Carrucole con massa non trascurabile

Nella lezione dedicata alle carrucole abbiamo precisato che avremmo considerato oggetti privi di massa e di attrito. Ora vogliamo occuparci delle carrucole dotate di massa in modo da descrivere un modello più aderente alla realtà, pur continuando a trascurare l'attrito.

 

In questo modo lo studio dei sistemi provvisti di una o più carrucole cambia, e non di poco. Una carrucola infatti è un corpo rigido in rotazione attorno a un asse fisso passante per il proprio centro: è per questo motivo che in precedenza abbiamo dovuto ignorarne la massa, perché sostanzialmente non disponevamo delle leggi della Dinamica rotazionale dei corpi rigidi. 

 
 
 

Sistemi con carrucole dotate di massa (ma senza attrito)

 

Vediamo un esempio su una carrucola con massa non trascurabile, per capire che differenza c’è rispetto al modello ideale.

 

Abbiamo una carrucola (approssimabile a un disco) di massa m1 = 3 kg e raggio r = 12 cm alla quale è stata avvolta una corda inestensibile e di massa trascurabile. A una estremità della corda è appeso un corpo di massa m2 = 6 kg, che si muove verso il basso srotolando la corda e facendo ruotare la carrucola. Qual è l'accelerazione con cui il corpo scende? E qual è il valore della tensione della corda?

 

Partiamo come sempre dal diagramma delle forze.

 

 

Carrucola con massa non trascurabile

Diagramma delle forze per una carrucola 
con massa non trascurabile.

 

 

Consideriamo il corpo appeso; esso è soggetto a due forze: la forza peso diretta verticalmente verso il basso e la tensione della fune diretta invece verso l'alto.

 

Applichiamo il secondo principio della Dinamica per calcolare la forza agente sul blocco

 

\vec{F}_P+\vec{T}=m_2\vec{a}

 

Poiché stiamo ragionando lungo una sola direzione, possiamo considerare come verso delle coordinate crescenti quello diretto verso il basso e specificare i versi dei vettori esplicitandone i segni

 

 m_{2}g - T = m_{2}a

 

La differenza tra le due forze equivale alla forza risultante, in accordo con la seconda legge di Newton (\vec{F}=m\vec{a}). Niente di nuovo fin qui.

 

Ora ragioniamo sulla carrucola: essa è soggetta alla tensione della fune applicata a un punto che si trova sul bordo. Tale forza esercita un momento torcente dato dal prodotto della tensione per il raggio, che in questo caso è il braccio, ossia la distanza tra il fulcro (il centro della carrucola) e il punto di applicazione della forza.

 

\vec{M}=\vec{r}\times\vec{T}

 

Poiché il raggio è perpendicolare alla direzione della tensione, il modulo del prodotto vettoriale è dato da

 

M=rT\sin(90^o)=rT

 

In riferimento alla figura, il vettore \vec{M} è perpendicolare al piano della carrucola ed entrante nello schermo. È molto importante capire non solo quali forze si applicano alla carrucola, ma anche qual è il loro esatto punto di applicazione per poter individuare correttamente il momento torcente.

 

Applichiamo la legge fondamentale della Dinamica rotazionale: il momento della forza è anche uguale al prodotto del momento di inerzia per l'accelerazione angolare:

 

 M = I \alpha

 

Eguagliamo le due formule per il momento della forza:

 

 Tr = I \alpha

 

Sappiamo inoltre che il momento d'inerzia di un disco è dato da

 

 I = \frac{1}{2}m_{1}r^{2}

 

e che l'accelerazione angolare \alpha è data dal rapporto tra l'accelerazione tangenziale e il raggio:

 

 \alpha = \frac{a}{r}

 

Sostituiamo il tutto nell'equazione dei momenti

 

\\ Tr=\frac{1}{2}m_1r^2\cdot \frac{a}{r}\\ \\ \\ Tr=\frac{1}{2}m_1r\cdot a\\ \\ \\ T=\frac{1}{2}m_1a

 

Disponiamo di due equazioni: quella che abbiamo appena scritto e quella delle forze sul corpo appeso, ricavata in precedenza. Mettiamole a sistema:

 

 \begin{cases} m_{2}g - T = m_{2}a \\ T = \frac{1}{2}m_{1}a \end{cases}

 

Le incognite sono due: la tensione della fune e l'accelerazione. Da notare che, in assenza di attriti e slittamenti della corda sulla carrucola, l'accelerazione tangenziale della carrucola è uguale all'accelerazione lineare del corpo che scende, per cui si tratta della stessa grandezza che compare in entrambe le equazione.

 

Sostituiamo la tensione nella prima equazione e determiniamo le grandezze richieste.

 

\\ \begin{cases} m_{2}g - \frac{1}{2}m_{1}a = m_{2}a \\ T = \frac{1}{2}m_{1}a \end{cases}\\ \\ \\ \begin{cases} 2m_{2}g - m_{1}a = 2m_{2}a \\ T = \frac{1}{2}m_{1}a \end{cases}

 

da cui

 

 \begin{cases} a = \dfrac{2m_{2}g}{2m_{2} + m_{1}} \simeq 7,85 \ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^{2}} \\ \\ T = \frac{1}{2}m_{1}a \simeq 11,8 \mbox{ N}\end{cases}

 

 

Osservazioni sui sistemi con carrucole di massa non trascurabile

 

1) Riepiloghiamo le caratteristiche delle carrucole con massa non trascurabile:

 

- nelle applicazioni si trascura l'attrito;

 

- l'accelerazione viene trasmessa inalterata.

 

 

2) I risultati trovati non dipendono dal raggio della carrucola ma sola dalla sua massa. Inoltre l'accelerazione del corpo è minore di quella di gravità, ossia di quella che avrebbe se fosse in caduta libera o se avessimo trascurato la massa della carrucola.

 

 

3) Osserviamo infine che la carrucola è soggetta anche alla forza peso e alla reazione vincolare. Entrambe le forze però vengono esercitate sul centro di massa che, nel caso di un corpo omogeneo e simmetrico, coincide con il centro geometrico. Di conseguenza nessuna di queste due forze, che si controbilanciano perfettamente, esercita un momento torcente sulla carrucola e per questo motivo non vanno considerate.

 

 


 

Ora che abbiamo esteso lo studio delle carrucole al caso in cui la massa non è trascurabile, possiamo procedere con un'ulteriore modello che è un vero e proprio classico nello studio della Dinamica: la macchina di Atwood. Nel frattempo, se siete in cerca di esercizi svolti, non dimenticate che YM è pieno di esercizi risolti e commentati nel dettaglio. Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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