Pendolo di torsione

Il pendolo di torsione è un apparato che permette di studiare le deformazioni elastiche per torsione. È un sistema costituito da un filo verticale agganciato nella sua estremità superiore, e a cui è appeso all'estremità inferiore un corpo libero di ruotare torcendo il filo.

 

Qui di seguito studieremo nel dettaglio il pendolo di torsione nel caso ideale in cui non intervengono attriti, e mostreremo come esso riproduca fedelmente il modello dell'oscillatore armonico.

 

A tal proposito proporremo tutte le formule che permettono di studiare il comportamento del pendolo di torsione riconducendoci di volta in volta a quelle del moto armonico, e applicando ciò che abbiamo imparato nello studio delle deformazioni per torsione. ;)

 

Definizione e formule del pendolo di torsione

 

Ancora prima di cominciare, un utile riepilogo delle formule del pendolo di torsione che presenteremo e ricaveremo nel seguito della lezione.

 

 

Momento torcente del filo

 M = - k \theta

Equazione del pendolo di torsione

\frac{d^{2} \theta}{dt^{2}} + \frac{k}{I} \theta = 0

Legge oraria del pendolo di torsione

 \theta(t) = \theta_{max} \sin (\omega t + \phi)

Pulsazione del pendolo di torsione

\omega = \sqrt{\frac{k}{I}}

Energia meccanica (no attriti)

 \frac{1}{2}k \theta^{2} + \frac{1}{2}I \Omega^{2}=\mbox{costante}

Velocità angolare del disco

\Omega = \pm \sqrt{\frac{k \left(\theta_{max}^{2} - \theta^{2} \right)}{I} }

 

 

Com'è definito lo schema del pendolo di torsione? Abbiamo già anticipato che esso è costituito da un filo vincolato a un'estremità e collegato a un corpo dall'altra. Normalmente il filo è attaccato al centro di massa del corpo.

 

Lo scopo di questo apparato sperimentale è quello di torcere il filo e studiarne il moto e le proprietà. Per farlo, supponiamo che il corpo appeso sia un disco mantenuto su un piano orizzontale, come in figura.

 

 

Pendolo di torsione

Rappresentazione di un pendolo di torsione.

 

 

Se facciamo ruotare il disco, il filo si torce e sviluppa un momento torcente che ha la stessa espressione di quello che abbiamo calcolato nella lezione precedente:

 

 M = \frac{\pi}{2} G \frac{R^{4}}{l} \theta = k \theta

 

Il momento sviluppato dal filo ritorto però ha un segno meno, perché tenderà a far ruotare il disco nel verso opposto rispetto a quello della rotazione impressagli all'inizio. Pertanto possiamo scrivere:

 

 M = - k \theta

 

Dalla legge fondamentale della Dinamica rotazionale sappiamo che il momento torcente è dato dal prodotto del momento d'inerzia I per l'accelerazione angolare \alpha.

 

 M = I \alpha

 

Uguagliando le due equazioni appena scritte, otteniamo:

 

 - k \theta = I \alpha

 

D'altro canto l'accelerazione angolare è definita come la derivata seconda dell'angolo rispetto al tempo; di conseguenza, l'equazione può essere riscritta nella sola variabile \theta.

 

 - k \theta = I \frac{d^{2} \theta}{dt^{2}}

 

In forma omogenea:

 

\frac{d^{2} \theta}{dt^{2}} + \frac{k}{I} \theta = 0

 

Quella che abbiamo scritto è l'equazione differenziale che descrive un moto armonico, che avevamo già trovato e che, per una variabile generica x, si presentava così:

 

 \frac{d^{2}x}{dx^{2}} + \omega^{2}x = 0

 

Analisi dell'equazione del pendolo di torsione

 

Come vedete, la struttura dell'equazione del pendolo di torsione è identica a quella del moto armonico. Ciò significa ovviamente che, una volta che il filo è stato ritorto, il sistema comincia a muoversi di moto armonico.

 

Il filo ritorto cercherà di ritornare nelle proprie condizioni iniziali esercitando un momento torcente sul disco, che quindi comincerà ad accelerare. Quando il filo sarà nuovamente dritto, il disco avrà raggiunto la sua velocità massima e, per inerzia, proseguirà il proprio moto torcendo il filo nel verso opposto.

