Dilatazione uniforme e compressione uniforme

La compressione uniforme e la dilatazione uniforme sono deformazioni causate dall'azione della pressione sulla superficie dei corpi solidi, tali da comportare una variazione della densità e del volume uniformemente lungo le tre dimensioni del corpo.

 

Nella lezione sul modulo di Young abbiamo introdotto il concetto di carico per trazione o per compressione come azione di una forza parallela a una specifica dimensione di un corpo (nel nostro caso, la lunghezza). Successivamente abbiamo trattato due ulteriori tipologie di deformazione, dette scorrimento e torsione. Per concludere le lezioni di Dinamica studiamo due ulteriori modi per deformare i solidi: compressione e dilatazione uniformi.

 

In particolare vedremo quali sono le cause di tali deformazioni, proponendone le definizioni e spiegando nel dettaglio cosa le provoca meccanicamente. Naturalmente ci soffermeremo sulle formule che permettono di descrivere questo tipo di fenomeni.

 
 
 

Dilatazione e compressione uniforme

 

Per dare la definizione di compressione e di dilatazione uniformi dobbiamo introdurre brevemente il concetto di pressione.

 

La pressione è una grandezza definita come il rapporto tra la forza F e la superficie S sulla quale viene esercitata:

 

p=\frac{F}{S}

 

L'unità di misura della pressione è il N/m2, che prende il nome di pascal (Pa). Si sottointende che la forza deve essere perpendicolare alla superficie e che, nel caso non lo fosse, bisogna considerare solo la sua componente perpendicolare e trascurare invece quella parallela. Come vedremo più avanti il concetto di pressione è fondamentale in Fluidostatica e in Termodinamica.

 

Visto che in questo momento ci stiamo occupando dei solidi, vogliamo valutare in che modo cambia il loro volume nel momento in cui su di essi si esercita una pressione ovunque costante, cioè una pressione uguale in qualunque punto della superficie del solido. È ciò che intendiamo con l'aggettivo uniforme. In particolare parleremo di:

 

- compressione uniforme, se il corpo subisce una diminuzione di volume;

 

- dilatazione uniforme, se il corpo manifesta un aumento del volume.

 

Questa condizione si verifica ad esempio quando si immerge un oggetto in acqua o, più in generale, in qualunque fluido. Immaginiamo di avere un cubo compresso in maniera uniforme su tutte e sei le facce. Se la pressione che comprime il cubo cambia (\Delta p) allora cambia anche il suo volume (\Delta V), secondo la legge:

 

 \frac{\Delta V}{V} = - \frac{1}{\beta} \Delta p

 

Con \beta indichiamo il modulo di compressibilità isoterma ed è, come sempre, un valore che cambia a seconda dei materiali. Il termine isoterma indica che stiamo considerando variazioni di volume che avvengono a temperature costanti. Valori tipici di \beta sono dell'ordine dei 10^{10}\ \frac{\mbox{N}}{\mbox{m}^2} per temperature di 20 °C (valore che viene convenzionalmente indicato come temperatura ambiente).

 

Così come accadeva per il modulo di rigidità G, anche il modulo di compressibilità isoterma può essere scritto in funzione del modulo di Young e del coefficiente di Poisson, secondo la relazione:

 

 \beta = \frac{E}{3(1 - 2 \nu)}

 

Compressione VS dilatazione

 

Il segno meno che compare a secondo membro implica che a un aumento di pressione corrisponde una diminuzione del volume: in questo caso ci troviamo di fronte ad una compressione.

 

Viceversa, a una diminuzione di pressione corrisponderà un aumento del volume, nel qual caso avremo a che fare con una dilatazione.

