Coefficiente di Poisson

Il coefficiente di Poisson è una grandezza che assume un valore specifico per ogni materiale, e che tramite la legge di Poisson mette in relazione la variazione della lunghezza e quella del raggio nelle deformazioni elastiche per allungamento o accorciamento.

 

Quando abbiamo trattato il modulo di Young abbiamo considerato, a titolo di esempio, una sbarra di acciaio di una certa lunghezza e sezione circolare. La scelta dell'esempio non era casuale, bensì funzionale a alla grandezza che definiremo in questa lezione: il coefficiente di Poisson.

 

Qui di seguito presentiamo la legge di Poisson e ne analizziamo il significato e la sua utilità nello studio della Dinamica. A fine lezione proporremo una tabella con i valori del coefficiente di Poisson dei materiali più diffusi, soprattutto nelle costruzioni.

 
 
 

Legge di Poisson e coefficiente di Poisson

 

Se tentiamo di allungare la sbarra per mezzo di un carico, applicato perpendicolarmente alla sezione di una sua estremità, è lecito aspettarsi che la sezione si assottigli per via dell'allungamento e quindi che se ne riduca il raggio.

 

In effetti è esattamente ciò che succede. Chiamiamo:

 

- variazione relativa della lunghezza: il rapporto tra la variazione di lunghezza e la lunghezza prima della deformazione;

 

- variazione relativa del raggio: il rapporto tra la variazione del raggio e il raggio prima della deformazione;

 

La legge di Poisson permette di calcolare la variazione relativa del raggio a partire dalla variazione relativa di lunghezza:

 

 \frac{\Delta r}{r} = - \nu \frac{\Delta l}{l}

 

dove con \nu indichiamo il coefficiente di proporzionalità di Poisson, che è una grandezza adimensionale e dunque priva di unità di misura. Il coefficiente di Poisson dipende dal materiale considerato, esattamente come il modulo di Young, e normalmente assume valori compresi tra 0 e 0,5.

 

Da sottolineare che, esattamente come nel caso della legge di Young, anche la legge di Poisson è valida per deformazioni elastiche e quindi per valori di carico che rientrino entro certi limiti. In altri termini consideriamo solamente deformazioni reversibili, ossia tali che il corpo torni alle condizioni originarie quando viene a mancare la sollecitazione del carico.

 

Nell'enunciato della legge abbiamo parlato di raggio a titolo esemplificativo, ma va chiarito che la grandezza r rappresenta una qualsiasi dimensione della sezione del corpo: se si considera un sbarra a sezione rettangolare, ad esempio, r potrebbe rappresentare uno dei due lati del rettangolo.

 

Legge di Poisson e variazione del volume

 

Se analizziamo la legge di Poisson in un'ottica meramente algebrica, dobbiamo tenere conto che la lunghezza a riposo e il raggio a riposo sono quantità positive

 

r,l>0

 

ed è quindi immediato capire che:

 

- nel caso di un allungamento (\Delta l>0) si ottiene una diminuzione del raggio \Delta r<0;

 

- nel caso di un accorciamento (\Delta l<0) si ottiene un incremento del raggio \Delta r>0.

 

Cosa possiamo dire riguardo alla variazione di volume a seguito di un allungamento o di una compressione?

 

È possibile dimostrare che:

 

- a seguito di un allungamento, il volume del corpo aumenta o al più resta costante;

 

- a seguito di un accorciamento, il volume del corpo diminuisce o al più resta costante.

 

Verifichiamo la prima delle due affermazioni matematicamente: consideriamo per semplicità una sbarrae immaginiamo che abbia già subito una deformazione, per cui il suo volume finale è dato dalla somma tra il volume iniziale e una variazione \Delta V.

