Pendolo semplice

Il pendolo semplice è un sistema fisico che segue il modello dell'oscillatore armonico, perché coinvolge una forza di richiamo proporzionale allo spostamento dalla posizione di equilibrio. Si tratta di un oggetto ideale composto da una particella di massa m, appesa a un filo inestensibile di massa trascurabile.

 

In questa lezione ne daremo una definizione dettagliata, ne analizzeremo il comportamento e ci soffermeremo sulle formule del pendolo semplice, proponendo tutti i commenti del caso.

 
 
 

Definizione e formule del pendolo semplice

 

Come abbiamo già anticipato, il pendolo semplice consiste in un sistema costituito da una massa m collegata a un filo inestensibile.

 

Nella posizione di equilibrio il punto materiale è fermo e il filo è perfettamente teso lungo la verticale. Se però la particella viene spostata dalla posizione di equilibrio, comincerà ad oscillare su un piano verticale sotto l'effetto della forza peso che la richiama verso la posizione di equilibrio.

 

Nel proprio moto la particella disegna un arco della circonferenza centrata nel punto di fissaggio del filo e di raggio pari alla lunghezza del filo. Nell'ipotesi di assenza di attriti le oscillazioni proseguono indefinitamente.

 

Quello che ci interessa è arrivare a determinare il periodo di oscillazione del pendolo. Per farlo, allontaniamo la particella dalla sua posizione di equilibrio di un angolo \theta rispetto alla verticale, e scegliamo un sistema di riferimento in cui l'asse y ha la stessa direzione del filo e l'asse x è tangente alla traiettoria circolare.

 

 

Pendolo

 Diagramma delle forze per il pendolo semplice.

 

Per agevolare lo studio di chi sta leggendo per ripassare, elenchiamo sin da subito tutte le formule del pendolo semplice. Nel seguito vedremo come ricavarle e le analizzeremo nel dettaglio.

 

 

Componente attiva della forza peso (per piccole oscillazioni)

F_{P,x}=-\left(\frac{mg}{L}\right)x

Periodo di oscillazione del pendolo semplice

T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}

NB: tenere a mente le formule del moto armonico.

 

Diagramma delle forze per il pendolo semplice

 

Il sistema di riferimento che abbiamo scelto scelto non è fisso, bensì ruota seguendo il moto della particella. Lungo l'asse y disegniamo la tensione del filo diretta verso l'alto e scomponiamo la forza peso lungo gli assi, come abbiamo fatto ad esempio nel caso del piano inclinato.

 

\\ F_{P,y}=mg\cos(\theta)\\ \\ F_{P,x}=-mg\sin(\theta)

 

Lungo l'asse y la componente della forza peso controbilancia la tensione del filo, facendo sì che la particella di fatto non si muova lungo quest'asse; ciò che muove il punto materiale e che lo fa oscillare è la componente della forza peso lungo l'asse x.

 

Il segno meno che abbiamo scritto per questa componente indica solo che essa ha verso opposto rispetto a quello in cui l'angolo \theta cresce. Se si sposta il pendolo verso destra, la forza F_{P,x} è diretta verso sinistra, e viceversa: come ben sappiamo il segno meno è una caratteristica distintiva delle forze di richiamo.

 

Piccole oscillazioni del pendolo semplice

 

La componente x della forza peso è proporzionale al seno dell'angolo \theta, ma per angoli "piccoli" si può dire che essa è direttamente proporzionale all'angolo. Per giustificare tale affermazione procediamo dapprima con un metodo intuitivo, dopodiché la dimostriamo da un punto di vista rigoroso.

 

Prendete la calcolatrice e calcolate il seno di 7°:

 

\sin(7^o)\simeq 0,12187

 

Ora trasformate l'angolo di 7° in radianti, e otterrete:

 

7^o\simeq 0,12217\mbox{ rad}

 

Come potete vedere i due numeri sono molto simili. In particolare, per angoli al di sotto dei 10° (sono questi gli angoli "piccoli"), il seno di \theta può essere sostituito dallo stesso angolo \theta con un'ottima approssimazione, a patto però che quest'ultimo sia espresso in radianti.