 

 

Esempio sulla compressione uniforme

 

Vogliamo sapere di quanto varia in percentuale il volume di un cubo di rame quando è sottoposto ad una variazione di pressione di 10^9\mbox{ Pa}. Sapendo che il modulo di compressibilità isoterma vale \beta=1,4\cdot 10^{11}\ \frac{\mbox{N}}{\mbox{m}^2}, allora possiamo calcolare la variazione percentuale di volume:

 

 \frac{\Delta V}{V}=-\frac{1}{1,4\cdot 10^{11}\ \frac{\mbox{N}}{\mbox{m}^2}} \cdot 10^{9}\mbox{ Pa}\simeq 7,14\cdot 10^{-3}

 

La variazione percentuale di volume dovuta alla compressione uniforme del cubo di rame è pari a circa lo 0,714%. Una variazione inferiore all'1%, a fronte di una variazione di pressione pari a circa diecimila volte la pressione atmosferica! :O

 

Significato del modulo di compressibilità isoterma

 

L'esempio appena visto mette in luce quanto sia piccola la compressione del cubo a fronte della grande variazione di pressione considerata. Più in generale l'alto valore del modulo di compressibilità isoterma ci dice quanto sia difficile modificare il volume di un solido quando viene compresso uniformemente.

 

C'è da osservare che il valore di \beta per l'acqua è pari a 2,1\cdot 10^9\ \frac{\mbox{N}}{\mbox{m}^2}, che non è molto più piccolo di quello del rame. Ciò significa che l'acqua, e più in generale i liquidi, possono essere di fatto considerati incomprimibili alla stregua dei solidi.

 

Un'ulteriore aspetto da prendere in considerazione riguarda la condizione di isotermia. In questo contesto ragioniamo esclusivamente sulle compressioni e sulle dilatazioni uniforme esercitate dall'azione della pressione. L'ipotesi di temperatura costante si rende necessaria perché, come vedremo nelle lezioni di Termodinamica, le variazioni di temperatura causano un altro tipo di deformazioni, dette compressioni e dilatazioni termiche.

 

Compressioni-dilatazioni uniformi e variazione di densità

 

Dalla legge della compressione-dilatazione uniforme è possibile ricavarne un'altra che mette in relazione la variazione di densità del solido con la variazione di pressione al quale viene sottoposto.

 

Dalla definizione di densità volumica

 

 \rho = \frac{m}{V}

 

possiamo ricavare le variazioni infinitesime di densità e di volume derivando l'equazione rispetto a queste due variabili.

 

 d \rho = - \frac{m}{V^{2}} dV

 

dove si è mantenuta costante la massa. Dividiamo entrambi i membri per la densità:

 

 \frac{d \rho}{\rho} = - \frac{m}{V^{2}} \frac{dV}{\rho}

 

e sostituiamone l'espressione a secondo membro

 

\frac{d \rho}{\rho} = - \frac{m}{V^{2}} dV \frac{V}{m}

 

da cui, con un'immediata semplificazione

 

\frac{d \rho}{\rho} = - \frac{dV}{V}

 

Sostituendo il secondo membro con la relazione della compressione-dilatazione uniforme, si ottiene:

 

 \frac{d \rho}{\rho} = \frac{1}{\beta} \Delta p

 

Abbiamo così ricavato la formula per la variazione di densità nelle compressioni-dilatazioni uniformi, la quale esprime la variazione di densità al variare della pressione esercitata sul solido. Il segno meno qui è scomparso perché, quando la pressione aumenta, il volume si riduce e di conseguenza la densità aumenta, per cui a una variazione positiva di pressione corrisponde una variazione positiva di densità.

 

Riepilogo sulle formule per la dilatazione e la compressione uniformi

 

Per concludere riepiloghiamo brevemente le formule che abbiamo elencato nel corso della lezione

 

 

Pressione

p=\frac{F}{S}

Legge di compressione-dilatazione uniforme (volume)

 \frac{\Delta V}{V} = - \frac{1}{\beta} \Delta p

Modulo di compressibilità isoterma

 \beta = \frac{E}{3(1 - 2 \nu)}

Legge di compressione-dilatazione uniforme (densità)

 \frac{d \rho}{\rho} = \frac{1}{\beta} \Delta p

 

 


 

La sezione dedicata alla Dinamica si chiude qui. :) Nelle lezioni di Termodinamica avremo modo di parlare nuovamente di dilatazioni e compressioni, quando tratteremo il concetto di dilatazione termica. Nel frattempo se siete in cerca di esercizi svolti ricordate che qui su YM potete reperire tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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