 

Il filo, da parte sua, all'aumentare della torsione incrementa la propria capacità di opporsi alla torsione, esercitando sul disco un momento torcente che aumenta al crescere dell'angolo di torsione \theta e che costringe il disco a rallentare fino a fermarlo. Da qui, il filo riprenderà a tornare dritto; in questo modo il processo si ripete al contrario fino a quando il sistema non torna al punto di partenza.

 

In assenza di attriti, il disco continua a oscillare in senso orario e poi antiorario indefinitamente.

 

Legge oraria del pendolo di torsione

 

La legge oraria del moto del pendolo di torsione è data da

 

 \theta(t) = \theta_{max} \sin (\omega t + \phi)

 

dove \theta_{max} è l'angolo massimo descritto dalla rotazione del disco, \varphi è l'eventuale angolo iniziale e \omega è la pulsazione del moto.

 

Chi ha dimestichezza con le equazioni differenziali può cimentarsi nella risoluzione dell'equazione scritta in precedenza: si tratta di un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti. D'altra parte questo esercizio può essere tranquillamente aggirato, perché conoscendo la legge oraria del moto armonico è possibile scrivere la legge oraria del pendolo di torsione per semplice confronto.

 

Per confronto è pure possibile ricavare la formula della pulsazione per il pendolo di torsione

 

 \omega^{2} = \frac{k}{I}

 

da cui

 

\omega = \sqrt{\frac{k}{I}}

 

Da osservare che, a differenza del pendolo semplice, non abbiamo bisogno di imporre la limitazione delle piccole oscillazioni; qui l'angolo di torsione \theta può assumere qualunque valore, anche maggiore di 2\pi nel caso in cui il disco dovesse compiere più di un giro per torcere il filo. L'unica condizione da tenere a mente è che non dobbiamo esagerare, ossia non dobbiamo torcere il filo al punto che esso non sia più in grado di manifestare le proprietà elastiche che gli permettono di riportarsi alle condizioni originarie dopo una torsione.

 

Energia del pendolo di torsione

 

In assenza di attriti l'energia di un pendolo di torsione si conserva. L'energia totale è data dalla somma di quella potenziale acquisita dal filo ritorto e di quella cinetica rotazionale del disco che gira:

 

 \frac{1}{2}k \theta^{2} + \frac{1}{2}I \Omega^{2}=\mbox{costante}

 

Abbiamo chiamato la velocità angolare del disco con la lettera \Omega per distinguerla dalla pulsazione \omega del moto armonico, visto che si tratta di due grandezze fisiche diverse. 

 

Dall'equazione di conservazione dell'energia possiamo ricavare la formula della velocità angolare del disco in funzione dell'angolo di torsione \theta. Per farlo consideriamo l'energia totale in una situazione estrema; quando il filo è completamente ritorto (\theta=\theta_{max}) e il disco è fermo, l'energia totale del sistema è data dalla sola energia potenziale del filo. In questa situazione infatti il disco è fermo e non possiede energia cinetica:

 

 E = \frac{1}{2}k \theta_{max}^{2}

 

Applichiamo il principio di conservazione dell'energia

 

 \frac{1}{2}k \theta^{2} + \frac{1}{2}I \Omega^{2} = \frac{1}{2}k \theta_{max}^{2}

 

Semplifichiamo il semplificabile

 

k \theta^{2} + I \Omega^{2} = k \theta_{max}^{2}

 

e risolviamo l'equazione in favore di \Omega

 

\Omega = \pm \sqrt{\frac{k \left(\theta_{max}^{2} - \theta^{2} \right)}{I} }

 

Dalla formula si deduce facilmente che la velocità angolare cresce al crescere della costante k, ma diminuisce al crescere del momento d'inerzia I. Tanto più grande è lo scarto tra l'angolo \theta e l'angolo massimo di torsione \theta_{max}, tanto maggiore è il valore della velocità angolare. Quest'ultima in particolare si annulla quando \theta=\theta_{max}.

 

 


 

C'è ancora un argomento da trattare prima di chiudere il ciclo di lezioni di Dinamica: i concetti di compressione e dilatazione. Vi aspettiamo nella lezione successiva, nel frattempo se siete in cerca di esercizi svolti potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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