Teorema del momento angolare

Il teorema del momento angolare stabilisce che il momento della forza risultante agente su una particella o su un corpo rigido è uguale alla derivata del suo momento angolare; è l'equivalente della seconda legge di Newton, secondo cui la forza risultante corrisponde alla derivata della quantità di moto.

 

Nelle precedenti lezioni abbiamo dato la definizione di momento angolare, abbiamo calcolato il momento angolare di un corpo rigido in rotazione e abbiamo affermato che tale grandezza è l'equivalente rotazionale della quantità di moto. Questa affermazione però potrebbe non risultare ancora del tutto chiara: a questo proposito il teorema del momento angolare e le sue conseguenze ci aiuteranno a svelare il mistero. ;)

 

Prima di procedere teniamo a mente le corrispondenze a noi già note: il momento di una forza è l'equivalente rotazionale del concetto di forza; il momento d'inerzia è l'equivalente rotazionale della massa.

 
 
 

Il teorema del momento angolare

 

Prima di enunciare il teorema del momento angolare facciamo una piccola premessa che ci permetta di inquadrarne il contesto.

 

Abbiamo visto che il momento angolare è dato dal prodotto vettoriale tra il vettore che congiunge il polo al punto materiale in movimento (\vec{r}) e la quantità di moto del punto (\vec{p}).

 

\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}

 

 

Esempio di momento angolare costante in modulo

 

Nel caso più semplice di un moto circolare uniforme il polo è il centro della circonferenza e pertanto il modulo r del vettore posizione rimane costante, poiché coincide con la lunghezza del raggio. Trattandosi poi di un moto uniforme, il modulo della velocità tangenziale v del punto non cambia e di conseguenza anche la sua quantità di moto resta invariata.

 

Nel caso di un moto circolare uniforme il modulo del momento angolare resta costante e il suo valore può essere calcolato indipendentemente dalla particolare posizione del punto lungo la traiettoria circolare descritta dal suo moto.

 

 

Momento angolare variabile e teorema del momento angolare

 

In generale non ci troveremo sempre nella situazione più semplice. Quando una particella si muove rispetto a un punto non è detto che debba per forza mantenere la medesima distanza dal polo e non è nemmeno detto che la sua velocità (e quindi la sua quantità di moto) debba necessariamente mantenersi costante. Insomma, il momento angolare può variare nel tempo perché possono variare le grandezze che lo definiscono.

 

È qui che interviene il teorema del momento angolare, il quale stabilisce che per far sì che il momento angolare di un punto materiale vari nel tempo è necessario che intervenga il momento di una forza, secondo la relazione 

 

\vec{M}_{ris}=\frac{d \vec{L}}{dt}

 

L'equazione è valida a una condizione: dobbiamo ragionare in un sistema di riferimento inerziale in cui il polo è fermo. In altri termini il sistema di riferimento considerato deve muoversi di moto rettilineo uniforme rispetto a quello in cui ci troviamo, e in quel sistema il polo deve essere fermo.

 

Il teorema del momento angolare mette quindi in relazione il momento di una forza e il momento angolare, e stabilisce che la somma dei momenti delle forze agenti sulla particella (momento risultante) è uguale alla variazione del momento angolare nel tempo. Notate che il risultato si inserisce perfettamente nel parallelo tra le grandezze rotazionali e quelle traslazionali, infatti la precedente relazione è l'analogo rotazionale della relazione tra forza e quantità di moto

 

\vec{F}_{ris}=\frac{d\vec{p}}{dt}

 

Teorema del momento angolare per un sistema di particelle

 

Nel caso di un sistema di più particelle l'equazione del teorema del momento angolare resta valida ma vanno considerati solo i momenti delle forze esterne, perché quelle interne sono ininfluenti. Tenendo a mente che siamo interessati alla descrizione del sistema e non di una singola particella, le eventuali forze interne si annullano in forza del principio di azione e reazione e di conseguenza non concorrono al momento della forza totale.

