P

 

Leve

 

M_m=M_r\\ \\ r_mF_m=r_rF_r

 

Equilibrio di un corpo rigido

 

\begin{cases}\sum \vec{F}_{est}=0\\ \\ \sum \vec{M}_{est}=0\end{cases}

 

 

 

Momento di inerzia di una particella

 

I=mr^2

 

Momento di inerzia di un sistema di particelle

 

I=m_1r_1^2+m_2r_2^2+...+m_nr_n^2

 

Momento di inerzia di un corpo rigido

 

I=\int_V r^2dm

 

Corpo rigido

Asse di rotazione

Momento di inerzia

Anello sottile di massa m e raggio r

Perpendicolare al piano dell'anello e passante per il centro

I=Mr^2

Anello sottile di massa M e raggio r

Complanare al piano dell'anello e passante per il centro

I=\frac{1}{2}Mr^2

Disco di massa M e raggio r

Perpendicolare al piano del disco e passante per il centro

I=\frac{1}{2}Mr^2

Cilindro pieno di massa M e raggio r

Coincidente con l'asse di simmetria del cilindro

I=\frac{1}{2}Mr^2

Cilindro cavo di massa M e raggio r

Coincidente con l'asse di simmetria del cilindro

I=Mr^2

Cilindro cavo di massa M distribuita tra R1 ed R2

Coincidente con l'asse di simmetria del cilindro

I=\frac{1}{2}M(R_1^2+R_2^2)

Sfera di massa M e raggio r

Qualsiasi asse passante per il centro

I=\frac{2}{5}Mr^2

Guscio sferico

Qualsiasi asse passante per il centro

I=\frac{2}{3}Mr^2

Lastra rettangolare con lati a, b

Perpendicolare al piano e passante per il centro

I=\frac{1}{12}M(a^2+b^2)

Sbarra rettangolare di massa M e lunghezza L

Perpendicolare alla lunghezza e passante per il centro

I=\frac{1}{12}ML^2

Sbarra rettangolare di massa M e lunghezza L

Perpendicolare alla lunghezza e passante per un estremo

I=\frac{1}{3}ML^2

 

Teorema di Huygens-Steiner

 

I=I_{cm}+Md^2

 

Lavoro nel moto rotatorio (caso generale)

 

L=\int_{\theta_i}^{\theta_f}M_zd\theta

 

Lavoro nel moto rotatorio (momento costante nel tempo)

 

L=M_{z}(\theta_f-\theta_i)

 

Energia cinetica rotazionale

 

 K = \frac{1}{2} I \omega^{2}

 

Teorema dell'energia cinetica rotazionale

 

 L = \Delta K \ \to\ L=\frac{1}{2}I\omega_f^2-\frac{1}{2}I\omega_i^2

 

Energia cinetica nel moto rototraslatorio di puro rotolamento

 

 K = \frac{1}{2}I_{cm} \omega^{2} + \frac{1}{2}mv^{2}

 

Principio di conservazione dell'energia nel moto rototraslatorio di puro rotolamento (in assenza di forze dissipative)

 

E_i=E_f\ \to\  \frac{1}{2}I_{cm} \omega^{2}_{i} + \frac{1}{2}mv^{2}_{i} + mgh_{i} = \frac{1}{2}I_{cm} \omega^{2}_{f} + \frac{1}{2}mv^{2}_{f} + mgh_{f}

 

Momento angolare

 

 \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} \\ \\ L=rp\sin(\alpha)

 

Momento angolare di un sistema di particelle

 

\begin{matrix}\vec{L} &=& \vec{L}_1&+&\vec{L}_2&+&...&+&\vec{L}_n\\ \\ &=& \vec{r}_1\times\vec{p}_1&+&\vec{r}_2\times\vec{p}_2&+&...&+&\vec{r}_n\times\vec{p}_n\end{matrix}

 

Momento angolare di un corpo rigido in rotazione (caso generale)

 

 \vec{L}_z= I \vec{\omega}

 

Momento angolare di un corpo rigido in rotazione (con simmetria assiale e in rotazione attorno all'asse di simmetria)

 

 \vec{L} = I \vec{\omega}

 

Teorema del momento angolare

 

\vec{M}_{ris}=\frac{d \vec{L}}{dt}

 

Legge fondamentale della Dinamica rotazionale

 

\vec{M}_{ris,z}=I\vec{\alpha}

 

Forze centrali (momento angolare e velocità areolare)

 

\vec{L}=\mbox{ costante}\\ \\ \\ \frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m} = \mbox{costante}

 

Principio di conservazione del momento angolare

 

\sum{\vec{M}_{est}} = 0\ \ \implies\ \ \vec{L}_i=\vec{L}_f 

 

Macchina di Atwood (caso ideale)

 

 \begin{cases} a = \dfrac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}}g \\ \\ T = \dfrac{2m_{1}m_{2}}{m_{1} + m_{2}}g \end{cases}

 

Macchina di Atwood (carrucola dotata di massa)

