Momento angolare di un corpo rigido in rotazione

La formula per il momento angolare di un corpo rigido in rotazione rispetto a un asse fisso permette di calcolare la componente del momento angolare parallela all'asse di rotazione come prodotto tra il momento di inerzia relativo all'asse e la velocità angolare.

 

Nella lezione dedicata al momento angolare abbiamo visto che, nel caso di un punto materiale, tale grandezza è definita come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione e la quantità di moto della particella. La definizione continua a valere anche per corpi rigidi in moto lungo le traiettorie più disparate.

 

Ma cosa possiamo dire riguardo ai corpi rigidi in rotazione rispetto a un asse e che non compiono alcun moto di traslazione?

 
 
 

Momento angolare di un corpo rigido in rotazione rispetto a un asse

 

Consideriamo un corpo rigido in rotazione rispetto a un asse. Per ricavare l'espressione del momento angolare procediamo per gradi.

 

Innanzitutto presentiamo la formula del momento angolare per corpi rigidi in rotazione nel caso più semplice, in cui consideriamo le seguenti ipotesi:

 

(1) trattiamo corpi rigidi con simmetrie assiali (come ad esempio cilindri o sfere)

 

(2) che ruotano attorno al proprio asse di simmetria.

 

Sotto queste ipotesi il momento angolare di un corpo rigido è dato dal prodotto del momento di inerzia rispetto all'asse di simmetria per la velocità angolare:

 

 \vec{L} = I \vec{\omega}

 

Come sappiamo, il momento di inerzia del corpo ha una particolare espressione a seconda della forma del corpo (e dell'asse di rotazione considerato).

 

Nel caso generale di corpi rigidi in rotazione attorno a un asse fisso e privi di simmetrie, la precedente formula si traduce in

 

 \vec{L}_z= I \vec{\omega}

 

dove \vec{L}_z indica la componente assiale del momento angolare, ossia la componente del momento angolare lungo la direzione dell'asse di rotazione.

 

La formula del caso generale vale anche per i punti materiali: se si considera una particella in rotazione attorno a un asse, possiamo esprimere la componente assiale del momento angolare come prodotto tra il momento di inerzia rispetto all'asse di rotazione e la velocità angolare.

 

Si noti che abbiamo considerato la velocità angolare come un vettore. Ricordiamo che \vec{\omega} è un vettore parallelo all'asse di rotazione e che il suo verso è dato dalla regola della mano destra: chiudendo la mano nel senso di rotazione del punto, il verso è individuato dal pollice.

 

Come ricavare la formula del momento angolare di un corpo rigido in rotazione

 

Vediamo come si arriva a determinare la formula per il momento angolare dei corpi rigidi in rotazione, sia nel caso semplificato che in quello generale.

 

Consideriamo un cilindro che ruota attorno al proprio asse di simmetria e prendiamo un punto P sulla sua superficie. Scegliamo un sistema di riferimento tridimensionale con l'asse z coincidente con l'asse di rotazione. L'origine O, scelta arbitrariamente sull'asse x, sarà il polo utile al calcolo del momento angolare.

 

 

Momento angolare di un corpo rigido

 

 

Con \vec{r}_i indichiamo il vettore che congiunge il polo O al punto P, mentre con la lettera R_i indichiamo il raggio della circonferenza che il punto P descrive nel suo moto. Possedendo una velocità propria, al punto P è associato un vettore quantità di moto che sarà sicuramente tangente alla superficie del cilindro.

 

Consideriamo il vettore quantità di moto relativo al punto P e indichiamolo con \vec{L}_i. Il pedice i serve solo a specificare che stiamo considerando uno degli infiniti punti che costituiscono il corpo.

