Equilibrio di un corpo rigido

L'equilibrio di un corpo rigido, inteso come equilibrio statico, è una condizione per cui il corpo non è soggetto ad alcuna traslazione né ad alcuna rotazione, e si verifica quando la somma delle forze esterne e la somma dei momenti delle forze esterne sono entrambe nulle.

 

Sappiamo che un punto materiale rimane in quiete se la somma delle forze agenti su di esso è nulla, ed è ciò che abbiamo scoperto studiando le leggi di Newton. D'altra parte tutto quello che abbiamo visto finora si applicava al concetto ideale di punto materiale, un punto privo di estensione e dotato di una certa massa. È chiaro che una situazione del genere non esiste nella realtà e che si tratta di un puro modello teorico: come si può allora estendere il concetto di equilibrio statico ad un corpo esteso?

 

Qui di seguito mostreremo come estendere la condizione di equilibrio delle forze per i punti materiali al caso dei corpi rigidi e proporremo tutte le formule dell'equilibrio statico, addentrandoci sempre più nello studio della Dinamica rotazionale. :) 

 

Condizioni per l'equilibrio statico di un corpo

 

Possiamo dire che un corpo esteso è in equilibrio statico, ossia che è fermo rispetto a un certo sistema di riferimento, se ogni suo punto è in quiete. A questo proposito dobbiamo immaginare il corpo come un insieme di tantissimi punti: se ogni punto è fermo, anche il corpo nel suo complesso sarà tale.

 

Poiché i corpi estesi possono essere molli o facilmente deformabili, lo studio dell'equilibrio dei corpi in generale può rivelarsi estremamente complesso. Per semplificare la trattazione qui ci limiteremo a trattare il caso dei corpi rigidi, cioè quei corpi che sotto l'azione delle forze non modificano la propria forma.

 

In altri termini in un corpo rigido la posizione reciproca tra i diversi punti che lo compongono rimane costante. Anche in questo caso stiamo considerando un modello ideale perché in realtà ogni corpo tende sempre a deformarsi quando subisce l'effetto di una forza, ma in moltissimi casi tale deformazione è così piccola da poter essere totalmente trascurata. In fin dei conti, se spingiamo la parete di un edificio quanto mai potrà deformarsi? :)

 

 

Prima condizione per l'equilibrio statico: equilibrio delle forze

 

Abbiamo visto che per analizzare il moto di un corpo rigido possiamo valutare soltanto il moto del suo centro di massa, ossia di quel punto in cui si immagina sia concentrata tutta la massa del corpo. Se vogliamo che il corpo non trasli, allora il suo centro di massa deve rimanere fermo e per fare sì che questo accada, è necessario che la somma di tutte le forze esterne sia nulla:

 

\sum \vec{F}_{est}=0

 

Tale condizione garantisce l'equilibrio traslazionale del corpo.

 

 

Seconda condizione per l'equilibrio statico: equilibrio dei momenti

 

Per quanto l'equilibrio delle forze sia una condizione necessaria e sufficiente per l'equilibrio di un punto materiale, non si può dire altrettanto per un corpo rigido, per il quale dobbiamo tenere conto degli aspetti di Dinamica rotazionale. Benché il suo centro di massa rimanga fermo è comunque possibile che il corpo possa ruotare attorno a un proprio asse.

 

A titolo di esempio possiamo pensare ad un giocatore di basket che fa ruotare il pallone sulla punta di un dito: il centro di massa (ossia il centro della sfera) è fermo, ma di certo il pallone non lo è. È necessaria allora un'ulteriore condizione di equilibrio che permetta al corpo di non ruotare. Ciò accade solo quando la somma di tutti i momenti delle forze esterne è pari a zero.

 

 \sum{\vec{M}_{est}} = 0

 

Tale condizione garantisce l'equilibrio rotazionale del corpo.

 

 

Ci siamo: abbiamo individuato le due condizioni per l'equilibrio statico di un corpo rigido, le cui formule ci permetteranno di risolvere i problemi relativi all'equilibrio dei corpi

 

\begin{cases}\sum \vec{F}_{est}=0\\ \\ \sum \vec{M}_{est}=0\end{cases}

 

Esempio sull'equilibrio statico di un corpo rigido

 

Vediamo come applicare queste condizioni in un esempio pratico. Abbiamo una tavola di legno di lunghezza l pari a 20 metri e di massa M pari a 120 kilogrammi, che poggia le proprie estremità su due cavalletti. La tavola è perfettamente orizzontale e su di essa viene appoggiato un oggetto di m=75\mbox{ kg} ad una distanza d=13\mbox{ m} dall'estremità destra (punto B in figura). Quanto valgono le reazioni vincolari dei cavalletti che sorreggono la tavola?

 

 

Equilibrio statico di un corpo rigido

 

 

Per risolvere l'esercizio dobbiamo impostare due equazioni: la prima per l'equilibrio delle forze e la seconda per l'equilibrio dei momenti.

 

Per impostare la prima equazione scegliamo positive le forze dirette verso l'alto e negative quelle verso il basso.

 

Per impostare la seconda equazione invece dobbiamo scegliere un asse rispetto al quale calcolare i momenti. Scegliamo ad esempio l'asse verticale passante per A: è da qui che dobbiamo calcolare le distanze dei punti di applicazione delle forze in gioco.

 

Teniamo presente che la forza peso della tavola va applicata al suo centro di massa, quindi al suo punto centrale. Sappiamo inoltre che i momenti sono positivi se generano rotazioni in senso antiorario e negativi se tendono a far ruotare la tavola in senso orario.

 

Scriviamo il sistema:

 

 \begin{cases} R_{A} + R_{B} - Mg - mg = 0 \ \ \ \mbox{ rispetto al centro di massa}\\ \\ R_{B}l - Mg \frac{l}{2} - mg(l - d) = 0 \ \ \ \mbox{rispetto all'asse in A}\end{cases}

 

Poiché abbiamo fatto coincidere il fulcro con il punto A, la reazione vincolare \vec{R}_A non produce alcun momento avendo braccio nullo. Ricaviamo R_B dalla seconda equazione:

 

\\ R_B=\frac{Mg \frac{l}{2} + mg(l - d)}{l} = \\ \\ \\ =\frac{(120\mbox{ kg}) \cdot \left(9,81\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\right) \cdot \frac{20\mbox{ m}}{2} + (75\mbox{ kg}) \cdot \left(9,81\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\right)\cdot (20\mbox{ m}-13\mbox{ m})}{20\mbox{ m}}\simeq\\ \\ \\ \simeq 846,1\mbox{ N}

 

Dalla prima equazione possiamo calcolare l'altra reazione vincolare:

 

\\ R_A= mg + Mg - R_B=\\ \\ \\ = (75\mbox{ kg})\cdot \left(9,81\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\right)+(120\mbox{ kg})\cdot\left(9,81\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\right)-846,1\mbox{ N}\simeq 1066,8\mbox{ N}

 

 


 

Come avrete certamente intuito, le precedenti considerazioni ci permetteranno di estendere lo studio dinamico dei sistemi fisici. A partire dalla lezione successiva introdurremo una nuova grandezza, il momento di inerzia. Intanto, se volete esercitarvi, sappiate che qui su YM potete consultare tantissimi esercizi svolti e spiegati nel dettaglio. Non dovete fare altro che usare la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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Tags: equazioni delle forze e dei momenti e formule per l'equilibrio statico dei corpi rigidi.