 

Per un sistema di particelle la formula precedente può quindi essere riscritta più precisamente in questo modo:

 

\sum\vec{M}_{est}=\frac{d \vec{L}}{dt}

 

 

Dimostrazione del teorema del momento angolare

 

Come si arriva a dimostrare il teorema del momento angolare? Ragioniamo nel caso di una singola particella e partiamo dalla definizione:

 

\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}

 

Se vogliamo vedere come varia il momento angolare del tempo, dobbiamo calcolarne la derivata rispetto a t

 

 \frac{d \vec{L}}{dt} = \frac{d(\vec{r} \times \vec{p})}{dt}

 

Per chi non lo sapesse, il prodotto vettoriale impone l'utilizzo della regola di derivazione del prodotto

 

 \frac{d \vec{L}}{dt} = \frac{d \vec{r}}{dt} \times \vec{p} + \vec{r} \times \frac{d \vec{p}}{dt}

 

Non dimentichiamoci che stiamo lavorando con dei prodotti vettoriali e che l'ordine con cui vengono scritti non va modificato, trattandosi di un'operazione non commutativa.

 

Come sappiamo la quantità di moto è data dal prodotto della massa per la velocità, pertanto l'ultima derivata può essere riscritta nella seguente forma:

 

 \frac{d \vec{L}}{dt} = \frac{d \vec{r}}{dt} \times \vec{p} + \vec{r} \times \frac{d (m\vec{v})}{dt}

 

Semplifichiamo la dimostrazione considerando un'ipotesi aggiuntiva, e supponiamo che la massa rimanga costante nel tempo

 

 \frac{d \vec{L}}{dt} = \frac{d \vec{r}}{dt} \times \vec{p} + \vec{r} \times m \frac{d \vec{v}}{dt}

 

Ora, se consideriamo il polo fermo nel sistema di riferimento scelto, il termine dr/dt rappresenta la velocità con cui il punto materiale si muove rispetto al polo.

 

 \frac{d \vec{L}}{dt} = \vec{v} \times \vec{p} + \vec{r} \times m \frac{d \vec{v}}{dt}

 

Il primo prodotto vettoriale della somma è nullo perché la velocità della particella e la quantità di moto sono sempre vettori paralleli, e il prodotto vettoriale tra vettori paralleli è nullo. In questo modo sopravvive solo il secondo termine della somma:

 

 \frac{d \vec{L}}{dt} = \vec{r} \times m \frac{d \vec{v}}{dt}

 

Ma la derivata della velocità rispetto al tempo non è altro che l'accelerazione del punto materiale

 

 \frac{d \vec{L}}{dt} = \vec{r} \times m \vec{a}

 

La seconda legge di Newton ci dice che il prodotto tra la massa e l'accelerazione è uguale alla forza:

 

 \frac{d \vec{L}}{dt} = \vec{r} \times \vec{F}

 

Il prodotto vettoriale che ci è rimasto dovrebbe ricordarci qualcosa: si tratta proprio della definizione di momento della forza. Eccoci giunti alla tesi del teorema del momento angolare:

 

\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{M}_{ris}

 

dove si intende, come abbiamo scritto all'inizio, che il momento della forza è quello risultante tra tutti gli eventuali momenti delle forze che agiscono sulla particella.

 

Per estendere la dimostrazione al caso generale in cui la massa non è costante nel tempo, è sufficiente ripercorrere la precedente dimostrazione e ricordare la relazione tra forza e quantità di moto:

 

\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}

 

per giungere facilmente alla tesi. :)

 

 


 

Qui abbiamo finito. Nella lezione successiva vi presenteremo la legge fondamentale della dinamica rotazionale, nient'altro che una particolarizzazione del teorema del momento angolare nel caso dei corpi rigidi in rotazione attorno a un asse fisso, del tutto analoga alla seconda legge di Newton che esprime la forza come prodotto tra massa e accelerazione. ;) 

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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