 

\vec{L}_i=\vec{r}_i\times\vec{p}_i

 

Ora passiamo al modulo

 

L_i=r_ip_i\sin(\alpha)

 

dove \alpha è l'angolo compreso tra i due vettori \vec{r}_i,\ \vec{p}_i. Essi sono perpendicolari tra di loro, pertanto il modulo del momento angolare di P è dato da:

 

L_i=r_ip_i

 

Ricordando che la quantità di moto è definita come il prodotto tra la massa e la velocità 

 

L_i=r_im_iv_i

 

La velocità tangenziale di P è data dal prodotto tra il raggio R_i e il modulo della velocità angolare, dunque l'equazione precedente può essere riscritta come

 

 L_{i} = r_{i}m_{i}R_{i} \omega

 

Riguardo alla direzione, il momento angolare del punto P è un vettore perpendicolare al piano individuato da \vec{r}_i e da \vec{p}_i. Come si vede in figura, \vec{L}_i ha sia una componente radiale (lungo la direzione di R) sia una componente assiale (lungo l'asse di rotazione z).

 

Noi siamo interessati alla componente assiale del momento angolare e per calcolarla è sufficiente sfruttare i teoremi trigonometrici per i triangoli rettangoli e moltiplicare il modulo del momento angolare per il seno dell'angolo \theta:

 

 L_{iz} = r_{i}m_{i}R_{i} \omega \sin(\theta)

 

In riferimento alla figura, il prodotto r_i\sin(\theta) è uguale a R_i

 

 L_{iz} = m_{i}R_{i}^{2} \omega\ \ \ (\bullet)

 

Da notare che il raggio R e la velocità angolare \omega sono riferite all'asse z e non dipendono dal punto O, ovvero dal polo a partire dal quale abbiamo impostato i calcoli. L'importante però è che il polo si trovi sull'asse di rotazione.

 

Abbiamo già dimostrato che la formula per calcolo della componente assiale del momento angolare di un punto materiale in rotazione attorno all'asse z: per vederlo ci basta sostituire la definizione di momento di inerzia

 

 L_{iz} = I_i \omega

 

Ora riprendiamo l'equazione (\bullet) ed estendiamo il calcolo a tutti i punti del cilindro in modo da calcolare la componente assiale del momento angolare totale del corpo rigido: per farlo consideriamo la sommatoria

 

 L_{z} = \sum{m_{i}R_{i}^{2} \omega}

 

La velocità angolare non dipende dall'indice della sommatoria perché è la stessa per qualunque punto del cilindro, per cui possiamo raccoglierla al di fuori del simbolo di sommatoria

 

L_z=\omega \sum{m_{i}R_{i}^{2}}

 

A questo punto dobbiamo solo ricordarci la definizione di momento di inerzia e osservare che la precedente sommatoria equivale al momento d'inerzia per un sistema di particelle, per cui:

 

 L_{z} = I \omega

 

Se il corpo presenta una simmetria assiale, la formula che abbiamo appena scritto esprime il momento angolare totale del corpo e non solo la sua componente assiale. Ciò è dovuto al fatto che la componente radiale del momento angolare di P sarà uguale e opposta a quella del punto P’ diametralmente opposto a P. Nel calcolo del momento angolare totale tali componenti si sottraggono e si annullano e vicenda.

 

Di conseguenza, nell'ipotesi di simmetria assiale il momento angolare è concentrato nella direzione parallela all'asse di rotazione e il suo verso è individuato dalla regola della mano destra

 

 \vec{L} = I \vec{\omega}

 

Nel caso generale di corpi rigidi privi di simmetria assiale e in rotazione rispetto ad un asse fisso varrà invece la formula per la componente assiale del momento angolare.

 

\vec{L}_z=I\vec{\omega}

 

 


 

Una rassicurazione finale: negli esercizi nel 99% dei casi avrete a che fare con solidi in rotazione attorno ai loro assi di simmetria, dunque potrete calcolare il momento angolare con la formula "semplificata".

 

Nella successiva lezione ci occuperemo di un risultato molto importante, il cosiddetto teorema del momento angolare. Se siete alla ricerca di esercizi svolti, vi ricordiamo che potete usare la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono tantissimi esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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