 

 V = V_{0} + \Delta V

 

Nel caso di una sbarra di sezione circolare con raggio r e lunghezza l possiamo esprimere le misure a seguito della deformazione come

 

r\to r+\Delta r\\ \\ l\to l+\Delta l

 

Per calcolare il volume finale usiamo la formula per il volume del cilindro:

 

 V = \pi (r + \Delta r)^{2}(l + \Delta l)

 

Facciamo i conti:

 

\\ V = \pi \left( r^{2} + 2r \Delta r + \Delta r^{2} \right) \left(l + \Delta l \right) =\\ \\ = \pi \left( r^{2}l + r^{2} \Delta l + 2rl \Delta r + 2r \Delta r \Delta l + \Delta r^{2}l + \Delta r^{2} \Delta l \right)

 

Cancelliamo i temini di ordine superiore al primo, in cui compaiono \Delta r^2\Delta r\Delta l, perché trascurabili rispetto agli altri:

 

 V = \pi r^{2}l + \pi r^{2} \Delta l + 2 \pi rl \Delta r

 

Il primo termine rappresenta il volume del corpo quando non è sottoposto a trazione, mentre la somma degli altri due corrisponde alla variazione di volume \Delta V.

 

Vi ricordate le care e vecchie disequazioni? Facciamo un gioco: consideriamo la disequazione che corrisponde a una variazione di volume non negativa (il volume del corpo aumenta o al più resta uguale) e individuiamone le soluzioni

 

\Delta V\geq 0

 

Esplicitamente:

 

\pi r^{2} \Delta l + 2 \pi rl \Delta r \geq 0 \\ \\ r \Delta l + 2l \Delta r \geq 0\\ \\ r \Delta l \geq - 2l \Delta r

 

Possiamo dividere entrambi i membri per r e l poiché sono grandezze positive

 

\frac{\Delta l}{l} \geq - 2 \frac{\Delta r}{r}

 

Grazie alla legge di Poisson possiamo riscrivere l'ultimo rapporto:

 

 \frac{\Delta l}{l} \geq 2 \nu \frac{\Delta l}{l}

 

vale a dire

 

\nu \leq 0,5

 

La condizione \Delta V\geq 0 a seguito di una trazione è soddisfatta per valori del coefficiente di Poisson compresi tra 0 e 0,5. D'altra parte dall'analisi sperimentale sappiamo già che \nu assume solamente valori tra 0 e 0,5.

 

In estrema sintesi, la legge di Poisson stabilisce che a seguito di una trazione in una deformazione elastica il volume aumenta (0<\nu<0,5) o al più resta costante (\nu=5).

 

\mbox{carico di trazione}\ \to\ \begin{cases}\Delta V>0\ \ \ \mbox{se }0<\nu<0,5\\ \Delta V=0\ \ \ \mbox{ se }\nu=0,5\end{cases}

 

In modo del tutto analogo si può dimostrare che, nel caso delle compressioni, il volume non aumenta bensì diminuisce (0<\nu<0,5) o al limite resta costante (\nu=5).

 

\mbox{carico di compressione}\ \to\ \begin{cases}\Delta V<0\ \ \ \mbox{se }0<\nu<0,5\\ \Delta V=0\ \ \ \mbox{ se }\nu=0,5\end{cases}

 

 

Tabella del coefficiente di Poisson dei materiali

 

Da ultimo ecco la tabella con i valori del coefficiente di Poisson dei materiali che vi abbiamo promesso ad inizio lezione. I valori vengono ricavati sperimentalmente.

 

 

Materiale

Coefficiente di Poisson

Acciaio

0,27 - 0,30

Acciaio inox

0,30 - 0,31

Alluminio

0,33

Argilla

0,35 - 0,45

Calcestruzzo

0,1 - 0,2

Ferro

0,2 - 0,3

Ghisa

0,21 - 0,26

Gomma

0,5

Magnesio

0,35

Nichel

0,31

Oro

0,42

Rame

0,33

Roccia (varie qualità)

0,20 - 0,30

Sabbia

0,20 - 0,45

Schiuma

0,1 - 0,4

Sughero

≈0,00

Vetro

0,17 - 0,27

Titanio

0,34

 

 


 

Nella prossima puntata parleremo delle deformazioni plastiche. Intanto, se volete mettervi alla prova consultando gli esercizi svolti, sappiate che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e commentati nel dettaglio. Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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