 

 \begin{cases} a = g\dfrac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2} + \frac{1}{2}m_{c}} \\ \\ T_{1} = m_{1}g \dfrac{2m_{2} + \frac{1}{2}m_{c}}{m_{1} + m_{2} + \frac{1}{2}m_{c}} \\ \\ T_{2} = m_{2}g \dfrac{2m_{1} + \frac{1}{2}m_{c}}{m_{1} + m_{2} + \frac{1}{2}m_{c}} \end{cases}

 

 

 

Oscillatore armonico

 

Equazione dell'oscillatore armonico

\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \frac{k}{m} x = 0

Legge oraria del moto

 x(t) = A \cos (\omega t + \phi )

Legge oraria del moto (soluzione dell'equazione)

 x(t) = A \cos \left(\sqrt{\frac{k}{m}} t + \phi \right)

Pulsazione

\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}

Periodo

 T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}

Scrittura equivalente dell'equazione

 \frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \omega^{2} x = 0

NB: tenere a mente tutte le formule del moto armonico.

Energia potenziale dell'oscillatore armonico

 U = \frac{1}{2}kA^{2} \cos^{2} (\omega t + \phi)

Energia cinetica dell'oscillatore armonico

K=\frac{1}{2}kA^2\sin^2(\omega t+\phi)

Energia meccanica dell'oscillatore armonico

 E = \frac{1}{2}kA^{2}

Velocità dell'oscillatore armonico in funzione della posizione

 v = \pm \sqrt{\frac{k \left( A^{2} - x^{2} \right)}{m}}

 

Pendolo semplice

 

Componente attiva della forza peso (per piccole oscillazioni)

F_{P,x}=-\left(\frac{mg}{L}\right)x

Periodo di oscillazione del pendolo semplice

T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}

NB: tenere a mente le formule del moto armonico.

 

Pendolo fisico (pendolo composto)

 

Momento torcente del pendolo fisico

M=-mgd\sin(\theta)

Equazione differenziale del pendolo fisico

\frac{d^{2} \theta}{dt^{2}} + \frac{mgd}{I} \theta = 0

Legge oraria del pendolo fisico

\theta (t)=A\cos(\omega t+\phi)

Pulsazione del pendolo fisico

\omega = \sqrt{\frac{mgd}{I}}

Periodo di oscillazione del pendolo fisico

T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}

Scrittura equivalente dell'equazione

 \frac{d^{2} \theta}{dt^{2}} + \omega^{2} \theta = 0

NB: tenere a mente le formule del moto armonico.

 

 

Moto armonico smorzato

 

Equazione delle forze

-k\vec{x}-b\vec{v}=m\vec{a}

Equazione differenziale del moto armonico smorzato

 \frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \frac{b}{m} \frac{dx}{dt} + \frac{k}{m} x = 0

Legge oraria del moto armonico smorzato

 x(t) = Ae^{\displaystyle{-\frac{t}{\tau}}} \cos (\omega t + \phi)

Costante di tempo

 \tau = \frac{2m}{b}

Pulsazione

 \omega = \sqrt{\frac{k}{m} - \left( \frac{b}{2m} \right)^{2}}

Energia

 E = \frac{1}{2}kA^{2}e^{-\dfrac{2t}{\tau}}

 

Carico specifico

 

 \sigma = \frac{F}{S}

 

Deformazione specifica

 

 \varepsilon = \frac{\Delta l}{l}

 

Modulo di Young

 

 E = \frac{\sigma}{\varepsilon}

 

Legge di Young

 

F = E S \frac{\Delta l}{l}

 

Coefficiente di Poisson e legge di Poisson

 

 \frac{\Delta r}{r} = - \nu \frac{\Delta l}{l}

 

Sforzo di taglio (scorrimento) e modulo di rigidità (o modulo di taglio)

 

 \sigma = G \theta \\ \\ G = \frac{E}{2(1 + \nu)}

 

Torsione

 

 M = k \theta \\ \\ k = \frac{\pi}{2} G \frac{R^{4}}{l}

 

Pendolo di torsione

 

Momento torcente del filo

 M = - k \theta

Equazione del pendolo di torsione

\frac{d^{2} \theta}{dt^{2}} + \frac{k}{I} \theta = 0

Legge oraria del pendolo di torsione

 \theta(t) = \theta_{max} \sin (\omega t + \phi)

Pulsazione del pendolo di torsione

\omega = \sqrt{\frac{k}{I}}

Energia meccanica (no attriti)

 \frac{1}{2}k \theta^{2} + \frac{1}{2}I \Omega^{2}=\mbox{costante}

Velocità angolare del disco

\Omega = \pm \sqrt{\frac{k \left(\theta_{max}^{2} - \theta^{2} \right)}{I} }

 

Dilatazione e compressione uniforme

 

Pressione

p=\frac{F}{S}

Legge di compressione-dilatazione uniforme (volume)

 \frac{\Delta V}{V} = - \frac{1}{\beta} \Delta p

Modulo di compressibilità isoterma

 \beta = \frac{E}{3(1 - 2 \nu)}

Legge di compressione-dilatazione uniforme (densità)

 \frac{d \rho}{\rho} = \frac{1}{\beta} \Delta p

 

 

Il formulario di Dinamica in versione pdf è disponibile qui - click per il download.

 

Lezione precedente

 

Tags: formule di Dinamica e di Meccanica in pdf.