Conservazione del momento angolare

Il principio di conservazione del momento angolare stabilisce che, se la somma dei momenti delle forze esterne agenti su un sistema o su un corpo è nulla, allora il momento angolare si conserva ed è quindi costante. Tale legge è l'equivalente rotazionale del principio di conservazione della quantità di moto. 

 

Sappiamo che il momento angolare è il corrispondente rotazionale della quantità di moto. Se esiste una legge di conservazione della quantità di moto, allora è quantomeno lecito domandarsi se esista una legge di conservazione del momento angolare...

 

Alla luce della perfetta analogia tra la Dinamica traslazionale e la Dinamica rotazionale, la risposta è ovvia. Qui di seguito trattiamo il principio di conservazione del momento angolare e ci soffermiamo sulle condizioni che ne garantiscono la validità, nonché sulle sue applicazioni pratiche.

 

Principio di conservazione del momento angolare

 

Il principio di conservazione del momento angolare è facilmente ricavabile dal teorema del momento angolare, il quale stabilisce che, per un sistema di particelle, il momento totale delle forze esterne è uguale alla variazione del momento angolare nel tempo.

 

 \sum{\vec{M}_{est}} = \frac{d \vec{L}}{dt}

 

Da questa equazione si vede facilmente che, se il momento risultante delle forze esterne agenti sul sistema è nullo

 

\sum{\vec{M}_{est}} = 0

 

allora è nulla anche la derivata del momento angolare nel tempo.

 

\frac{d \vec{L}}{dt} = 0

 

Poiché la derivata ha il significato di variazione, ciò equivale ad affermare che la variazione del momento angolare nel tempo è uguale a zero. In altri termini il momento angolare resta costante e dunque il suo valore iniziale coincide con quello finale:

 

\vec{L}_i=\vec{L}_f

 

Possiamo quindi scrivere l'enunciato del principio di conservazione del momento angolare: se la somma dei momenti delle forze esterne agenti su un sistema di particelle è nulla, allora il momento angolare del sistema si conserva.

 

\sum{\vec{M}_{est}} = 0\ \ \implies\ \ \vec{L}_i=\vec{L}_f 

 

Attenzione all'ipotesi!

 

Attenzione: il principio di conservazione del momento angolare è valido solo se la somma dei momenti delle forze esterne è nullo. Se questa condizione non è verificata, allora il principio non è più valido.

 

Anche in questo caso il parallelismo rispetto ai moti traslatori continua a sussistere: infatti la quantità di moto di un sistema di particelle si conserva a patto che la somma delle forze esterne sia nulla.

 

Conservazione del momento angolare per corpi rigidi in rotazione

 

La legge di conservazione del momento angolare è valida in una grande varietà di fenomeni fisici, dai moti dei pianeti al moto delle particelle subatomiche. Nel caso di corpi rigidi in rotazione vale una formulazione del tutto analoga: grazie a ciò che abbiamo visto nelle lezioni precedenti, possiamo affermare che se la somma dei momenti delle forze esterne lungo la componente assiale è uguale a zero, allora si conserva la componente assiale del momento angolare:

 

\sum{\vec{M}_{z,est}} = 0\ \ \implies\ \ \vec{L}_{z,i}=\vec{L}_{z,f} 

 

Una conseguenza diretta della conservazione del momento angolare riguarda la variazione di velocità angolare al variare del momento di inerzia.

 

Nella lezione sul momento angolare dei corpi rigidi in rotazione abbiamo ricavato una formulazione specifica del momento angolare per i corpi rigidi che ruotano attorno a una asse fisso:

 

\vec{L}_z=I\vec{\omega}

 

Proviamo a effettuare un esperimento semplicissimo: sediamoci su una sedia in grado di ruotare su se stessa e diamo una spinta in modo da metterci in rotazione. Dopo aver acquisito una certa velocità, trascurando gli attriti, non siamo sottoposti ad alcun momento di forze esterne, pertanto il momento angolare si deve conservare. Ovviamente non dobbiamo darci ulteriori spinte, altrimenti la condizione di conservazione del momento angolare verrebbe a mancare.

 

Se il momento angolare si conserva, in riferimento ai moduli possiamo scrivere:

 

 I_{i} \omega_{i} = I_{f} \omega_{f}

 

Ragioniamo: il momento d'inerzia non dipende solamente dalla massa del corpo, ma anche dalla sua distribuzione attorno all'asse di rotazione. Se giriamo sulla sedia con le braccia poggiate sul petto, abbiamo un momento d'inerzia minore perché la massa è maggiormente raccolta attorno all'asse di rotazione verticale. In questo modo, nel corso della rotazione, abbiamo un determinato valore di velocità angolare.

 

Se però allarghiamo le braccia, stiamo spostando parte della massa ad una distanza maggiore dall'asse di rotazione, per cui il momento di inerzia aumenta. La legge di conservazione del momento angolare implica quindi che la velocità angolare debba diminuire, per cui giriamo più lentamente.

 

In sintesi, nelle condizioni in cui vige il principio di conservazione del momento angolare, il prodotto del momento di inerzia per la velocità angolare deve dare sempre lo stesso risultato: se una grandezza aumenta, l'altra deve necessariamente diminuire per controbilanciare la variazione della prima.

 

 

Esempio

 

Quando una pattinatrice sul ghiaccio esegue una trottola, si stringe attorno all'asse di rotazione per girare su se stessa più velocemente, mentre allarga le braccia per rallentare il proprio moto rotatorio.

 

Conservazione delle componenti del momento angolare

 

Esattamente come nel caso della quantità di moto, anche per il momento angolare è possibile che si conservi una sola delle sue componenti. Poiché il momento angolare è un vettore nello spazio, è dotato di tre componenti: una per ciascun asse cartesiano. In particolare nulla vieta che la somma dei momenti torcenti esterni sia nulla lungo un solo asse, con la conseguente conservazione della sola componente del momento angolare lungo tale asse.

 

Una situazione di questo tipo è del tutto simile all'esempio della biglia che urta contro la sponda del tavolo da biliardo, vista nella lezione sulla conservazione della quantità di moto.

 

 


 

Con questo è tutto. A partire dalla lezione successiva inizieremo ad applicare la teoria di Dinamica rotazionale vista fin qui in modelli fisici "notevoli" e partiremo dalle carrucole con massa non trascurabile. Nel frattempo, se siete in cerca di esercizi svolti, potete usare la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono tantissimi esercizi risolti e commentati nel dettaglio. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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Tags: ipotesi, enunciato e formula del principio di conservazione del momento angolare.