 

Da un punto di vista rigoroso è sufficiente ricordare che lo sviluppo di Taylor del seno al primo ordine, centrato in x_0=0, è dato da

 

\sin(x)=x+o(x)

 

da cui l'approssimazione

 

\sin(x)\sim_{x\to 0}x

 

Grazie a questa osservazione possiamo esprimere la componente della forza peso lungo l'asse x per piccole oscillazioni nella forma:

 

F_{P,x}\simeq -mg\theta

 

Anche lo spostamento x della particella dalla sua posizione di equilibrio è molto bene approssimato dall'arco di circonferenza sotteso dall'angolo \theta:

 

pertanto dalla definizione di angoli in radianti, possiamo scrivere:

 

\theta\simeq \frac{x}{L}

 

dove L è la lunghezza del filo.

 

Sempre nel caso delle piccole oscillazioni, possiamo scrivere la forza di richiamo del pendolo semplice in funzione dello spostamento nella forma:

 

F_{P,x}\simeq -mg\frac{x}{L}

 

da cui

 

F_{P,x}\simeq -\left(\frac{mg}{L}\right)x

 

Tale formula è del tutto analoga a quella della forza elastica: la costante elastica k è stata sostituita dal termine tra le parentesi tonde, che ha le medesime unità di misura di k.

 

k\ \ \longleftrightarrow \ \frac{mg}{L}

 

Nel caso della molla, o più precisamente dell'oscillatore armonico, avevamo trovato la seguente formula per il periodo di oscillazione:

 

 T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}

 

Ora ci basta sostituire in luogo di k il termine corrispondente termine

 

 T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{\frac{mg}{L}}}

 

per ottenere il periodo di oscillazione di un pendolo semplice nell'ipotesi di piccole oscillazioni.

 

T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}

 

Proprietà del periodo del pendolo semplice per piccole oscillazioni

 

Ci sono diverse proprietà del periodo di oscillazione del pendolo semplice che possono essere dedotte dalla precedente formula.

 

1) Il periodo del pendolo semplice dipende dalla lunghezza del filo (un pendolo dal filo più lungo richiede più tempo per compiere un'oscillazione completa) e dall'accelerazione di gravità g, conseguenza del fatto che la forza di richiamo è una componente della forza peso.

 

2) Nella formula non compare la massa: fissata una certa lunghezza del filo, possiamo appendervi una massa qualsiasi e otterremo sempre lo stesso identico periodo. In questo senso l'unica limitazione riguarda la capacità di carico del filo, che potrebbe spezzarsi.

 

3) Il periodo è indipendente dall'ampiezza di oscillazione, purché essa rimanga "piccola": fissata la lunghezza, il periodo è lo stesso sia che l'angolo \theta sia di 9°, sia che \theta sia di 5°.

 

Il primo ad accorgersi di tale proprietà fu Galileo Galilei; si racconta infatti che una domenica, assistendo alla messa nel duomo di Pisa, avesse visto oscillare i lampadari mossi dalle correnti d'aria. Si accorse che, nonostante le ampiezze di oscillazioni fossero diverse, il periodo ero lo stesso per tutti i lampadari perché tutti erano appesi a funi della stessa lunghezza.

 

4) Nel caso di oscillazioni non "piccole", cioè per angoli tali per cui il seno di \theta non può essere sostituito dall'angolo stesso senza commettere un errore o comunque un'approssimazione eccessiva, il periodo può essere calcolato ugualmente ma con una formula ben più complessa, contenente svariati termini correttivi.

 

 


 

Nella prossima lezione tratteremo il modello del pendolo fisico, detto anche pendolo composto. Nel frattempo, se siete in cerca di esercizi svolti, ricordate che qui su YM ci sono tantissimi esercizi risolti e commentati nel dettaglio. Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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